中考数学中的最值问题

所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜 的重量及利润．某汽运公司装运甲、乙、丙 三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载并 且每辆汽车只能装一种蔬菜) 田 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1．5 每吨蔬菜可获利润(百元) 5 7 4 (1)略．(2)公司计划用20辆汽车装运甲、 乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每种蔬菜不 少于1车)．如何安排装运，可使公司获得最大 利润?最大利润是多少? (1998，黄冈市中考题) 解：(2)设安排Y辆汽车装运甲种蔬菜，z 万方数据万方数据 2 中学教与学 辆汽车装运乙种蔬菜，则用[20一(y+z)]辆汽 车装运丙种蔬菜．依题意，有 2y+z+1．5[20一(y+z)]=36． 化简得 z=Y一12． ．‘．20一(y+2_)=32—2y． +．’y≥l，2≥l，20一(y十2)≥1， ．’．y≥1，y一12≥1，32—23，≥1， ．‘．13≤、，≤15．5 由题意，每辆汽车按规定满载， ．‘．13≤y≤15，且y为整数． 设获利润S百元，则 S==2y×5+7z十1．5Eeo一(∥+z)]×4 =103,+7(y一12)十6(32—2y) =5y+108． 由上式可知，S随v的增大而增大． ．‘．当y=15时，S最大=5×15+108：=183． 此时z=y一12=3，20～(y十2)=2． 答：安排15辆、3辆、2辆汽车分别装运甲、 乙、丙三种蔬菜，可获得最大利润1．83万元． 3化归为二次函数最值问题 例3 如图1， 在△ABC中，么C =90。，AC=4。BC =3。DEf}ABA与 AC、BC分别交于点 D、E．CF上DE千 C A 阿G B 图l 点F，G为AB上任一点，设CF=z，△DEG 的面积为y．当DE在△ABC内部移动时， (1)求z的取值范围； (2)求函数y与自变量z的函数关系； (3)当DE取何值时，△DEG面积最大， 并求最大值． (1998，杭州市中考题) 解：(1)延长CF交AB于点H，则CH为 AB边上的高．易得 12 o a 0)相交于点B(m， 一3)及D(3，竹)． 掰切 4哟◇协一j ／7 图2 (1)求B、D两点的坐标，并用含a的代数 式表示b和C； (2)(I)若关于z的方程z2+插nz+a2 一言盘+百1=0有实数根，求此时抛物线的解析 式； (Ⅱ)若抛物线y==：知2+bcr+c(n>0)与 32轴相交于A、C两点，顺次连结A、B、C、D 得凸四边形ABCD．问：四边形ABCD的面积S 是否有最大值或最小值?若有，求S的最大值 或最小值；若无，请说明理由． (1998，南通市中考题) 解：(1)过B、D分别作JC轴的垂线段BE、 DF，垂足分别为E和F．则PF=2，咒=FD= PF·tan0=3． 故D(3，3)． 进而可求得6=丁3一i2，c=一号～丢．万方数据万方数据 2001年第1期 3 (2)(I)易求得n=1，6=一吾，c=一导． 故抛物线解析式为y=z2一可1z一了9． (1I)S=S龇十S似’ =AC·DF+AC·BE =AC·3+AC·3=3AC． 。．’抛物线与z轴有两个交点A、C， ．’．可设A、C两点坐标分别为(z。，0)、 (％0)．则X1-．X2为方程}2+(吾一昝一 要一一3：0的两个根． ．’峨％=2一导⋯。矿一3一扣 贝4AC=OC+OA=z2一z1 =以夏可=√i了iF丽 =√(2一吾口)2—4(一3一吾以) ：lff9a2+64． ．·．s=吾而． ‘．’a可取大于0的任何实数， ．’．S不可能取得最大值或最小值． 4化归为有美几何最值问题 “两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“直 径是圆中最长的弦”等几何小知识，在解决某些 最值问题时可派上大用场． 例5 如图3， O0。与6302相交 于C、D，A是001A 上一点，直线AD交 o02于点B． 图3 B (1)当点A在 函西上运动到A7点时，作直线A'D交00：于 点B7，连A7C、B7C．证明：△A7B7C∽△ABC． (2)问点A7在函b上什么位置时．s出乳 最大，请说明理由． (3)当0，02=11、CD=9时，求S甜，Bc的 最大值． (1999，安徽省中考题) 证明：(1)由么A7=么A，么B7=么B， 有△A，B7C∽△ABC． 证明：(2)‘．‘△A"t37C09△ABC， ．·．漂=筹脚s⋯．=等“2xAl，7．一j玄五了一评’吲。。△A甘。’一讶 ‘ 因CA、s姗．是定值，所以，当CA7取最大 值，即CA7为④0．的直径时，S出似。、的值最大． 解：(3)‘．‘A7C为OO．的直径， ．‘．么A7DC=90。，于是，么B7DC=90。． ．‘．B7C为oO：的直径． 。．‘0102上cD且0102／_／告A倍7， ．。．s出眦、=毒A倍7·(D =0、0，×C／)=11×9=99．

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i．已知关于工-的方程z2—2x+最=0有实数根 z。、z：，且Y=z；4-zi．试问：3，值是否有最大值或最小 值?若有，试求出其值；若没有，请说明理由． (1999，天津市中考题)(当走=l时．y刖、=2) 2．某商场销售一一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现， 如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件． (1)略；(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多? (1999，南京市中考题)(当每件衬衫降价15元时， 商场平均每天盈利最多，为1250元) 3．④o的半径为5，P是圆内一点，且OP=3．求 过P点最短弦、最长弦的长各是多少? (1998，安徽省中考题)(最短弦长8，最长弦即直径 长lO) 万方数据万方数据 中考数学中的最值问题 作者： 肖斌 作者单位： 四川省巴中市茶坝中学,635508 刊名： 中学教与学 英文刊名： TEACHING AND LEARNING IN SECONDARY SCHOOL 年，卷(期)： 2001(1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxjyx200101001.aspx