教案 (2)_导数和微分

第二章：导数与微分 §2.1 导数的概念 教学目标：导数的概念与几何意义及物理意义；可导与连续的关系；了解函数可导的充要条件： 存在 ； 教学重点： 导数的概念，可导与连续的关系 主要内容：2.1导数的概念 2.1.1变化率问题举例 2.1.2导数的定义 2.1.3求导举例 2.1.4导数的几何意义 2.1.5可导与连续 教学过程： 一 变化率问题举例 1. 变速直线运动的速度 当物体作匀速或变速直线运动时，很容易求速度或平均速度.但在很多实际问题中，只算出平均速度并不能满足要求，而常常需要知道物体在某个时刻的速度的大小，即要知道它的瞬时速度.如果物体运动的路程s与时间t的关系是s=f(t)，则它从t0到t0+Δt这一段时间的平均速度为 ，而在t0时刻的瞬时速度即为平均速度当Δt→0时的极限值： 2. 产品总成本的变化率 设某产品的总成本C是产量Q的函数，当产量由Q0变到Q0+ΔQ时，总成本相应的改变量为ΔC=f(Q0+△Q)-f(Q0)，平均变化率为 = ，当ΔQ→0时，如果极限 = 存在，则称此极限是产量为Q0时的总成本变化率，又称边际成本。 3. 曲线的切线问题 设曲线 的直角坐标方程为 .设 是曲线 上一点，其中 .求曲线 在 处切线，只要求出切线斜率就可以了.在曲线 上另取一点 ，那么割线 的斜率为 ， 当点 沿曲线 趋向于点 即 时，如果上式极限存在，记为 ，即为切线的斜率 上面三个例子的实际意义完全不同，但从抽象 的数量关系来看，其实质是一样的，都是函数的改 变量与自变量的改变量之比，当自变量改变量趋于 0时的极限，我们把这种特定的极限叫做函数的导数. 二 导数的定义 定义：设函数 在点 的某个邻域内有 定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ,即 , 也可记作 常见的不同的形式有 和 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一般步骤如下： ① 求增量 ；② 作比值 ； ③ 取极限 . 三 求导举例 例1 求函数 （n为正整数)在处的导数 解： 把以上结果中的换成变量得 ,即 这里n可以是任意实数.这就是幂函数的导数公式. 例2 求函数 的导数 解 即 ，用类似的方法，可求得 例3 求函数 的导数. 解 EMBED Equation.DSMT4 即 这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有 例4 求函数 的导数. 解 = 作代换 ，即得 特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式: 四 导数的几何意义 由导数的定义可知:函数在点处的导数 在几何上示曲线在点处 的切线斜率，即,其中是切线的倾角. 例5 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 ，由于 , 于是 ，从而所求切线方程为 ，即 ， 所求法线的斜率为 ，于是所求法线方程为 五 可导与连续的关系 定理 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处一定连续. 证 因为y=f(x)在点x0处可导，则有f′(x0)= EMBED Equation.3 ， Δy = EMBED Equation.3 ·Δx= EMBED Equation.3 · Δx=f′(x0)·0=0. 由连续的定义可知，y=f(x)在点x0处连续. 特别，这个定理的逆命题不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续时，在点x0不一定可导.即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件. 例如，函数 在区间 内连续，但在点 处不可导. §2.2 函数的求导方法和基本公式 教学目标：掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则； 牢记15个初等函数的导数；掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 反函数、复合函数、对数函数、隐函数等的求导法则； 教学重点: 15个初等函数的导数；函数的和、差、积、商的求导法则； 反函数、复合函数、对数函数、隐函数等的求导法则； 主要内容：1.导数的四则运算法则 2.反函数的求导法则 3.复合函数的导数 4.隐函数的导数 5.对数求导法 6.由参数方程所确定的函数的导数 7.导数基本公式 教学过程： 我们将在本节中介绍导数的四则运算法则、反函数求导公式、复合函数的求导公式、隐函数求导法及对数求导法. 一 导数的四则运算法则 定理 如果函数 及 都有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都有导数，且 证（1） （2）和（3）的证明思路同上，读者自己证明. 另外，定理中的（1）、（2）能推广到任意有限个导函数的情形.三个函数的情况为 例1 解 例2 解 二 反函数的求导法则 定理 如果函数 在区间 内单调、可导且 ，则它的反函数 在区间 内可导， 证 因 在 单调、可导（从而连续），又 的反函数 存在，且 在 在 内单调、连续， 给 以增量 （ ），函数 的单调性知 得 因 连续，故 ，从而 x=f(y) x=f(y) x=f(y) 可见， 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例3 解反三角函数 ，并求 的导数 解 设 为直接函数，则 是它的反函数.