三角形中常用辅助线讲义全等三角形辅助线
三角形中常见辅助线的作法:
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折,构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:
(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。
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全等三角形辅助线
三角形中常见辅助线的作法:
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折,构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:
(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。
(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2:如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证:ΔABC是等腰三角形。
(3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3:如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD。求证:∠B+∠ADC=180°
(4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
例4:如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=CF。求证:DE=DF。
例5:△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ。
(5)截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例6:如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。
求证:CD=AD+BC。
截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;
补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
1)对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2)在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。
小结:三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角形。三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
同步练习
1、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。求证:∠BAD+∠BCD=180°。
INCLUDEPICTURE "http://www.cceschool.com/zplqla/_6hntby/lmrpe0vc.png" \* MERGEFORMATINET
2、已知,如图2,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD。求证:∠BAP+∠BCP=180°。
3、已知,如图3,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD。
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