绝对值和型函数最值应用例析

40 数学教学研究 第29卷第8期2010年8月 绝对值和型函数最值应用例析 李锦旭1 (1．北京市十一学校100039， 2009年全国高考上海卷理科第13： 某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相 邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若 以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标 系，现有下述格点(一2，2)，(3，1)，(3，4)， (--2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点．请确定 一个格点(除零售点外) 为发行站，使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最 短． 本题是具有实际应用背景的好题，分析 如下： l 审题建模 设(z，Y)为所选发行站，则路程之和 d(x，了)可以示为： d(x，3，)一2Iz+2l+2lz一3I十Iz一4I +』z一6J十jy一1J+Jy一2卜 +Iy一3I+ly一4 +Iy一5I+ly一6I． 2预备知识 绝对值不等式1日+bl≤Ial+。IbI取等号 当且仅当口6≥0；Ia—bl≤laI+lbI取等号 当且仅当口6≤o． 3尝试求解 对于横纵向(即关于z，Y的二元函数) 求最小值，彼此没有影响，可以分开求解． 先考虑横向：将这6个根按从小到大顺 序排列后首尾结合使用三角形不等式得 d(z)=2lz+2I+2fz一3I +fz一4l+Iz一6 =(I21：+2l+Iz一61) +(1z+2i+lz一4I)+2fz一3f 卞 文2 2．山东青岛崂山一中266101) ≥(Iz+2一(z一6)l+(1z+2一(z一4)I +2XO一14． 矗(z)取得最小值14，当且仅当 f一2≤z≤6， ．{一2≤z≤4，得z=3． 【z一3， 同理，当且仅当343，≤4时， d(y)一Iy一1I+ly一2l+Iy一3I +ly一4I+ly一5l十ly一6I 取得最小值9． 由于要选在格点位置且不选在零售点， 故取z=3，y一3即(3，3)点，此时 d(x，y)。i。一23． 4异形同质分析 本题与2006年全国卷Ⅱ理科第12题， 2007年广东卷理科第7题均为绝对值之和 函数最值问题，但本题又有新变化：要在横纵 两个方向上求最小值，由一维升为二维，复杂 性和实用性增强，然而去掉具体背景所得的 数学本质是相同的．详析如下： 题1 (2006年全国卷Ⅱ理12)函数 1口 ，(z)一∑fz—nl(工∈R)的最小值为 H；l ( j )． (A)190(B)171(C)90(D)45 题2 (2007年广东 卷鲤7)女fl图1是某汽车维 修公司的维修点环形分布 图．公司在年初分配给A， B，C，Dt、四个维修点某种 图1 配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D 万方数据 第29卷第8期2010年8月 数学教学研究 41 四个维修点的这批配件分别调整为40，45， 54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进 行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调 动件次为行)为( )． (A)15(B)16(C)17(D)18 提示建模过程如下：寻求问题的一般解 法．设A向B调配X。，B向C调配z。，C向 D调配z3，D向A调配z．(∞>0表示逆时 针方向调配，X；<0表示顺时针调配，麓一0 表示没有发生调配)，可列方程组如下： j5。一z。+z-一4s．净_『耋三：：iI：《=='<个．鲁'．．十． i50--xs"-[．-Xz=54’【x,一-----xl--101， 【50一z‘+z3=61 ，(z)m；n2』互。q一善口j； 为at，A，h)rainj蠢lajl 音j·JIt十 J=I 证明 (I)当rl一2k时，由三角形不等 式I口l+Ib}。≥l口一6l(当且仅当口6≤0时取 等号)得 z一口ll+Iz一饥1≥口。--at， z一口2f+J∞一口。一if≥口。一l’一口2， 一4^+1I≥≥口t+t一口t 由此得 厂(z)=∑Iz～口i}≥∑口，一∑口』． 于是，如果z∈[口t，口I+1]，则 ，(z)-，量，％一善口i} 另一方面，若z硭[口。，口。+。]，则 Iz一日^l+lz一以t+lj>口t+l--zzj，． n ^ 厂(z)>翠q一∑口，． ，一^+ J一--11 1 于是对任意X∈Ea。，口件。]函数厂(z)取 H I 得最小哆互，％一j善口，· (Ⅱ)当竹=2忌+l时， 由此得 z一口1I+ z一口2I+ z一口^j+ z一口^I≥ z一4。l≥≥以。--al， z一口南一ll；≥a。一l—n2， z—_以^+ll≥口t+1一口I， n I—l ，(z)=∑lz一口fI≥∑(n。一』●1一口j)． i罩l 』暑】 若z=纵，则 ‘一1 ，(z)=暑(％一j十1一口』)； ●一1 而若z≠n。，则 ，(z)≥互(口。一J+1一口J)十[x--akJ Jjl j’’ I一1 >墨(口。一巾．二q)． J；I 于是当n一2k+1时，厂(z)的最小值点 n 上 为吼，且厂(z)m；n=，量。的一j善q-，=t十I J=J 注1 结论1又称Butchart—Moster定 理，提出的背景是：1952年J．H．Butchart和 万方数据 42 数学教学研究 第29卷第8期2010年8月 LeoMoster在美国中学数学教师刊物《数学 文集》发表了题为《请不要利用微积分》的文 章，提出如下问题： 在数轴上有咒个点，z。≤zz≤⋯≤z。，在 数轴上选取一点z使得此点到以上n个点的 距离之和最小． 再向前回溯有1949年美国纽约市的 ChesterMcMaster在《7r，岸，￡》杂志(第328 页)提出一个有趣的初等数学问题(编号为 41题)即ChesterMcMaster赛场选址问题： 聚集在纽约市的象棋大师，多于美国其 他地方的象棋大师．计划组织一次象棋比赛， 所有的美国象棋大师均应参加，而且比赛应 该在使所有参赛大师旅途总和最小的地方举 行，纽约的象棋大师主张，这次比赛必须在他 们所在的城市举行，丽西部地区的象棋大师 则认为，赛址应选在位于或邻近所有参赛人 的中心的城市举行．双方争执不下，试问，比 赛应在什么地方举行为佳? 对此赛场选址问题，ChesterMcMaster 本人给出一个极为巧妙的证明： 设A#{A，J1≤f≤力}为纽约的大师集 合，B={马l1≤f≤m)为其它地区的大师集 合，由已知m=lBI∑AiB；+∑A，M>∑A，B；． i3t y i。1 由上可知，赛址选在纽约最经济． 注2 Butchart-Moster问题实质上就 是一类绝对值之和函数极值问题，其解答只 用到三角形不等式放缩及其等号成立的条 件，但需要分，z为奇数与偶数两种情况讨论， 因而是培养能力的极好素材，故常被改造作 为各级各类竞赛试题，如： 1)取n=3，并对a，b，C特殊化(取n=P， 6—15，c=P+15)得1983年第一届美国数学 邀请赛试题：设y=Iz—Pl+Iz一15l+lz —p—15l，其中0答案

八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案