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洛必达法则

2012-01-28 32页 pdf 279KB 97阅读

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is_819729

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洛必达法则 3.1 微分中值定理 3.2 函数单调性与曲线的凹凸性 3.3 函数的极值与最值 3.4 函数图形的描绘 3.5 洛必达法则 3.6 泰勒 (Taylor)公式 3.5 洛必达法则 洛必达法则型未定式解法型及一、 : 0 0 ∞ ∞ 型未定式解法二、 00 ,1,0,,0 ∞∞−∞∞⋅ ∞ 洛必达法则型未定式解法型及一、 : 0 0 ∞ ∞ ( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim 0( ) 0 .f xg x f x g x = =若 ,则 为 型未定式称 ( ), li...
洛必达法则
3.1 微分中值定理 3.2 函数单调性与曲线的凹凸性 3.3 函数的极值与最值 3.4 函数图形的描绘 3.5 洛必达法则 3.6 泰勒 (Taylor)公式 3.5 洛必达法则 洛必达法则型未定式解法型及一、 : 0 0 ∞ ∞ 型未定式解法二、 00 ,1,0,,0 ∞∞−∞∞⋅ ∞ 洛必达法则型未定式解法型及一、 : 0 0 ∞ ∞ ( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim 0( ) 0 .f xg x f x g x = =若 ,则 为 型未定式称 ( ), lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( ) 0 lim ( ) lim ( ) x x a x f x g x f x f xg x g x g x → →∞ ≠ = :若在 的某变化过程中 或 与 都 商 存在, 若 ,则 的运算法则 ( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim . ( ) g xg x f x f x = ≠若 ,则通过计算 求解 ( )lim ( ) ,lim ( ) lim . ( ) f xg x f x g x = ∞ ∞∞= ∞若 ,则 为 型未定式称 例如, ,tanlim 0 x x x→ 70 lnsin 2lim , lnsinx x x+→⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞ ∞ ( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim 0( ) 0 .f xg x f x g x = =若 ,则 为 型未定式称 ( )lim ( ) ,lim ( ) lim . ( ) f xg x f x g x = ∞ ∞∞= ∞若 ,则 为 型未定式称 o ( ), ( ) (1) lim ( ) 0 , lim ( ) 0; (2) ( ), ( ) ( ) ( ) 0; ( )(3) lim ( ), ( ) ( ) ( )lim lim ( ). ( ) ( ) x a x a x a x a x a f x g x f x g x x U a f x g x g x f x A g x f x f x A g x g x → → → → → = = ′ ′ ′∀ ∈ ≠ ′ = ∞′ ′= = ∞′ 设函数 满足 及 都存在,且 或 则 或 定理1 注意:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. , , .x a x a x− +→ → → ±∞当 及 时 该法则仍然成立 证 定义辅助函数 则有 . )( )(lim )( )(lim A g f xg xf aax =′ ′=∴ →→ ξ ξ ξ , , ( ),x U a∀ ∈ D ,a x在以 与 为端点的区间上 1 1( ), ( ) ,f x g x 满足柯西中值定理的条件 x a aξ→ →当 时 ( )lim , ( )x a f x A g x→ ′ =′∵ ( )lim , ( )a f A gξ ξ ξ→ ′∴ =′ ( )x aξ在 与 之间 1 ( ), , ( ) 0, , f x x a f x x a ≠⎧= ⎨ =⎩ 1 ( ), , ( ) 0, . g x x a g x x a ≠⎧= ⎨ =⎩ 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a g x g x g a −= − ( ) ( ) f g ξ ξ ′= ′ 例1 解 例2 解 3 3 21 3 2lim . 1x x x x x x→ − + − − +求 123 33lim 2 2 1 −− −= → xx x x 原式 26 6lim 1 −= → x x x . 2 3= ) 0 0( ) 0 0( 0 (1 ) 1lim . x x x α → + −求 1 0 (1 )lim 1x x αα − → +=原式 .α= 例3 解 arctan 2lim .1x x x π →+∞ − 求 2 2 1 1lim 1x x x →+∞ − += − 原式 2 2lim 1x x x→+∞ = + .1= 练习: 0( ) 0 思考:如何求 ( n为正整数) ? arctan 2lim 1n n n →∞ −π 2 0 2lim sin x x x e e x x x − → − − −求 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 例4 解 30 sinlim x xx x −= →原式 x x x 6 sinlim 0 −= → 20 3 1coslim x x x −= → . 