第3章 简单随机抽样

nullnull第三章 简单随机抽样null例:从某个总体抽取一个n=50的独立同分布样本，样本数据如下： 567 601 665 732 366 937 462 619 279 287 690 520 502 312 452 562 557 574 350 875 834 203 593 980 172 287 753 259 276 876 692 371 887 641 399 442 927 442 918 11 178 416 405 210 58 797 746 153 644 476 （1）计算样本均值与样本方差。 （2）若用 估计总体均值μ，按数理统计结果，是否无偏，并写出它的方差达式。 （3）根据上述样本数据，如何估计？ （4）假定的分布是近似正态的，试分别给出总体均值μ的置信度为95%的近似置信区间。null（1）计算样本均值与样本方差。 （2）若用 估计总体均值μ，按数理统计结果，是否无偏，并写出它的方差表达式。 （3）根据上述样本数据，如何估计？ null（4）假定的分布是近似正态的，试分别给出总体均值μ的置信度为95%的近似置信区间。 3.1 概述3.1 概述一、简单随机抽样（或单纯随机抽样） 本书一般局限于不放回随机抽样 二、实施方法 三、地位、作用 是其他抽样方法基础 精度较高 但，样本比较分散（局限性）3.2 总体均值与总量的简单估计3.2 总体均值与总量的简单估计一、总体均值的估计 1.简单估计及其无偏性： null对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得到的，因此 总体中每个特定的单元 在不同的样本中出现的次数为 。 证法一null由于每个单元出现在总体所有可能样本中的次数相同，因此 一定是 的倍数，且这个倍数就是 ， 证法二取Yi = Y0则，null证法三引进N个随机变量：则 ai 都服从两点分布.显然, ( 抽样比 f )又因，因此，null2.估计量的方差 一般定义，有限总体的方差为： 说明：总体方差 但为了使大多数情形下公式表达更简练，定义总体方差为：证明性质2证明性质2证法一nullnull引进N个随机变量：则 ai 都服从两点分布.显然, 证法二nullnull3.估计量的方差估计证明 :nullnull4.区间估计 null例1：在某地区10000户家庭中，按简单随机抽样抽取400户， 调查一个月的伙食费（单位：元）。经计算： （1）试估计该地区平均每户每月的伙食费，并估计其标准差。（忽略f） （2）给出置信度为95%时该地区平均每户每月伙食费的近似置信区间。null 解： （1） （2）null 例2：某地区性专业杂志目前拥有8000家订户，从中按简单随 机抽样抽取了484户．这484户的年均收入为30500元，标准差 为7040元．试求该杂志订户的年均收入 的置信度为95%的近 似置信区间． 解：null二、总体总和的估计3.3 总体比例（成数）的简单估计3.3 总体比例（成数）的简单估计一、对总体的描述 1.总体null2.样本 简单随机样本{y1……yn} 样本比例 样本方差 二、估计量及其性质 性质1. 对于简单随机抽样，p为P的无偏估计，即E(p)=P. 性质2. null 性质3. P的区间估计： *推导总体总量A=NP的估计量及其性质。null P的区间估计：null例3：从一份共有3042人的人名录中随机抽200人，发现38人 的地址已经变动。 (1)试估计这份人名录中需要修改的地址的人所占的比例及其标准差,并以95%的置信度求P的置信区间 ； (2)试估计这份人名录中需要修改的地址的人总数及其标准差，并以95%的置信度求A的置信区间。解:null复 习null例4：某超市开张一段时间后，为改进销售服务环境，欲调 查附近几个小区居民到该超市购物的满意度。该某超市与附 近几个小区居委会联系，按简单随机抽样抽取了200人的样 本。调查发现表示满意或基本满意的居民有130位。试估计 对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并给出置信度 95%的绝对误差和置信区间。（假定f 可以忽略）。 解：null例5：从5620个中学中抽出一个含有300个学校的简单随机 样本，其中有187个学校赞成一个提案，试估计赞成该提 案的比例及总的学校数。 解：3.4 样本量的确定3.4 样本量的确定一、确定的原则与主要因素 简单随机抽样的费用： 若CT限制，c0、c 给定，则最大的n就确定了。 null精度常见的表示方法：null 二、估计总体均值或总量时样本量的确定方法 先对总体均值的情形讨论。 1.精度要求：置信度1-a的绝对误差限为d，即 null则估计总体均值时样本量是这样确定：null2.精度要求：置信度1-a的相对误差限为r，即 则估计总体均值时样本量这样确定： nullnull 精度要求 样本量的确定 null由以上叙述知，确定n需要S2，但总体S2是未知的．在实际工 作中估计样本容量n时，均要设法给出一个S2的粗略估计值．1.察往法：若总体曾被调查过，则用当时的S2的估计值作为粗 　　　　　略值． 2.预查法：对总体先做样本量较少的调查，根据预查样本算出 　　　　　S2的估计值，以此作为粗略值计算样本量n，然后 　　　　　再已抽取基础上补充． 3.类推法：利用与目标量Y关联较强的指标X的信息，当　和　 　　　　　有估计值时，假定X与Y 的变异系数接近，则null例6：若要求估计职工的平均收入的绝对误差在20元之内， 置信度为95%, N=4328, S2=18518, 则样本量应该是多少？ 解：null例7：在某地区10000户家庭中，按单纯随机抽样抽取400 户，调查一个月的伙食费（单位：元）。经计算： 利用这次抽样结果，现在若要再进行一次简单随机抽 样，分别要求如下时，样本量各为多少？ （1）要求d=50（置信度为0.95）； （2）要求r=0.05（置信度为0.95)。null解：null三、估计总体比例P时样本量的确定方法 1. 精度要求：估计量p的绝对误差限为d，则nullnull 2. 精度要求：估计量p的相对误差限为r ：null例8：估计3200件产品中优等品的比例P的问题，若已知 p=0.45，以95%的置信度允许P估计量的绝对误差d=0.04， 确定所需的样本量。 解：null例9：为估计某一地区的流行病的发病率P，用简单随机 抽样进行调查，设允许P的估计量的相对误差限为10%， 初步估计发病率为25%，问在置信水平为95%的条件下 至少需采样多少才能满足需求？ 解：null例10：某销售公司希望了解全部3000家客户对该公司的 综合满意度，决定用电话来进行一个简单随机调查。销 售公司希望以95%的把握保证绝对误差为10%，但对总 体比例P无法给出一个大致的范围。这时应该调查多少个 客户？ 解：3.5 放回简单随机抽样3.5 放回简单随机抽样定理： null1.放回简单随机抽样的简单估计为 ： null2.效应（design effect）： 3.放回简单随机抽样的样本量的确定： 3.6 逆抽样3.6 逆抽样