3.1 微分中值定理
3.2 函数单调性与曲线的凹凸性
3.3 函数的极值与最值
3.4 函数图形的描绘
3.5 洛必达法则
3.6 泰勒 (Taylor)公式
3.5 洛必达法则
洛必达法则型未定式解法型及一、 :
0
0
∞
∞
型未定式解法二、 00 ,1,0,,0 ∞∞−∞∞⋅ ∞
洛必达法则型未定式解法型及一、 :
0
0
∞
∞
( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim
0( )
0 .f xg x f x
g x
= =若 ,则 为 型未定式称
( ),
lim ( ) lim ( )
( ) lim ( )lim ( ) 0 lim
( ) lim ( )
x x a x
f x g x
f x f xg x
g x g x
→ →∞
≠ =
:若在 的某变化过程中 或
与 都
商
存在,
若 ,则
的运算法则
( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim .
( )
g xg x f x
f x
= ≠若 ,则通过计算 求解
( )lim ( ) ,lim ( ) lim .
( )
f xg x f x
g x
= ∞ ∞∞= ∞若 ,则 为 型未定式称
例如, ,tanlim
0 x
x
x→ 70
lnsin 2lim ,
lnsinx
x
x+→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
0
0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞
∞
( )lim ( ) 0,lim ( ) 0 lim
0( )
0 .f xg x f x
g x
= =若 ,则 为 型未定式称
( )lim ( ) ,lim ( ) lim .
( )
f xg x f x
g x
= ∞ ∞∞= ∞若 ,则 为 型未定式称
o
( ), ( )
(1) lim ( ) 0 , lim ( ) 0;
(2) ( ), ( ) ( ) ( ) 0;
( )(3) lim ( ),
( )
( ) ( )lim lim ( ).
( ) ( )
x a x a
x a
x a x a
f x g x
f x g x
x U a f x g x g x
f x A
g x
f x f x A
g x g x
→ →
→
→ →
= =
′ ′ ′∀ ∈ ≠
′ = ∞′
′= = ∞′
设函数 满足
及 都存在,且
或
则 或
定理1
注意:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
, , .x a x a x− +→ → → ±∞当 及 时 该法则仍然成立
证 定义辅助函数
则有
.
)(
)(lim
)(
)(lim A
g
f
xg
xf
aax
=′
′=∴ →→ ξ
ξ
ξ
, ,
( ),x U a∀ ∈ D ,a x在以 与 为端点的区间上
1 1( ), ( ) ,f x g x 满足柯西中值定理的条件
x a aξ→ →当 时 ( )lim ,
( )x a
f x A
g x→
′ =′∵
( )lim ,
( )a
f A
gξ
ξ
ξ→
′∴ =′
( )x aξ在 与 之间
1
( ), ,
( )
0, ,
f x x a
f x
x a
≠⎧= ⎨ =⎩ 1
( ), ,
( )
0, .
g x x a
g x
x a
≠⎧= ⎨ =⎩
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f x f a
g x g x g a
−= −
( )
( )
f
g
ξ
ξ
′= ′
例1
解
例2
解
3
3 21
3 2lim .
1x
x x
x x x→
− +
− − +求
123
33lim 2
2
1 −−
−= → xx
x
x
原式
26
6lim
1 −= → x
x
x
.
2
3=
)
0
0(
)
0
0(
0
(1 ) 1lim .
x
x
x
α
→
+ −求
1
0
(1 )lim
1x
x αα −
→
+=原式 .α=
例3
解
arctan
2lim .1x
x
x
π
→+∞
−
求
2
2
1
1lim 1x
x
x
→+∞
− +=
−
原式
2
2lim 1x
x
x→+∞
= + .1=
练习:
0( )
0
思考:如何求 ( n为正整数) ?
arctan
2lim 1n
n
n
→∞
−π
2
0
2lim
sin
x x
x
e e x
x x
−
→
− −
−求
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,
但与其它求极限方法结合使用,效果更好.
例4
解 30
sinlim
x
xx
x
−= →原式
x
x
x 6
sinlim
0
−= →
20 3
1coslim
x
x
x
−= →
.
6
1−=
如,进行适当的恒等变形,等价无穷小代换,将
非零因子计算出来等.
20
sinlim .
tanx
x x
x x→
−求
例5
解
.
cossec
)1ln(lim
2
0 xx
x
x −
+
→求
x
xx
x 2
2
0 cos1
coslim −= →原式
x
x
x 2
2
0 sin
lim→===========
出恒等变形,非零因子分
1=
, ,
.
x a x a x+ −→ → → ±∞当 及 时
该法则仍
意:
然成立
注
o
( ), ( )
(1) lim ( ) , lim ( ) ;
(2) ( ), ( ) ( ) ( ) 0;
( )(3) lim ( ),
( )
( ) ( )lim lim ( ).