函数 在开区间 内单调、可导，且 ，根据反函数求导公式，在区间 内有 ，但 （因为当 时， 所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式： 三 复合函数的导数 定理 设函数u=φ(x)在点x处有导数 =φ′(x)，函数y=f(u)在点u处有导数 =f′(u)，则复合函数y=f[φ(x)]在该点x也有导数，且 =f′(u)·φ′(x) 或y′x=y′u·u′，或 = · . 说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这个的结论可以推广到多次复合的情况.例如设y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则复合函数y=f{φ[ψ(x)]}的导数为 复合函数求导数公式，就好象链条一样，一环扣一环，所以又称之为链锁法则.运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一层，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数. 有些函数求导时，需要综合运用各种求导法则.对某些函数，可以先化简再求导，这样能够简化求导运算. 最后作为复合函数求导法则的应用，我们来推导当α为任意实数时，幂函数 的求导公式. 例4 推导 的求导公式. 解 利用对数的性质我们将函数写成指数式 ， 令αlnx=u,则y=eu， . 例5 求双曲正弦sh x的导数. 解 因为 ( 所以 ( 即 (sh x)((ch x( 类似地( 有 (ch x)((sh x( 例6 求双曲正切th x的导数 解 因为 ( 所以 EMBED Equation.3 ( 例7( 求反双曲正弦arsh x的导数 解因为 ( 所以 ( 由 ( 可得 ( 由 ( 可得 ( 类似地可得   四 隐函数的导数 用解析法表示函数时，通常可以采用两种形式.一种是把函数y表示成自变量x的函数y=f(x)，称为显函数；另一种函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)=0来确定，即y与x的函数关系隐含在方程中.我们称这种由未解出因变量的方程F(x,y)=0所确定的y与x之间的函数关系为隐函数. 有些隐函数可以化为显函数，例如函数2x2-y+8=0可以化为y=2x2+8.有此隐函数则不能化为显函数，例如函数ex+ey-xy=0就不能化为显函数.所以我们要研究从隐函数直接求其导数的方法. 把一个隐函数化成显函数( 叫做隐函数的显化( 隐函数的显化有时是困难的( 甚至是不可能的( 但在实际问题中( 有时需要计算隐函数的导数( 因此( 我们希望有一种方法( 不管隐函数能否显化( 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来( 隐函数求导数的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y′，得到一个含有y′的方程式，然后从中解出y′即可. 例8 求由方程e y(xy(e(0 所确定的隐函数y的导数( 解( 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y)(((xy)(((e)(((0)(( 即 e y( y((yxy((0( 从而 (x(e y(0)( 例9 求由方程y5(2y(x(3x7(0 所确定的隐函数y(f(x)在x(0处的导数y(|x(0( 解( 把方程两边分别对x求导数得5y(y((2y((1(21x 6(0(由此得 ( 因为当x(0时( 从原方程得y(0( 所以 ( 例10 求椭圆 在 处的切线方程( 解( 把椭圆方程的两边分别对x求导( 得 ( 从而 ( 当x(2时( ( 代入上式得所求切线的斜率 ( 所求的切线方程为 ( 即 ( 例11 求由方程 所确定的隐函数y的导数( 解( 方程两边对x求导( 得 ( 于是 ( 五 对数求导法( 这种方法是先在y(f(x)的两边取对数( 然后再求出y的导数( 设y(f(x)( 两边取对数( 得ln y ( ln f(x)( 两边对x 求导( 得 ( y(( f(x)([ln f(x)](( 对数求导法适用于（1）求幂指函数y([u(x)]v(x)的导数（幂指函数是指幂、指位置都是变量的函数）；（2）多因子乘积和商的导数( 例12 求y(x sin x (x>0)的导数( 解法一( 两边取对数( 得ln y(sin x ( ln x( 上式两边对x 求导( 得 ( 于是 EMBED Equation.3 ( 解法二( 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求( ( ( 例13 求函数 的导数( 解( 先在两边取对数(假定x>4)( 得 ln y [ln(x(1)(ln(x(2)(ln(x(3)(ln(x(4)]( 上式两边对x求导( 得 (于是 ( 六 由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程 确定的( 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数( 在实际问题中( 需要计算由参数方程所确定的函数的导数( 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难( 因此( 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 若 和 都可导( 则 ( 或 ( 若 和 都可导( 则 ( 例14 求椭圆 在相应于 点处的切线方程( 解( ( 所求切线的斜率为 ( 切点的坐标为 ( ( 切线方程为 ( 即 bx(ay ab (0( 七 导数基本公式 1. 