第10章 能量法

null第十章 能量法第十章 能量法第十章 能量法第十章 能量法第一节 概述第一节 概述——固体力学中利用功与能之间的关系所建立的一些定理——利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法能量原理(功能原理)能量法第十章 能量法null特点：1．解题简单、适用性广2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题3．可求解静定与非静定问题4．学习后续课程的基础§10.1 概述null外力作功弹性体内储存了应变能静载作用下：动能和其他能量均可不计弹性范围内，弹性体的变形是可逆的超出弹性范围后，塑性变形将消耗一部分能量本章讨论弹性问题§10.1 概述第二节 弹性应变能的计算第二节 弹性应变能的计算第十章 能量法(一)轴向拉伸(压缩)(一)轴向拉伸(压缩)1、杆的应变能轴力沿轴线不变的情况:弹性范围内应变能一、杆件基本变形的应变能§10.2 弹性应变能的计算(一)轴向拉伸(压缩)(一)轴向拉伸(压缩)1、杆的应变能轴力沿轴线不变的情况：应变能轴力沿轴线变化的情况:应变能轴力和面积沿轴线变化的情况？§10.2 弹性应变能的计算(二)扭转(二)扭转1、应变能扭矩沿轴线不变的情况弹性范围内应变能§10.2 弹性应变能的计算（二）扭转（二）扭转1、应变能扭矩沿轴线不变的情况应变能扭矩沿轴线变化的情况应变能§10.2 弹性应变能的计算(三)弯曲(三)弯曲1.纯弯曲弹性范围内应变能§10.2 弹性应变能的计算(三)弯曲(三)弯曲1.纯弯曲应变能2.横力弯曲中的弯曲应变能剪力弯矩剪切应变能弯曲应变能微段§10.2 弹性应变能的计算(三)弯曲1)dx段应变能：2)l段应变能：FQ—横截面剪力，A—横截面面积a—截面系数矩形：a=6/5；实心圆： a=10/9；薄圆环：a=23)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变能，通常忽略不计3. 剪切应变能(三)弯曲§10.2 弹性应变能的计算：总结：§10.2 弹性应变能的计算二、克拉贝依隆原理二、克拉贝依隆原理变形能只决定于外力和位移的最终值，与加载次序无关§10.2 弹性应变能的计算二、克拉贝依隆原理二、克拉贝依隆原理线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和——广义力如：拉伸时为线位移，扭转或弯曲时为角位移如：拉伸时为拉力， 扭转或弯曲时为力偶矩§10.2 弹性应变能的计算三、杆件组合变形下的应变能三、杆件组合变形下的应变能整个杆件的变形能§10.2 弹性应变能的计算例10-1 图示矩形梁，并求中点C的挠度。例10-1 图示矩形梁，并求中点C的挠度。解：弯距方程§10.2 弹性应变能的计算第三节 互等定理第三节 互等定理第十章 能量法一、功的互等定理一、功的互等定理第一角标表示产生位移点位置，第二角标为产生该位移的力，如dij表示j力在i位置产生位移§10.3 互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理结构的应变能外力所作的功为外力所作的功为§10.3 互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理结构的应变能外力所作的功为外力所作的功为§10.3 互等定理12一、功的互等定理一、功的互等定理功的互等定理：F1(或第一组力)在F2(或第二组力)引起的位移d12上所作的功等于F2在F1引起的位移d21 上所作的功§10.3 互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理令：则：由力F作用在2点所引起的1点的位移等于该力作用在1点所引起的2点的位移位移互等定理：§10.3 互等定理二、位移互等定理需要指出的是，上述互等定理对于所有的力与位移成线性关系的结构(线性结构)都适用，此外，力和位移应理解为广义力和广义位移二、位移互等定理§10.3 互等定理例10-4 图示悬臂梁，欲用一个固定位置的挠度计，测量1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？例10-4 图示悬臂梁，欲用一个固定位置的挠度计，测量1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？解：1)挠度器应安装在梁端5点处；2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F 作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。