第一章 实数集与函数

nullnullnull §1 实数 §2 数集.确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数§1 实 数§1 实 数null1. 我们用符号“” 示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.几个常用符号null2. 我们用符号“”表示“存在”.例：命“对任意的实数x, 都存在实数y, 　　使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 　　使x+y=1”符号“”称为存在量词.null3. 我们用符号“”表示“充分条件”比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 或 “推出” 这一意思.则“ p  q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.null4. 我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p  q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.或 “充要条件” 这一意思.一、集合一、集合1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.null集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}. null几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.null2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集. null集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的证明所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)Cnull直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. null对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则分别称x = y与x x)3.实数集两个实数的大小关系 .自然规定任何非负实数大于任何负实数 定义1 null定义2 说明: null命题1 null实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .null3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有a>c 实数的性质 null5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.实数的性质 null例1 证明 null例2 证明 null3.小结 P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1), 两个实数的大小关系;(2), 实数的性质;(3), 区间和邻域的概念;(4), 确界原理.§2 数集.确界原理§2 数集.确界原理null 数集{x|a0, 则称 U(a, )=(a-, a+)={x| |x-a|<} 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心,  称为邻域的半径.去心邻域null说明: 2.确界原理定义1 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集. 若数集S不是有界集,则称S为无界集.null定义2 说明: 同理可得下确界的定义.定义3: null 确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.例3 证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.null例4 证:null (ii) 可类似证明.null3.小结 P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1), 两个实数的大小关系;(2), 实数的性质;(3), 区间和邻域的概念;(4), 确界原理. §3 函数概念 §3 函数概念null说明: 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 说明: 为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD. 1.函数概念 定义 null 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的两要素 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 函数的定义域 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域. null 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数yf(x), xD的图形. 函数的表示法null单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 null 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =[0, + ). 例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf ={2}.函数举例 null 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf ={-1, 0, 1}. 例8 函数y=[x].注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.null 此函数的定义域为D=[0, 1](0, +)=[0, +). f(3)=1+3=4.分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. null2.反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 提问: 下列结论是否正确？null2.反函数反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数. null 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. 反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). null3.