6 1−= 如,进行适当的恒等变形,等价无穷小代换,将 非零因子计算出来等. 20 sinlim . tanx x x x x→ −求 例5 解 . cossec )1ln(lim 2 0 xx x x − + →求 x xx x 2 2 0 cos1 coslim −= →原式 x x x 2 2 0 sin lim→=========== 出恒等变形,非零因子分 1= , , . x a x a x+ −→ → → ±∞当 及 时 该法则仍 意: 然成立 注 o ( ), ( ) (1) lim ( ) , lim ( ) ; (2) ( ), ( ) ( ) ( ) 0; ( )(3) lim ( ), ( ) ( ) ( )lim lim ( ). ( ) ( ) x a x a x a x a x a f x g x f x g x x U a f x g x g x f x A g x f x f x A g x g x → → → → → = ∞ = ∞ ′ ′ ′∀ ∈ ≠ ′ = ∞′ ′= = ∞′ 设函数 满足 及 都存在,且 或 则 或 定理2 例6 解 . 7sinln 2sinlnlim 0 x x x +→ 求 .1= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞ ∞ x x x 2cos 7coslim 0→= 0 2cos2 sin7lim 7cos7 sin2x x x x x+→ ⋅= ⋅原式 例7 2 tanlim . tan3x x xπ→ 求 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞ ∞ 解 x x x 3sec3 seclim 2 2 2 π→ =原式 x x x 2 2 2 cos 3coslim 3 1 π→ = xx xx x sincos2 3sin3cos6lim 3 1 2 − −= π→ x x x 2sin 6sinlim 2 π→ = x x x 2cos2 6cos6lim 2 π→ = .3= 练习 ( )∞∞ 说明: 上表明当 x→ +∞时, ln ,x 后者比前者趋于 +∞ 更快 . ( 0)xeλ λ >( 0) ,px p > ( ) ( ) ln(1) lim 0 (2) lim 0, 0 px p xx x p x x p eλ λ →+∞ →+∞ > > > 求 lim ( ) n xx x n N eλ + →+∞ ∈提 先求示: (2) p不为正整数的情形. px 从而 又 1 lim lim 0 n n x xx x x x e eλ λ − →+∞ →+∞= = 用夹逼准则 1nx − < nx< 存在正整数 n , 使当 x > 1 时, ( )lim 0, 0pxx x peλ λ→+∞ > >求 1n p n x x x x x x e e eλ λ λ − < < ( )lim 0 0, 0pxx x peλ λ→+∞∴ = > > 0 00 , ,0 ,1 ,∞⋅∞ ∞ − ∞ ∞二、 型未定式解法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 .),0 0( ( )∞∞ 10 0 . 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅或11. 0 ,⋅ ∞ ⇒ ⋅∞∞型 ( ) ( )( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) g x f xf x g x f x g x ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 或 例8 解 .lim 2 x x ex−+∞→求 )0( ∞⋅ 2lim x x e x→+∞ =原式 lim 2 x x e x→+∞ = 2 lim x x e +∞→= .+∞= 2 2 1arctan 12lim lim1 1x x x x x x π →+∞ →+∞ −− += − 原式= 2 2 1 lim x x x += +∞→ .1= lim arctan ? 2x x xπ→+∞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠练习: 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或 未定式.0 0 ∞ ∞ 例9 解 0 1 1lim( ). 1xx x e→ − −求 )( ∞−∞ 0 1lim ( 1) x xx e x x e→ − −= −原式 0 1lim 2 x x e x→ −= 1 . 2 = 2 lim(sec tan ) x x xπ→ −:求练习 0 20 1lim x x e x x→ − −= 2.∞ −∞型 通过 )(ln)()()]([ xfxgxg exf = 将三种未定式转化为0·∞型. 0 03. 0 ,1 ,∞ ∞ 型 例10 解 0 lim .x x x+→求 )0( 0 xx x e ln 0 lim+→=原式 xx xe lnlim 0+→= 2 0 1 1 lim x x x e −+→= 0e= .1= 0 lnlim 1x x xe +→= sin 0 lim x x x+→练 :求习 1 例11 解 .lim 1 1 1 x x x −→求 )1( ∞ x x x e ln 1 1 1 lim −→=原式 1 lnlim 1x x xe → −= 1 1 lim 1x x e → −= .1−= e 例12 解 .)