§10.3 互等定理第四节 卡氏第二定理第四节 卡氏第二定理第十章 能量法一、定理推导一、定理推导1)问题：求Fi作用力方向的位移d ia)加DFi后应变能的增量：b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组力，由功能互等定理有：§10.4 卡氏第二定理一、定理推导一、定理推导2)卡氏第二定理公式及含义：若结构的应变能U表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。a)d i为沿广义力Fi方向的广义位移，d i为正表示与Fi方向 相同，为负表示与Fi方向相反，U是整个结构的应变能b)仅适用于线弹性结构3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数§10.4 卡氏第二定理二、杆件计算中的应用二、杆件计算中的应用2、只有轴力的桁架：3、弯曲梁：1、组合变形§10.4 卡氏第二定理二、杆件计算中的应用b、若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个广义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：a、若外力符号相同，则需将求位移点的外力进行标定，以便在求偏导时区别于其它外力注意：二、杆件计算中的应用§10.4 卡氏第二定理二、杆件计算中的应用2.列内力方程，对力求导1、观察有无注意事项用卡氏第二定理计算杆件变形（位移）的步骤：二、杆件计算中的应用§10.4 卡氏第二定理例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD解：列弯矩方程，并求导DC段CB段BA段§10.4 卡氏第二定理例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD§10.4 卡氏第二定理解：例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD2.求dD解：列弯矩方程，并求导DC段CB段BA段§10.4 卡氏第二定理例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD例10-5 图示刚架的EI为常量在截面B上受力偶矩 m0 作用。若不计轴力和剪力对变形的影响，试求截面B的转角 qB 和D点的位移dD解：两点说明：(2) 在积分前令F0 =0 ，可得到相同的结果(1)qB和dD均为正值，表示它们的方向分别与F0和m0的方向相同 2.求dD§10.4 卡氏第二定理例10-7 各杆的抗拉（压）刚度均为EA的正方形平面桁架受水平力F的作用。杆的材料为线弹性的。试求解点C的水平和垂直位移例10-7 各杆的抗拉（压）刚度均为EA的正方形平面桁架受水平力F的作用。杆的材料为线弹性的。试求解点C的水平和垂直位移解：§10.4 卡氏第二定理解：解：000-1-10000000§10.4 卡氏第二定理解：解：§10.4 卡氏第二定理例10-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。例10-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。C解：1)求梁的挠曲线方程：在距梁左端x处虚加FsAC段：CB段：§10.4 卡氏第二定理例10-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。例10-8 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂集中力F，梁的EI已知， 1)求梁的挠曲线方程(用卡氏定理)； 2)若在梁中截面再作用集中力F，求自由端挠度fB。2)梁中点再作用F，求fB：=F0将中点的F用F0表示，以同梁端F区分。BD段：DA段：§10.4 卡氏第二定理第六节 单位载荷法第六节 单位载荷法第十章 能量法一、单位载荷法一、单位载荷法§10.6 单位载荷法一、单位载荷法1.弯曲2.轴向拉伸桁架3.扭转角d一、单位载荷法§10.6 单位载荷法一、单位载荷法4.组合变形情况一、单位载荷法§10.6 单位载荷法二、卡氏定理和单位载荷法的关系二、卡氏定理和单位载荷法的关系§10.6 单位载荷法三、应用单位载荷法计算变形的步骤三、应用单位载荷法计算变形的步骤3.列积分式子，求位移2.计算原载荷作用下的内力方程和 单位载荷作用下的内力方程1.根据所求位移，作用单位载荷§10.6 单位载荷法三、应用单位载荷法计算变形的步骤3.求相对位移有关单位载荷的说明1.求线位移沿线位移方向加一单位集中力2.