( ) ( )
x a x a
x a
x a x a
f x g x
f x g x
x U a f x g x g x
f x A
g x
f x f x A
g x g x
→ →
→
→ →
= ∞ = ∞
′ ′ ′∀ ∈ ≠
′ = ∞′
′= = ∞′
设函数 满足
及 都存在,且
或
则 或
定理2
例6
解
.
7sinln
2sinlnlim
0 x
x
x +→
求
.1=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞
∞
x
x
x 2cos
7coslim
0→=
0
2cos2 sin7lim
7cos7 sin2x
x x
x x+→
⋅= ⋅原式
例7
2
tanlim .
tan3x
x
xπ→
求 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞
∞
解
x
x
x 3sec3
seclim 2
2
2
π→
=原式
x
x
x
2
2
2
cos
3coslim
3
1
π→
=
xx
xx
x sincos2
3sin3cos6lim
3
1
2
−
−= π→ x
x
x 2sin
6sinlim
2
π→
=
x
x
x 2cos2
6cos6lim
2
π→
= .3=
练习
( )∞∞
说明: 上
表明当 x→ +∞时,
ln ,x
后者比前者趋于 +∞ 更快 .
( 0)xeλ λ >( 0) ,px p >
( )
( )
ln(1) lim 0
(2) lim 0, 0
px
p
xx
x p
x
x p
eλ
λ
→+∞
→+∞
>
> >
求
lim ( )
n
xx
x n N
eλ
+
→+∞ ∈提 先求示:
(2) p不为正整数的情形.
px
从而
又
1
lim lim 0
n n
x xx x
x x
e eλ λ
−
→+∞ →+∞= =
用夹逼准则
1nx − < nx<
存在正整数 n , 使当 x > 1 时,
( )lim 0, 0pxx x peλ λ→+∞ > >求
1n p n
x x x
x x x
e e eλ λ λ
−
< <
( )lim 0 0, 0pxx x peλ λ→+∞∴ = > >
0 00 , ,0 ,1 ,∞⋅∞ ∞ − ∞ ∞二、 型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型 .),0
0( ( )∞∞
10 0 .
0
⋅ ∞ ⇒ ⋅或11. 0 ,⋅ ∞ ⇒ ⋅∞∞型
( ) ( )( ) ( ) 1 1
( ) ( )
g x f xf x g x
f x g x
⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
或
例8
解
.lim 2 x
x
ex−+∞→求 )0( ∞⋅
2lim
x
x
e
x→+∞
=原式 lim
2
x
x
e
x→+∞
=
2
lim
x
x
e
+∞→= .+∞=
2
2
1arctan
12lim lim1 1x x
x
x
x x
π
→+∞ →+∞
−− +=
−
原式=
2
2
1
lim
x
x
x += +∞→ .1=
lim arctan ?
2x
x xπ→+∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠练习:
通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或 未定式.0
0
∞
∞
例9
解
0
1 1lim( ).
1xx x e→
− −求 )( ∞−∞
0
1lim
( 1)
x
xx
e x
x e→
− −= −原式
0
1lim
2
x
x
e
x→
−= 1 .
2
=
2
lim(sec tan )
x
x xπ→
−:求练习 0
20
1lim
x
x
e x
x→
− −=
2.∞ −∞型
通过 )(ln)()()]([ xfxgxg exf =
将三种未定式转化为0·∞型.
0 03. 0 ,1 ,∞ ∞ 型
例10
解
0
lim .x
x
x+→求 )0(
0
xx
x
e ln
0
lim+→=原式
xx
xe
lnlim
0+→=
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
−+→= 0e= .1=
0
lnlim 1x
x
xe
+→=
sin
0
lim x
x
x+→练 :求习 1
例11
解
.lim 1
1
1
x
x
x −→求 )1(
∞
x
x
x
e
ln
1
1
1
lim −→=原式 1
lnlim
1x
x
xe → −= 1
1
lim
1x
x
e → −= .1−= e
例12
解
.)(cotlim ln
1
0
x
x
x+→求 )(
0∞
1 1 ln(cot )
ln ln(cot ) ,
x
x xx e
⋅=
)ln(cot
ln
1lim
0
x
xx
⋅+→∵
2
0
1 1
cot sinlim 1x
x x
x
+→
− ⋅
=
0
lim
cos sinx
x
x x+→
−= ⋅ ,1−= .1−=∴ e原式
1 tan
sin
0 0
sin 1lim ; (2) lim .
x
x x
x x
x
x x+ +→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠求(1)练习:
0tan ( )
tan ln
00
1(2)lim lim
x
x x
xx
e
x ++ →→
∞ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 0
lnlim tan ln lim
cotx x
xx x
x+ +→ →
=∵
2
20 0
1
sinlim lim 0
cscx x
xx
x x+ +→ →
= = =− − 1.∴ =原式
解
1
1sin
6
0
sin(1) lim
x x
x
x e
x+
−
→
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
例13
注意:洛必达法则只适用于 )( ∞
∞)
0
0(
•用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活结合其他的
求极限方法.
