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三次函数的图像和性质

2012-01-20 3页 pdf 184KB 117阅读

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三次函数的图像和性质 I数理化研究l-【关注】 三次函数的图像和性质 摘要:本文利用数学软件Mathcad,以导数为工具,对三 次函数的单调性、极值、最值、对称性、根的性质等问题进行探 索研究.经过实验验证,深刻挖掘三次函数的性质,为进一步探 索高次函数的性质提供了方法依据,为高考有关问题找到了有 效的解决方法。 关键词:三次函数;图像;性质 三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体, 是应用二次函数图像和性质的好素材。三次函数在近几年全 国各地高考及模拟试题中频繁出现。但教材和各种资料中往往 只从求导、求极值、求单调区间等角度...
三次函数的图像和性质
I数理化研究l-【关注】 三次函数的图像和性质 摘要:本文利用数学软件Mathcad,以导数为工具,对三 次函数的单调性、极值、最值、对称性、根的性质等问题进行探 索研究.经过实验验证,深刻挖掘三次函数的性质,为进一步探 索高次函数的性质提供了依据,为高考有关问题找到了有 效的解决方法。 关键词:三次函数;图像;性质 三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体, 是应用二次函数图像和性质的好素材。三次函数在近几年全 国各地高考及模拟试题中频繁出现。但教材和各种资料中往往 只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅的 探索,而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。本文将利 用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性,发现三次 函数图像的对称性。进一步理解函数的单调性、对称性、极值、 最值.利用图像来讨论三次方程实根的个数等问题。 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有什么性质?首先还 得对它有感性的认识,通过Mathcad输入不同的参数进行探 索,经 图2过多次 的 实 验、猜 测、归 纳发现 它的图 像有六 种.如 图: a为正时。原函数的图像应为上图中的(1)(3)(5)---种情况;而当 a为负时,原函数的图像则为(2)(4)(6)三种情况。对函数f(×) =ax3+bx2+cx+d(a#0)进行求导:f'(x)=3ax3+2bx2+c是二次函 数.令A=4b2-12ac=4(b2-3ac),下面我们系统研究三次函数 的性质 1.函数的定义域与值域均为R 2.奇偶性:函数当且仅当b=d=0时是奇函数 3.极值 (1)若A=O.此时f_(x)=3ax2+2bx+c=0有两个相等实根。 在实根两侧导函数值同号,所以原函数单调性相同。故函数f (x)=ax3+bx+cx+d(a#-0)无极值;图像为上图中(1)(2); (2)若A>O,令f'(x)=3ax2+2bx+c=0两根为×1×2,其中X1- —-b—-%/百bz-—3a—c.x2=—丛≥#。若a>o,当xX2 时导函数值大于零。所以函数f(×)在X---X2处取极小值f(x2),有 两个极值,图像为上图中(3);同理若a<0,此时函数f(x)在 X---X,处取极小值f(x,).在X=X。处取极大值f(x。)。仍有两个极 值.图像为上图中(4); (3)若A<0。此时f'(x)=3ax2+2bx+c=0无实根.函数无极 46●-2009.8 ●薛青松 值,图像为上图中(5)、(6)。由上易知以下结论:三次函数f(x) =ax3+bx2+cx+d(a-≠0), (1)若b2_3ac_<0,则f(x)在R上无极值; (2)若b2_3ac>0,则f(x)在R上有两个极值。 (3)若在x=xo处取得极值,则必有f'(x)=3ax+2bx+c=0 4.单调性 (1)若A≤0,且a>0,则f'(x)=3ax2+2bx+c>一0恒成立。所以函数f (×)在R上是增函数,图像为上图中(1)、(5);若A40。且a<0,则f。(×) =3ax2+2bx+c。<0恒成立。所以函数f(x)在R上是减函数,图像为上图 中(2)、(6); (2)若△>0,且a>O,令f|(x)=3ax2+2bx+c=O两根为x1,X2且X1, 0芍xxz--,-*f(x)在(一一,X1).(x2,+一)上单调递增, 当f‘(x)O.且a<0易得f(x)在(一一,X1),(×2,+一)上单调递减,f(x)在 (X,,X2)上单调递增。图像为上图中(4); 由上易得函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠O)在某个区间上增函数铮 fI(x)=3ax2+2bx+cI>0在该区间恒成立;函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠ 0)在某个区间上是单调递减函数铮r(x)=3ax2+2bx+c40在该区间恒 成立。 5.对称性 观察上面六种图像。发现都存在对称中心,由此猜想三次函数的图 像都是中心对称图形,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图像关于 点(一鲁,f(一旨))对称。 