求角位移沿角位移方向加一单位集中力偶一对单位集中力一对单位集中力偶三、应用单位载荷法计算变形的步骤§10.6 单位载荷法例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qB例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qB解：1. 求fC由于对称性(1)根据所求位移，作用单位载荷§10.6 单位载荷法例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qB例10-10 试求图所示简支梁中点C的挠度和截面B的转角：fC ， qBC解：2.求qB§10.6 单位载荷法例10-11 图示刚架自由端A作用集中力F。刚架的抗弯刚度为已知，不计 轴力和剪力的影响，试计算A点垂直位移dAV和B截面的转角qB例10-11 图示刚架自由端A作用集中力F。刚架的抗弯刚度为已知，不计 轴力和剪力的影响，试计算A点垂直位移dAV和B截面的转角qB解：在A点加铅垂单位力AB段：BC段：1.求A截面铅垂位移dAV：§10.6 单位载荷法null2.求B截面转角qB： 在B截面加单位力偶AB段：BC段：§10.6 单位载荷法例10-12例10-12解：1.卡氏第二定理§10.6 单位载荷法例10-12例10-12解：2.单位载荷法§10.6 单位载荷法第七节 图乘法（维利沙金法）第七节 图乘法（维利沙金法）对于等直杆，莫尔积分可写成第十章 能量法null第十章 能量法null一、 是直线的情况null——M图的面积——M图的形心坐标null逐段使用图乘法，然后求其总和以折线的转折点为界，将积分分成若干段三、积分值的符号三、积分值的符号积分值为+积分值为 -四、几种常用图形的面积及其形心位置四、几种常用图形的面积及其形心位置1.三角形2.二次抛物线四、几种常用图形的面积及其形心位置四、几种常用图形的面积及其形心位置3.二次抛物线4.n次抛物线五、M图由几种常用图形组合五、M图由几种常用图形组合将M图分解为几种常用图形的组合，分别应用图乘法，然后叠加应用叠加原理六、一般情况六、一般情况例10-14 试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB例10-14 试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB解：1)画原载荷弯距图2)作用单位载荷，并画弯距图3)分段，叠加1.求fC例10-14试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB例10-14试用图乘法求图所示简支梁中点C的挠度: fC ， qB解：2.求qB例10-15 试用图乘法求图示外伸梁A端的转角qA例10-15 试用图乘法求图示外伸梁A端的转角qA解：1.画原载荷弯距图2.作用单位载荷，并画弯距图3.分段，叠加第九节 超静定结构的基本解法第九节 超静定结构的基本解法第十章 能量法一、超静定结构的概念一、超静定结构的概念1．超静定结构：2．超静定结构的分类：1)外力超静定结构：支座反力和内力不能全部由平衡方程求出的结构2)内力超静定结构：外力作用引起的超静定由内作用引起的超静定§10.9 超静定结构的基本解法二、超静定结构的基本解法二、超静定结构的基本解法3)混合超静定结构：由内、外力共同作用引起的超静定1.判断超静定次数，解除多 余约束，得到静定结构—静定基—变形比较法2.用多余约束反力代替除去 约束对原结构的作用3.静定基与原结构等价，确 定变形协调条件§10.9 超静定结构的基本解法null解：1)判断超静定次数：K1次2)取静定基：3)用反力FBy代替多余约束的作用：4)静定基与原结构等价，列变形 协调条件：5)使用卡氏第二定理求解：6)解得：§10.9 超静定结构的基本解法null1)对称结构：三、利用结构与载荷的对称性质结构的几何形状、支承条件和各杆的刚度都对称于某一轴线2)对称载荷：在对称结构上，载荷的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴3)反对称载荷：载荷的作用位置和大小仍然对称，但方向却是反对称的null4)与外载荷类似，杆件的内力也可分成对称和反对称的截面上的内力有轴力、剪力、扭矩及弯矩：轴力和弯矩是对称的内力，而剪力和扭矩是反对称的内力5)在对称结构上作用对称载荷时，在对称截面上只有对称的内力；在对称结构上作用反对称载荷时，在对称截面上只有反对称内力。E截面上只有对称内力：E截面上只有反对称内力：剪力FQnull2)变形协调条件：解：1) 静定基3)取左段静定基，计算DE：4)在静定基上求解yCnull解：静定基用静定基的平衡，可求得：