可导函数在无穷区间上的最值问题

二|絮．等甓碜爨j熙l：i熟。曩一蓑 可导数在无穷区间上的最值问 口山东垦利第一中学 李观镇 对于可导函数在闭区间上的最值问题，大家都比较熟悉．但对可导函数在无穷区 间上的最值问题，由于没有区间的端点，除了要求出函数的极值外，还应考虑戈一m 时函数的变化趋势，结合函数的图象求得最值． 例1 求“髫)=、／甭一、而的值域． 1 1错解，(石)的定义域为[一2，+*)√一(石)=—_兰一—_兰二= 2x／x+22X／x+3 师一佩、．～·再7——二· 2、／i万、／石了 显然厂(搿)>0．又，(戈)在[一2，+*)上连续，所以以戈)在[一2，+m)上为增函数． 故以髫)。=以一2)=一1f(x)的值域为[一1，+m)． 评析：在上述解法中还应求妊默石)=!_．im。———_二土—一：o．实际上该函数、／五忑+、／万了 的图象的渐近线为石轴，故八茄)值域为[一1，O)． 例2求函数以z)=2x4一乱2+1的最值． 解：，(髫)的定义域为R／@)=8x3—8x=8x(x+1)(x一1)． 又因八戈)=2x2(算2—2)+1，算_++∞时，戈2-++∞，戈2—2一+∞；z-+一∞时以咒)-+一∞ 时以戈)一+*．由厂(笫)=0，得菇=一1，0，1，列表如下： Z—'一∞ (一∞，一1) 一l (一1，O) 0 (O，1) 1 (1，+∞) x。·+∞ ，(x) 0 ‘ 0 0 + 极小 极大 极小 fCx)，(x)一十∞ 0 ≯ 0 ， “z)一+∞值一1 值1 值一1 ．·．八戈)。=尺一1)=以1)=一1’，(戈)无最大值． 评析：该题解答中，除了求极值外，还应求坚艄石)，而后结合函数的图象(如图) 而获解．若不取极限，将，(省)极大值=，(O)作为，(茹)一是错误的．该题还可令z2=t (￡≥0)，由复合函数求得最值． 2006．3 教研版 利譬缈渺相缈——川岳点黟审赢搿节煮“帮点1_==节喃蘸掣。∞窜点锚，照耐节 万方数据 ，粤蓑一慧煞燕．熙oi熟裹i蓑l。 例3(2005·全国卷·22题)已知。≥0，函 数．厂(嚣)=(X2—2似)e*．当茹为何值时以戈)取得最 小值?证明你的结论． 解：，，(x)=(2x一2a)e5+(菇2—2ax)e。= [菇2+2(1一a)x一2口]el 令．，，(算)=0，得[省2+2(1一a)x一2口]e5=0， 从而戈2+2(1一a)x一2a=0． ，4 ＼一。厂＼。／一 WDWi ．·．戈I=Ⅱ一1一佩，茹2=口一1+佩，其中∞t10，又八z)在(戈l，X2)上为减函数，在(石2，+∞)上为增 函数． ’．‘当髫<0时。厂(戈)=x(x一2a)e‘>0，当搿=0时f(x)=0． ．·．当戈=戈2=a一1+、／1+a2时以算)取得最小值． 评析：该题是f(x)在无穷区间(一∞，+∞)上的最值问题，对其解答应利用函数 的图象来理解．在中学数学中，；无法求一lim。(、x2—2似)e4，该题解答的巧妙之处在于定性 地说明了当菇<0时，“∞)=x(x一2ax)e。>0． 关注直角 角形斜边上的中线 口中原油田第14中学 庞志报 直角三角形是一类特殊的三角形，具有一些特殊的性质．如：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半．这条性质是解决直角三角形问题中常用的．下面举例说明． 辫鬟l?§黪§熟舔畿赣褥繁簿潦爨 A 例1如图1，AABC中，BE、CF是高，M是BC的中点，Ⅳ是肼 的中点．求证：(1)ME=MF．(2)MⅣJ_职 证朋：在RtABEC中，M是Bc中点，故ME=÷Bc．同理，胛= z B 土Bc． 2 2006．3 教研版 图1 鼎鬟》崤审意薹窜热节参量霄知识柿搓点攀∞》《》趣∞黧》峨审纛篓窜 =一 万方数据 可导函数在无穷区间上的最值问题 作者： 李观镇 作者单位： 山东垦利第一中学 刊名： 中学生数理化（教与学教研版） 英文刊名： ZHONGXUESHENG SHULIHUA 年，卷(期)： 2006(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-jyxjyb200603026.aspx