证明(一)
三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
证明一个命题是真命题的基本步骤是:
(1)根据题意,画出图形.
(2)根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证.
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
在证明时需注意:
(1)在一般情况下,分析的过程不要求写出来.
(2)证明中的每一步推理都要有根据.
证明(二)
一、梳理知识:
1、全等三角形
(1)定义: 能够完全 的三角形是全等三角形。
(2)性质:全等三角形的 、 相等。
(3)判定:“SAS”、 、 、 、 。
2、等腰三角形
(1)定义:有两条 的三角形是等腰三角形。
(2)性质:①等腰三角形的 相等。(“等边对等角”)
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )
③等腰三角形是 图形。
(3)判定:①定义 ②“ ”
(4)等边三角形 定义: 的三角形是等边三角形。
性质:①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。
判定:①定义 ②有一个角 是等边三角形。
3、直角三角形
(1)定义:有一个角是 的三角形是直角三角形。
(2)性质:①“勾股定理” 。
②直角三角形两锐角 。
③直角三角形斜边上的中线等于 。[来源:学,科,网Z,X,X,K]
④在直角三角形中,30°角所对直角边等于 。
(3)判定:①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③“勾股定理逆定理” 。
4、角平分线
(1)定义: 。
(2)性质:①角平分线上的点 相等。
②三角形的三条角平分线 ,且到 相等。
(3)判定:到角的两边 的点,在这个角的平分线上。
(4)角平分线的作法:
5、线段的垂直平分线
(1)定义: 一条线段的 叫线段的垂直平分线。
(2)性质:①线段垂直平分线上一点 相等。
②三角形三边的垂直平分线 ,且到 相等。
(3)判定:到一条线段两个端点 的点,在这条线段的垂直平分线上
(4)线段的垂直平分线的作法:
6、命题:判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。
互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的 是另一个命题的
,那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 。
7、逆定理:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理.
证明(三)
平行四边形、特殊平行四边形、三角形中位线、直角三角形斜边上的中线。
简称“四形、两线”
(二)研究内容:性质与判定。
1、性质填表
性质
图形
边
角
对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
[来源:学科网ZXXK]
2、判定填表
3、三角形中位线性质定理:[来源:Zxxk.Com]
;
4、斜边上中线定理与逆定理
(1)直角三角形斜边上 ;
(2)如果 是直角三角形。
三角形五心定理 (三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
1、 三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)
重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。
外心的性质:
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质:
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB
证明:
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。
内心的性质:
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是:向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。
旁心的性质:
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。
附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌(重外垂内旁)
三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混.
重 心
三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好.
外 心
三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点.
此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键.
垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源;
点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”,如此定义理当然.
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________,结论是___________,它是________(真或假)命题.
2.如图6-77,AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则:∠1+∠2+∠3=________.
图6-77
3.已知,如图6-79,AB∥CD,若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=__________.
[来源:学科网ZXXK]
图6-79
4、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
5、如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若BF=AC,则∠ABC的大小是( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
6、下列定理中逆定理不存在的是( )
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等
C.同位角相等,两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
7、下列说法正确的是( )
A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理
C.每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题
8.已知菱形的周长等于40㎝,两对角线的比为3∶4,则对角线的长分别是( )
A、12㎝,16㎝ B、6㎝,8㎝ C、3㎝,4㎝ D、24㎝,32㎝
9.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A、对角线互相平分 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、四边相等
10.如图6,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为( )
A、
B、 m C、2
D、
二、解答题
1.已知,如图6-82,AD⊥BC,EF⊥BC,∠4=∠C.
求证:∠1=∠2.
2.已知,如图6-83,△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC. 科网]求证:∠DAE=(∠C-∠B)
图6-83[来源:学.
3、在Rt△ABC中,∠C=90° ,D是BC边上一点,且BD=AD=10, ∠ADC=60°,求△ABC的面积.
4、已知:如图,AB=AC,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,求证:BD=CE.
5、如图,△是等边三角形中,. 求高的长和△的面积.(结果用根号表示.)
6﹑已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图,现
在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,问需要多少投入?
8.在正方形ABCD的对角线AC上点 E,使 AE = AB,过 E 作EF⊥AC 交BC 于F ,求证 : ⑴ BF = EF ⑵ BF = CE
9.小丽参加数学兴趣小组活动,提供了下面3个有联系的问题,请你帮助解决:
(本小题8分)
(1)如图1,正方形中,作交于,交于,求证:;
(2)如图2,正方形中,点分别在上,点分别在上,且,求的值;
(3)如图3,矩形中,,,点分别在上,且,求的值。
3个角为直角角 )
�
(共5种方法)
( )
(一组邻边相等)
( )
( )
( )
( )
� EMBED PBrush ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
P
A
B
C
D
E
F
O
A
D
C
B
E
F
(图1)
(图2)
(图3)
_1204745377.unknown
_1204745397.unknown
_1204745350.unknown
_1204745326.unknown