复合函数 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yf[g(x)], xD 确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如>>>null4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;null 例10 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是 证 则 f(x)g(x)h(x), 且null　　 　　幂函数: yx  (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . >>>基本初等函数 null(一)幂函数的图形 nullnull同一坐标系中幂函数的图象null(二)指数函数的图形 null同一坐标系中指数函数的图象null(三)对数函数的图形 null同一坐标系中对数函数的图象null正弦函数　　　　的图象　　　(四)三角函数的图形 null余弦函数　　　　的图象　　　　　　　　　　nullnullnull(五)反三角函数的图象nullnullnullnull 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yf[g(x)], xD 确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如>>>复合函数 null　　由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数初等函数 null双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是: 双曲函数与反双曲函数 null双曲函数与反双曲函数 双曲函数的性质比较 sin(xy)=sin x cos ycos x sin y. sh(xy)=sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x=1, ch(xy)=ch x ch ysh x sh y, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. null双曲函数与反双曲函数 反双曲函数 双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x. 可以证明 null6.小结 P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(1), 基本初等函数的概念;(2), 基本初等函数的图象及性质;(3), 复合函数的概念及性质;(4), 双曲函数的概念;(5), 初等函数的概念.null (1) 符号函数几个特殊函数举例 null(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数阶梯曲线null(3) 狄利克雷函数null(4) 取最值函数null §4 具有某些特性的函数 §4 具有某些特性的函数null1. 单调函数 单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.设f (x)在(a, b)有定义. 若x1, x2(a, b). x1< x2, 有f (x1)f (x2) (f (x1)f (x2)), 则称f (x)在(a, b)上单调递增(单调递减).区间(a, b)称为f (x)的单调区间.null如, y = x2, 图y=x20xy在(, 0]上单调递减, 而在[0, +)上单调递增.null2. 奇偶函数. (1) 若xD(f ). 有f (–x)= f (x). 则称f (x)为偶函数. 其图形关于y 轴对称.(2) 若xD(f ). 有f (–x)= –f (x). 则称f (x)为奇函数. 其图形关于原点对称.设f (x)的定义域为D(f ). 满足xD(f ). 有–xD(f ). null易见, 常函数y=c是偶函数.狄利克莱函数D(x)也是偶函数.因为若x为有理数, 则–x也是有理数,从而若x为无理数, 则–x也是无理数,从而综合起来, 总有D(x)= D(–x). 因此, D(x)是一个偶函数.D(x)= D(– x)=1D(x)= D(– x)=0null3. 周期函数. 设f (x)的定义域为D(f ). 若存在常数T0, 使xD(f ). 有xTD(f ). 且 f (xT)=f (x).则称f (x)为周期函数. T为f (x)的周期.由于周期函数的函数值是呈周期变化. 因此, 周期函数的图形也是呈周期性变化. 会周而复始的重复出现. 如y=sinx, y=cosx. null易见, 若T为f (x)的周期, 则nT均为f (x)的周期, n=1,2,… , 通常称最小正周期为f (x)的周期.画周期函数图形可以先在一周期内画好, 然后向数轴两端平移.null　　如y=sinx, 2n都是sinx的周期, 其中n=1,2,…, 它的最小正周期为2.是周期函数,它的周期为n, n=1,2,…最小正周期为.null有些周期函数没有最小正周期.　　如常数函数y=f (x)=c (常数), 是一个周期函数. 任何一个大于0的常数T都是它的一个周期.这是因为 f (x)= c= f (x+T) 　　在这无穷多个大于0的周期T中, 找不到一个最小的正周期T.null　　又如, 狄利克莱函数D(x)也是周期函数. 任何一个大于0的有理数T都是D(x)的周期.因为 (i) 若x为有理数, 则x+T也是有理数. 从而 D(x) = 1 = D(x+T )(ii) 若x为无理数, 则x+T也是无理数. 从而 D(x) = 0 = D(x+T )所以, 总有D(x) = D(x+T ).即T是D(x)的周期.　　但是在这无穷多个大于0的有理数T中, 找不到一个最小的T.null4. 有界函数定义4. 　　几何意义：由于| f (x)| M  M f (x) M.因此, f (x)在(a, b)内有界. 就表示了f (x)的图形夹在两平行直线y = M 之间.设f (x)在(a, b)有定义,若存在常数M>0, 使x(a, b), 有| f (x) |M.则称f (x)在(a, b)内有界.否则, 称f (x)在(a, b)内无界.null若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 则称f (x)在(a, b)内有上界. M1称为它的一个上界,看图. 若M2, 使x(a, b), 有 M2  f (x), 则称f (x)在(a, b)内有下界. M2称为它的一个下界,看图.nullf (x)在(a, b)有界  f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.易见, 若f (x)在(a, b)有上界M1, 则它在(a, b)有无穷多个上界. 若f (x)在(a, b)有下界M2, 则它在(a, b)有无穷多个下界. 比如M2 –1, M2 – 2,… 都是它的下界.比如M1 +1, M1 +2,… 都是它的上界.null可以证明, 在这无穷多个上界中必有一个最小的上界M, 称为f (x)在(a, b)的上确界.记作在这无穷多个下界中必有一个最大的下界m, 称为f (x)在(a, b)的下确界.记作null比如y=sinx, 由于|sinx|1. 所以, 1和1分别是sinx的上界和下界. 若f (x)在(a, b)内不满足有界性定义4, 则称f (x)在(a, b)无界. 且可看出1是sinx的上确界. 而1是sinx的下确界.即, 若对M > 0, x0(a, b), 使得 | f (x0)|> M, 则称f (x)在(a, b)无界.null从几何上看, 它的图形不能全部夹在任何两条平等于x 轴的直线之间.null2.反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 提问: 下列结论是否正确？null2.反函数反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数. 三、反函数三、反函数null 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. 反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). null5.小结(1), 有界函数;(2), 单调函数;(3), 奇,偶函数;(4), 周期函数;(5), 各类特殊函数图象的特点.null函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数(指数、对数、三角、反三角)有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)null P20: 1, 2, 3, 4, 5 , 6 . P21: 1,2 ,3, 8 ,9 ,10 , 12 , 1 3 , 14 , 15 , 16 .