(cotlim ln 1 0 x x x+→求 )( 0∞ 1 1 ln(cot ) ln ln(cot ) , x x xx e ⋅= )ln(cot ln 1lim 0 x xx ⋅+→∵ 2 0 1 1 cot sinlim 1x x x x +→ − ⋅ = 0 lim cos sinx x x x+→ −= ⋅ ,1−= .1−=∴ e原式 1 tan sin 0 0 sin 1lim ; (2) lim . x x x x x x x x+ +→ → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠求(1)练习: 0tan ( ) tan ln 00 1(2)lim lim x x x xx e x ++ →→ ∞ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 0 lnlim tan ln lim cotx x xx x x+ +→ → =∵ 2 20 0 1 sinlim lim 0 cscx x xx x x+ +→ → = = =− − 1.∴ =原式 解 1 1sin 6 0 sin(1) lim x x x x e x+ − → ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 例13 注意:洛必达法则只适用于 )( ∞ ∞) 0 0( •用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活结合其他的 求极限方法. •洛必达法则有时并不适用 : lim , x x x xx e e e e − −→+∞ − +如 求 30 sinlim ( 1 1 sin )x x x x x x→ −= + + +30 1 1 sinlim sinx x x x→ + − + 30 sin 1lim . 2 12x x x x→ −= = 21lim , x x x→+∞ + 2 2lim . 2x x x x x→+∞ + + 例14 解 .coslim x xx x + ∞→求 1 sin1lim x x −= ∞→原式 ).sin1(lim xx −= ∞→ 极限不存在 )cos11(lim x xx += ∞→原式 .1= ( )lim ( ) . x a f x g x→ ′• ′当第三个条件不成立时,即 不存在时, 不能轻易断言原极限不存在,可选择其他方法 洛必达法则失效. n n = 1 lnnne 1→ 例15. 求 lim ( 1).n n n n→∞ − : 为用洛必达法则,必须改求 11 2lim ( 1).x x x x→+∞ − 法1 用洛必达法则 但对本题用此法计算很繁! 1 2 lim n n →∞ − = 法2 11 2lim ( 1)n n n n→∞= − 1 ln 1 n ne − 1 2 lim n n →∞ − = 1 lnn n 1 2 lnlim n n n →∞= 0.= ~u1−ue 原式 ( 0)∞ ⋅ 洛必达法则 型00 ,1,0 ∞∞ 型∞−∞ 型∞⋅0 型 0 0 型∞ ∞ g fgf 1 =⋅fg fggf 11 11 ⋅ −=− 取对数 令 gfy = 思考与练习 1.设 ( )lim ( ) f x g x 是未定式极限,如果 ( )( ) f x g x ′ ′ 不存在,是否 ( )( ) f x g x 的极限也不存在? 举例说明. 的极限 2 0 13sin cos 2. lim (1 cos )ln(1 )x x x x x x→ + =+ + 原式 2 0 13sin cos1 lim 2 x x x x x→ + = ln(1 )x+ ~x 1 (3 0) 2 = + 2 3 分析: 分析: 20 1 coslim 3x x x→ −= 30 lim x x→ = 3. 0 1 1limcot sinx x x x→ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 原式 xsin ~ x 1coslim 0 =→ xxsinx x− 2 20 1 2lim 3x x x→ = xcos1− ~ 221 x 1 6 = 6 1 20 cos ( sin )lim sinx x x x x x→ −= 1 ,t x = 则 20 1 2 2 1 1 lim t t t t→ + − + += 4. 求 ( )32lim 2 2 1 x x x x x→∞ + − + + 解 令 原式 0 lim 2t t→ = 1 2(1 2 )t −+ 1 2(1 )t −− + 3 3 2 2 0 1(1 2 ) (1 ) 2lim 2t t t − − → − + + + = 1 4 = − 20 1 11. lim( ) tanx x x x→ − 3 1 1 22. lim (sin sin ) 2x x x x→∞ − ln(1 ) 0 13. lim ( ) x x x+ + → 1 3 1 2 1 20 (1 sin ) 11. lim x x x x→ + − 22. lim ( 2 3 1) x x x x x→+∞ + + − − 1 1 3 3 33. lim sin(3 ) x x x x→ − − 27(ln 3 1)− 2 1 11. lim ln( 1) 2x x x+→ ⎡ ⎤−⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 20 12. lim 1 1 x x e x x→ − − − − 1arcsin 3. lim x x x→+∞ [ ] 1 2. lim ln ln( 1) x x x+→ ⋅ − 0 1 11. lim sin 1xx x e→ ⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1 23. lim(cos sin )x x x x→∞ + 20 arcsin sin1. lim ln(1 )x x x x x→ − + 20 1 arcsin cos3. lim x x x x x→ + − 212. lim ( tan )x x x x→+∞ 1 6 − 1 3 3 4 3.5 洛必达法则 例15. 求 小结 思考与练习 3. 4. 求
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