经过圆锥曲线外一点的切线方程公式
数学教学通讯(教师版)投稿邮箱:sxjk@vip.163.com
经过圆锥曲线外一点的切线方程公式
陈劲松 李世臣
河南周口师范学院数学与信息科学系 466001 河南周口市川汇区教体局教研室 466001
摘 要:本文利用线段的定比分点公式简捷地推出了经过非退化圆锥曲线外一点的切线方程公式,同时给
出求标准曲线切线方程的推论及几例应用,并将结论推广到三维空间.
关键词:圆锥曲线;切线方程;二次曲面;切锥面方程
试题研究 >知识延伸
经过圆锥曲线外一点求圆锥曲线
的切线方程是一件比较麻烦的事情 ,
本文利用定比...
数学教学通讯(教师版)投稿邮箱:sxjk@vip.163.com
经过圆锥曲线外一点的切线方程公式
陈劲松 李世臣
河南周口师范学院数学与信息科学系 466001 河南周口市川汇区教体局教研室 466001
摘 要:本文利用线段的定比分点公式简捷地推出了经过非退化圆锥曲线外一点的切线方程公式,同时给
出求
曲线切线方程的推论及几例应用,并将结论推广到三维空间.
关键词:圆锥曲线;切线方程;二次曲面;切锥面方程
试题研究 >知识延伸
经过圆锥曲线外一点求圆锥曲线
的切线方程是一件比较麻烦的事情 ,
本文利用定比分点公式较为简捷地推
导出了圆锥曲线外一点的切线方程公
式 . 该公式结构优美 ,便于记忆 ,应用
方便, 并且很容易将其拓展到三维空
间, 得到经过二次曲面外一点的切锥
面方程公式 .
定理 已知定点P(x0,y0)和非退化
曲线Γ:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+
F=0,则经过点P(x0,y0)与曲线Γ相切的
切线方程满足H2=f(x,y)f(x0,y0)……(1),
其中Η=(Ax0+By0+D)x+(Bx0+Cy0+E)y+
(Dx0+Ey0+F).
证明 设Q(x,y)是经过点P(x0,y0)
的直线上的任一点 ,直线PQ与曲线Γ:
f(x,y)=0交于点R(m,n),点R分P��Q所成
的比为λ. 由定比分点公式得m= x0+λx
1+λ
,
n= y0+λy
1+λ
,代入曲线Γ:f(x,y)=0,整理得
f(x,y)λ2+2Hλ+f(x0,y0)=0……(2).
由于直线PQ与曲线Γ相切的充要条
件是:关于λ的一元二次方程(2)有相等
实数根,即Δ=4H2-4f(x,y)f(x0,y0)=0,整
理得H2=f(x,y)f(x0,y0).
当P(x0,y0)在曲线Γ:f(x,y)=0时 ,
f(x0,y0)=0,(1)式变为H=0.
所以,经过曲线Γ:f(x,y)=0上一点
P(x0,y0)的切线方程为
(Ax0 +By0 +D)x +(Bx0 +Cy0 +E)y +
(Dx0+Ey0+F)=0.
将曲线特殊化,容易得到以下推论.
推论1 过定点P(x0,y0)向椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1
引切线,当点P(x0,y0)不在椭圆上
时 , 切 线 方 程 为 x0xa2 +
y0y
b2 -� �1
2 =
x20
a2 +
y20
b2 -- -1 x
2
a2 +
y2
b2 -- -1 ;当点 P (x0,y 0 )
在椭圆上时,切线方程为 x0x
a2 +
y0y
b2 =1.
推论2 过定点P(x0,y0)向双曲线
x2
a2 -
y2
b2 =1
引切线,当点P(x0,y0)不在双
曲线上时, 切线方程为 x0xa2 -
y0y
b2 -- -1
2=
x20
a2 -
y20
b2 -- -1 x
2
a2 -
y2
b2 -- -1 ;当点 P (x0,y 0 )
在双曲线上时,切线方程为 x0x
a2 -
y0y
b2 =1.
推论3 过定点P(x0,y0)向抛物线
y2=2px引切线,当点P(x0,y0)不在抛物线
上时 ,切线方程为 [y0y-p(x0+x)]2=(y 20 -
2px0)(y2-2px);当点P(x0,y0)在抛物线上
时,切线方程为y0y=p(x0+x).
以上结论,形式优美,简洁易记,使
用方便.
例1 求过点P(0,1)与圆锥曲线Γ:
f (x,y)=x2+4xy+y2+4x+2y+3=0相切的直
线方程.
解析 因为 f(0,1)=6,H=4x+2y+4,
由公式 (1)得 (4x+2y+4)2=6(x2+4xy+y2+
4x+2y+3),
即5x2-4xy-y2+4x+2y-1=0,分解因式
(x-y+1)(5x+y-1)=0,
所求切线方程为x-y+1=0,5x+y-1=
0.
例2 求过点P(4,-8)与圆锥曲线
Γ:f (x,y)=x2+xy+y2-2y-1=0相切的直线
方程.
解析 因为f (4,-8)=63,H=7 (1-
y),由公式 (1)得 [7(1-y)]2=63(x2+xy+
y2-2y-1),
即9x2+9xy+2y2-4y-16=0, 分解因式
(3x+y-4)(3x+2y+4)=0,
所求切线方程为3x+y-4=0,3x+2y+
4=0.
该定理可推广到三维空间.
若约定 F(x,y,z)≡a11x2+a22y2+a33z2+
2a12xy +2a23yz +2a31zx +2a14x +2a24y +2a34z +
a44,Fi(x,y,z)=a1ix+a2iy+a3iz+a4i(aij=aji,i=1~
4,j=1~4),则有如下推广:
设点P(x0,y0,z0)不在常态二次曲面
Σ:F(x,y,z)=0上 ,则从点P作二次曲面
的切锥面方程为H2=F (x,y,z)F(x0,y0,
z0),其中 ,H=xF1 (x0,y0,z0) +yF2 (x0,y0,
z0)+zF3(x0,y0,z0)+F4(x0,y0,z0).
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