基本初等函数的导数公式⑴ （c为常数） ⑵ （α是任意实数） ⑶ （a>0,a≠1） ⑷ ；⑹ ； ⑺ ⑸ （a>0,a≠1）；⑻ ； ⑼ ； ⑽ ；⒀ ⑾ ；⑿ ；⒁ 2. 导数的四则运算法则：设u、v是x的可导函数⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；⑸ 设y=f(u)，u=φ(x)，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为 或 §2.3 高阶导数 教学要求： 1． 了解高阶导数的定义； 2． 会求一些特殊函数的高阶导数公式。 教学重点：一些特殊函数的高阶导数公式 主要内容： 高阶导数的定义；掌握一些特殊函数的高阶导数的求法。 教学过程： 一般地( 函数y(f(x)的导数y((f ((x)仍然是x 的函数( 我们把y((f ((x)的导数叫做函数y(f(x)的二阶导数( 记作 y((、f (((x)或 ( 即y((((y()(( f (((x)([f ((x)]( ( 相应地( 把y(f(x)的导数f ((x)也称做函数y(f(x)的一阶导数. 类似地( 二阶导数的导数( 叫做三阶导数( 三阶导数的导数叫做四阶导数( ( ( (( 一般地( (n(1)阶导数的导数叫做n 阶导数( 分别记作 y(((( y (4)( ( ( ( ( y (n) 或 ( ( ( ( ( ( ( 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数( 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数( 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1 求函数y(ex 的n 阶导数( 解 y((ex ( y(((ex ( y((((ex ( y( 4)(ex ( 一般地( 可得 y( n)(ex ( 即 (ex)(n)(ex ( 例2 求正弦函数与余弦函数的n 阶导数( 解( y(sin x( ( ( ( ( 一般地( 可得 ( 即 ( 用类似方法( 可得 ( 对于参数方程 , ( 同样可求二阶导数y((. 由 ( ( EMBED Equation.3 §2.4 函数的微分及其应用 教学目标: 1.理解函数微分的定义、可微的条件并了解微分的意义。 2.掌握微分基础公式以及微分运算法则。 3.了解微分的不变性：若 ，则 4.掌握微分的运算法则，能用微分进行近似计算和估计误差。 教学重点：微分基础公式以及微分运算法则 教学主要内容： 1.微分的概念； 2.微分的计算； 3.微分形式的不变性 4.微分的应用 教学过程： 一 微分的概念 1. 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响( 其边长由x0变到x0(Δx( 问此薄片的面积改变了多少？ 它实际上对应着这样的几何问题：设有边长为x 的正方形，当边长增加Δx时，其面积增加多少？这 个问题是容易解决的，设正方形的面积为A，面积的 增加部分记作ΔA，则ΔA=（x+Δx）2- x2 =2xΔx+Δx2. 当Δx很小时，例如x=1，Δx=0.01时，则2xΔx=0.02， 而另一部分Δx2=0.0001，当Δx越小时，Δx2部分就比2xΔx小得更多.因此，如果要取ΔA的近似值时，显然2xΔx是ΔA的一个很好的近似.2xΔx就称为A=x2的微分，若设此正方形的边长为x( 面积为A( 则A是x的函数( A(x2( 金属薄片的面积改变量（即增加量）为 ΔA((x0(x)2((x0)2 (2x0x ((Δx)2，当Δx很小时可近似地看成：ΔA((x0(x)2((x0)2 ≈2x0x 定义 设函数y=ｆ（x）在点x的一个邻域内有定义，如果函数ｆ（x）在点x处的增量Δｙ=ｆ（ｘ+Δｘ）-ｆ（ｘ）可以表示为Δｙ=AΔｘ+α，其中A与Δx无关，α是Δx的高阶无穷小量，则称AΔx为函数y=ｆ(x)在x处的微分，记作ｄｙ，即ｄｙ=AΔｘ. 这时也称函数ｙ=ｆ（ｘ）在点ｘ处可微. 2. 函数可微的条件( 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导( 且当函数f(x)在点x0可微时( 其微分一定是 dy(f ((x0)Δx( 显而易见，若函数可微，则 ， 若函数可导，则 ， ， 而且：可导 可微 连续 极限存在 结论( 在f ((x0)(0的条件下( 以微分dy(f ((x0)x近似代替增量Δy(f(x0(Δx)(f(x0)时( 其误差为o(dx)( 因此( 在|(x|很小时( 有近似等式Δy dy ( 例1 求函数y(x2在x(1和x(3处的微分( 解 函数y(x2在x(1处的微分为，dy((x2)(|x(1Δx(2Δx( 函数y(x2在x(3处的微分为 dy((x2)(|x(3Δx(6Δx ( 例2 求函数 y(x3当x(2( Δx (0. 02时的微分( 解( 先求函数在任意点x 的微分dy((x3)(Δx(3x2Δx ( 再求函数当x(2( Δx(0. 02时的微分dy|x=2,Δx=0.02=3x2Δx| x=2,Δx=0.02 =3(22(0.02=0.24( 3. 自变量的微分( 因为当y=x时( dy=(x)(Δx=Δx=dx ( 所以通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分( 记作dx( 即dx(Δx( 于是函数y(f(x)的微分又可记作 dy(f ((x)dx( 从而有 ( 这就是说( 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数( 因此( 导数也叫做“微商”( 4. 