证法一:f(x)=ax3+bx2+cx+d=a(X+鲁)3+(c一暑)(x+鲁)+ f(一是)-易知g(x)=ax3+(c一普)是奇函数,图像关于原点对称,又 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像可以认为由g(x)=ax3+(c一告) X按向量(一鲁.f(一鲁))平移得到的,所以f(x)图像关于点(一鲁, f(一岂-))对称。 证法二:设y=f(×)的图像关于点(m,n)对称,任取y=“x)图像上点A (x,y).则A关于(m,n)的对称点A‘(2m—X,2n—y)也在y=f(x)图像上 2n—y=a(2m—x)3+b(2m—X)+d..‘.y=ax3-(6ma+b)X2+ (12m2a+4mb+c)X一(8m3a+4m2b+2mc+d一2m) fb=-6ma—b fm:一昙 ...{c:12m2a+4mb+c号{ 3a. 所以f(x)图像关于点 d:一(8m3a+4m2b+2mb+d一2n)In=7(一萎’ (一是,“一鲁)对称。 6.根的性质:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠O)的图像与X轴有几个交点。则方程 f(x)=O便有几个实数根。 (1)若b2_3ac_<0.则f(x)=0.则恰有一个实根; (2)若b23ac>0.且f(x,)·f(x2)>0。则f(x)=O恰有一个实根; (3)若b2-3ac>0,且舣,)·f(x2)=0,则Kx)=o有两个不相等的实根; (4)若bZ-3ac>0。且f(x1)·f(x2)0。且f(x,)·f(x2)>O,即函数y=f(x)极大值点和极 万方数据 【关tt]◆I数理化研究l 三角函数问题常用方法浅探 三角函数在高考中占有重要位置.从近几年全国高考试题看, 高考重视对三角函数部分基本知识的考查,总的说来。这一章主要 有四类问题:求值、化简、证明和性质讨论。一般试题难度不大.学习 这一章时。要求在熟练掌握概念公式的基础上.不断总结解题规律、 变形方法与技巧,并认真体会、理解、灵活运用化归思想、数形结合 思想等常用数学思想方法。 例1如图1,有一长方形纸片ABCD.AB=a,BC=b(b>2a)。设 点M为边AB上中点.点N为BC上任意一点。£MND=e当 MN+DN值最小时,sine大小为: A.!拿堂= B..ab_ 9f+4b2 9a+4b2 C.塑坠D.一2ab—h—9a2+—4b2 。嚣+孑 这是一道与解析几何结合的问题,和最小是我们练得很多的一 类题,利用找对称点就可以解决。找M点关于BC的对称点M‘。连 接DM‘,交BC于点N,点N即为所求。选A。 例2]1+-ItaanneH一=3+2、/虿.贝ll(cs。int。e一+cs№ose。)2s_。1=? 此题是一道化简求值题,首先应该把式子进行化简,可以运用 。切化弦”的方法,化简结果为2tanZ0,再由已知条件求出tane的 值。求tane的值时,可以有一点小的技15,I_1-itaann百O= 』_‘ane)碴:一1+熹:3+2讵,1+tane:—L=:1+tane 。。1+tane⋯⋯。。‘2+讵 —2-下x/一#一-,tane:一:¥;,这样能让计算速度更快一些。 例3(2008广东卷16)已知函数f(x)=Asin(×+‘P)(A>0. 0<‘p,e>O,‘P∈)[O,21r)的 形式。 (2)求函数g(×)的值域。 这也是解答题的第一道,难度比刚才那道题耍大一些,属于中 档题,对计算的要求较高,特别是第二问。是我们见得非常多的问 题,但是效果还是不理想。总讲总错。很多同学还是不注意函数单 调性。导致丢分。所以在求三角函数的值域问题时,大家一定要注 意函数在所给区间上是否单调的问题。本题主要考查函数的定义 域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数 式的化简变形和运算能力。求解三角函数的周期、最值、单调区间、 值域、图像变换、对称中心、对称轴等问题一般都需要把所给三角 函数化成y=Asin(wx+e)+B型,这是核心问题,一个三角函数一旦 化成此形式.围绕这一三角函数的一切问题都可以解决。变形中经 常使用的方法有:切化弦、统一角、统一三角函数、配角、拆角、遇到 平方降幂、和差与积的互化等等。 (1)g(x)=oosx、/鬟:慧一+s.n×、/:+--∞COsSXf :cos×、/止驾正+sinxl/止罢虻 V COSX V sinX ·.·x∈(1r。jj三巳一],.·.ICOSXI=一COSX,IsinxI=一snx,._.g(x) =COSX-1=曼塑兰+sinxj=90s墨=sinx+cosx一2=V"2-sin(x+—耳一)一2。 -COSX --Sinx 4 (2)15t⋯s訾,碍手<×呼曼孚。‘.。sintE(孕。 三}】上为减函数。在(岛L。号L】上为增函数,又sin导}0,且f(×,)·f(x2)=0。 (4)f(x)=O有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(×)与X 轴有三个公共点,即f(x)有一个极大值.一个极小值,且两极值异 号.即分别在X轴两侧.所以b2_3ac>0,且f(×1)·f(x2)0,令f'(x)=3ax2+2bx+c=0两根为x1×2 且Xl<×2。 ①nx2时.函数有最大值max{f(m).f(n)},最小值min {f(m),f(n)} ②x1
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