•洛必达法则有时并不适用
: lim ,
x x
x xx
e e
e e
−
−→+∞
−
+如 求
30
sinlim
( 1 1 sin )x
x x
x x x→
−= + + +30
1 1 sinlim
sinx
x x
x→
+ − +
30
sin 1lim .
2 12x
x x
x→
−= =
21lim ,
x
x
x→+∞
+
2
2lim .
2x
x
x x x→+∞ + +
例14
解
.coslim
x
xx
x
+
∞→求
1
sin1lim x
x
−= ∞→原式 ).sin1(lim xx −= ∞→
极限不存在
)cos11(lim x
xx
+= ∞→原式 .1=
( )lim
( )
.
x a
f x
g x→
′• ′当第三个条件不成立时,即 不存在时,
不能轻易断言原极限不存在,可选择其他方法
洛必达法则失效.
n n = 1 lnnne 1→
例15. 求 lim ( 1).n
n
n n→∞ −
: 为用洛必达法则,必须改求
11
2lim ( 1).x
x
x x→+∞ −
法1 用洛必达法则
但对本题用此法计算很繁!
1
2
lim
n
n
→∞ −
=
法2
11
2lim ( 1)n
n
n n→∞= −
1 ln
1
n
ne −
1
2
lim
n
n
→∞ −
=
1 lnn
n
1
2
lnlim
n
n
n
→∞= 0.=
~u1−ue
原式
( 0)∞ ⋅
洛必达法则 型00 ,1,0 ∞∞
型∞−∞ 型∞⋅0
型
0
0
型∞
∞
g
fgf
1
=⋅fg
fggf
11
11
⋅
−=−
取对数
令 gfy =
思考与练习
1.设 ( )lim
( )
f x
g x
是未定式极限,如果 ( )( )
f x
g x
′
′
不存在,是否 ( )( )
f x
g x 的极限也不存在? 举例说明.
的极限
2
0
13sin cos
2. lim
(1 cos )ln(1 )x
x x
x
x x→
+
=+ +
原式
2
0
13sin cos1 lim
2 x
x x
x
x→
+
=
ln(1 )x+ ~x
1 (3 0)
2
= +
2
3
分析:
分析:
20
1 coslim
3x
x
x→
−=
30
lim
x x→
=
3.
0
1 1limcot
sinx
x
x x→
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
原式 xsin ~ x
1coslim
0
=→ xxsinx x−
2
20
1
2lim
3x
x
x→
=
xcos1− ~ 221 x
1
6
=
6
1
20
cos ( sin )lim
sinx
x x x
x x→
−=
1 ,t
x
= 则
20
1 2 2 1 1
lim
t
t t
t→
+ − + +=
4. 求 ( )32lim 2 2 1
x
x x x x→∞ + − + +
解 令
原式
0
lim
2t t→
=
1
2(1 2 )t
−+
1
2(1 )t
−− +
3 3
2 2
0
1(1 2 ) (1 )
2lim
2t
t t
− −
→
− + + +
= 1
4
= −
20
1 11. lim( )
tanx x x x→
−
3 1 1 22. lim (sin sin )
2x
x
x x→∞
−
ln(1 )
0
13. lim ( ) x
x x+
+
→
1
3
1
2
1
20
(1 sin ) 11. lim
x
x
x
x→
+ −
22. lim ( 2 3 1)
x
x x x x→+∞ + + − −
1
1
3
3
33. lim
sin(3 )
x
x
x
x→
−
− 27(ln 3 1)−
2
1 11. lim
ln( 1) 2x x x+→
⎡ ⎤−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
20
12. lim
1 1
x
x
e x
x→
− −
− −
1arcsin
3. lim x
x
x→+∞
[ ]
1
2. lim ln ln( 1)
x
x x+→ ⋅ −
0
1 11. lim
sin 1xx x e→
⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 23. lim(cos sin )x
x x x→∞
+
20
arcsin sin1. lim
ln(1 )x
x x
x x→
−
+
20
1 arcsin cos3. lim
x
x x x
x→
+ −
212. lim ( tan )x
x
x
x→+∞
1
6
−
1
3
3
4
3.5 洛必达法则
例15. 求
小结
思考与练习
3.
4. 求