2011届高考数学难题集锦

高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/ 2011届高考数学难集锦 一、填空题 1．直线 过点 ，若可行域 的外接圆直径为 ．则实数n的值是 . 2．已知函数f（x）＝cosωx（ω>0）在区间 上是单调函数，且f（ ）＝0，则 ω＝ ． 3．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列四个命题中真命题的序号为 . ① ； ② ； ③ ； ④ 4．如图，已知椭圆 的左、右准线分别为 ，且分别交 轴于 两点，从 上一点 发出一条光线经过椭圆的左焦点 被 轴反射后与 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率等于 ． 5．己知等差数列{an}的各项都不为零，公差d>0，且a4+a7=0，记数列 eq \b\bc\{(\f(1,an))的前n项和为Sn，则使Sn>0成立的正整数n的最小值是_________. 6．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ． 7．已知函数，若存在一个实数x，使与均不是正数，则实数m的取值范围是________________. 8. 定义区间 的长度均为 ，其中 ，若 是实数，且 ，则满足不等式 的 构成的区间长度之和为 . 二、解答题， 9．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的左、右两个顶点分别为 ， ，直线 与椭圆相交于 两点，经过三点 的圆与经过三点 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程； （2）求证：无论 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和 的最小值． 10．如图，已知椭圆过点. ，离心率为，左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线、的斜线分别为、. （i）证明：； （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 11．已知 , 且 . (Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程； (Ⅱ)当 时,设 所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间 的长度定义为 ),试求 的最大值； (Ⅲ)是否存在这样的 ，使得当 时, ?若存在,求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 12．（1）证明：对任一正整 ，都存在整数 ，使得 成等差数列。 （2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且 成等差数列。 参考答案 一、填空题 1．8 2． 或4 3．②③ 4． 5． 11 6． 7． 8. 2 二、解答题， 9．解：（1）由题意： 可得： ， 故所求椭圆方程为： 1 （2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标 ，N的坐标 ，线段AM的中点P ，直线AM的斜率又, 直线的斜率直线的方程，的坐标为 同理的坐标为 ,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值. （2）圆的半径为，圆的半径为， 则 （＜＜） 显然时，最小，. 10． 11．解: (Ⅰ)当 时, . 因为当 时, , , 且 , 所以当 时, ,且 由于 ,所以 ,又 , 故所求切线方程为 ,即 (Ⅱ) 因为 ,所以 ,则 1 当 时,因为 , , 所以由 ,解得 , 从而当 时, 2 当 时,因为 , , 所以由 ,解得 , 从而当 时, ③当 时,因为 , 从而 一定不成立 综上得,当且仅当 时, , 故 从而当 时, 取得最大值为 (Ⅲ)“当 时, ”等价于“ 对 恒成立”, 即“ (*)对 恒成立” 1 当 时, ,则当 时, ,则(*)可化为 ,即 ,而当 时, , 所以 ,从而 适合题意 2 当 时, . 1 当 时,(*)可化为 ,即 ,而 , 所以 ,此时要求 2 当 时,(*)可化为 ,所以 ,此时只要求 (3)当 时,(*)可化为 ,即 ,而 , 所以 ,此时要求 由⑴⑵⑶,得 符合题意要求. 综合①②知,满足题意的 存在,且 的取值范围是 12． （1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，则， 分解得： 选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。[来源:学科网ZXXK] 任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 x N M O y A B l:x=t 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/ _1305960231.unknown _1329462724.unknown _1329484577.unknown _1355805024.unknown _1355805802.unknown _1355805829.unknown _1355805853.unknown _1355805885.unknown _1355805894.unknown _1355805879.unknown _1355805838.unknown _1355805812.unknown _1355805138.unknown _1355805188.unknown _1355805793.unknown _1355805152.unknown _1355805041.unknown _1355233166.unknown _1355233168.unknown _1355233170.unknown _1355805007.unknown _1355233169.unknown _1355233167.unknown _1354627004.unknown _1355233165.unknown _1354627003.unknown _1329482773.unknown _1329482819.unknown _1329482856.unknown _1329482797.unknown _1329482689.unknown _1329482758.unknown _1329462734.unknown _1329465103.unknown _1317547160.unknown _1329462669.unknown _1329462696.unknown _1329462716.unknown _1329462688.unknown _1329462604.unknown _1329462637.unknown _1317547184.unknown _1305960280.unknown _1305960332.unknown _1305960358.unknown _1305960381.unknown _1305960412.unknown _1306087601.unknown _1305960402.unknown _1305960368.unknown _1305960349.unknown _1305960312.unknown _1305960322.unknown _1305960301.unknown _1305960251.unknown _1305960265.unknown _1305960241.unknown _1299507269.unknown _1299603546.unknown _1299643639.unknown _1299644417.unknown _1299644496.unknown _1299645059.unknown _1305960212.unknown _1305960220.unknown _1299645196.unknown _1299645247.unknown _1299644569.unknown _1299644664.unknown _1299644520.unknown _1299644448.unknown _1299644459.unknown _1299644437.unknown _1299643744.unknown _1299644035.unknown _1299644318.unknown _1299644395.unknown _1299644387.unknown _1299644289.unknown _1299643812.unknown _1299643713.unknown _1299643727.unknown _1299643699.unknown _1299643361.unknown _1299643557.unknown _1299643626.unknown _1299643487.unknown _1299603623.unknown _1299603660.unknown _1299603703.unknown _1299603918.unknown _1299604081.unknown _1299603717.unknown _1299603681.unknown _1299603647.unknown _1299603589.unknown _1299603616.unknown _1299603558.unknown _1299556957.unknown _1299603513.unknown _1299603531.unknown _1299603540.unknown _1299603522.unknown _1299603411.unknown _1299603505.unknown _1299556973.unknown _1299509092.unknown _1299555832.unknown _1299556090.unknown _1299556152.unknown _1299556316.unknown _1299556512.unknown _1299556853.unknown _1299556268.unknown _1299556132.unknown _1299555986.unknown _1299555311.unknown _1299555362.unknown _1299555554.unknown _1299555221.unknown _1299554806.unknown _1299507602.unknown _1299507666.unknown _1299507576.unknown _1299500704.unknown _1299505661.unknown _1299506998.unknown _1299507196.unknown _1299507256.unknown _1299507111.unknown _1299505866.unknown _1299506631.unknown _1299505681.unknown _1299501011.unknown _1299503119.unknown _1299505543.unknown _1299501027.unknown _1299500797.unknown _1299500776.unknown _1234567927.unknown _1270268513.unknown _1299500584.unknown _1299500693.unknown _1270268545.unknown _1234567929.unknown _1234567931.unknown _1270102571.unknown _1234567930.unknown _1234567928.unknown _1231216311.unknown _1234567925.unknown _1234567926.unknown _1234567924.unknown _1208716307.unknown _1208716313.unknown _1208707788.unknown