微分的几何意义 当Δy 是曲线y(f(x)上的点的纵坐标的增量时( dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量( 当|Δx|很小时( |Δy(dy|比|Δx|小得多( 因此在该点的邻近( 我们可以 用切线段来近似代替曲线段( 可见函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处， 当自变量取得改变量Δx时，曲线在该点处切线纵坐标的 改变量.显然dy≈Δy.如图2-5 二 微分的计算 根据定义，求函数的微分实际上就是求函数的导数，然后再乘上一个dx即可.求导数的一切基本公式和运算法则完全适用于微分，因此不再罗列微分的公式和法则了. 例3 ( 求dy( 解 EMBED Equation.3 ( 例4 y(e1-3xcosx( 求dy( 解( 应用积的微分法则( 得dy(d(e1-3xcosx)(cosxd(e1-3x)(e1-3xd(cosx) ((cosx)e1-3x((3dx)(e1-3x((sinxdx)((e1-3x(3cosx(sinx)dx( 例5 在括号中填入适当的函数( 使等式d( )(xdx 成立( 解( (1)因为d(x2)(2xdx( 所以 ( 即 ( 一般地( 有 (C为任意常数)( 三 微分形式的不变性 我们知道，如果函数y=f(u)是u的函数，那么函数的微分为dy=f′(u)du，若u不是自变量，而是x的可导函数u=φ(x)时，u对x的微分为du=φ′(x)dx，所以，以u为自变量的复合函数y=f[φ(x)]的微分dy=y′dx=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)[φ′(x)dx]=f′(u)du， 也就是说，无论u是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分dy总可以用f′(u)与du的乘积来表示.函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性. 四 微分的应用 1．近似计算 在问题中( 经常会遇到一些复杂的计算公式( 如果直接用这些公式进行计算( 那是很费力的( 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替( 如果函数y(f(x)在点x 0处的导数f ((x)(0( 且Δx|很小时( 我们有 y(dy(f ((x0)Δx( y(f(x0(Δx)(f(x0)(dy(f ((x0)Δx( f(x0(Δx)(f(x0)(f ((x0)Δx( 若令x(x0(Δx( 即Δx(x(x0( 那么又有f(x)( f(x 0)(f ((x0)(x(x0)( 特别当x0(0时( 有 f(x)( f(0)(f ((0)x(这就是它们的近似计算公式( 例6 半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值. 解： ， . 当 ， 时， ， . 即增加面积的精确值为 ，近似值为 . 例7 有一批半径为1cm的球( 为了提高球面的光洁度( 要镀上一层铜( 厚度定为0( 01cm( 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解( 已知球体体积为 ( R0(1cm( R(0. 01cm( 镀层的体积为ΔV(V(R0(ΔR)(V(R0)(V ((R0)ΔR(4πR 02ΔR (4(3.14(12 (0.01(0.1256(cm3)( 则镀每只球需用的铜约为W=0.1256(8.9 (1.1178(g)≈1.12（g）( 例8 利用微分计算sin 30(30(的近似值( 解( 已知30(30( ( ( ( sin 30(30((sin(x0(Δx)(sin x0(Δx cos x0 ( 即sin 30(30((0. 5076( 常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）( (1) ( (2)sin x(x ( x用弧度作单位来表达)( (3)tan x(x ( x用弧度作单位来表达)( (4)e x(1(x( (5)ln(1(x)(x( 证明 (1)取 ( 那么f(0)(1( ( 代入f(x)(f(0)(f ((0) 便得 ( 证明(2)取f(x)(sin x( 那么f(0)(0( f ((0)(cos x|x(0(1( 代入f(x)(f(0)(f ((0) 便得sin x(x ( 例9 计算 的近似值( 解( 已知 ( 故 ( （参考：精确值是 ） 2．误差估计 在生产实践中( 经常要测量各种数据( 但是有的数据不易直接测量( 这时我们就通过测量其它有关数据后( 根据某种公式算出所要的数据( 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响( 测得的数据往往带有误差( 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差( 我们把它叫做间接测量误差( 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差( 首先给出两个概念：绝对误差与相对误差( 如果某个量的精确值为A( 它的近似值为a( 那么|A(a|叫做a的绝对误差( 而绝对误差|A(a|与|a|的比值 叫做a的相对误差( 在实际工作中( 某个量的精确值往往是无法知道的( 于是绝对误差和相对误差也就无法求得( 但是根据测量仪器的精度等因素( 有时能够确定误差在某一个范围内( 如果某个量的精确值是A( 测得它的近似值是a( 又知道它的误差不超过δ A:|A(a|(δ A( 则δ A叫做测量A的绝对误差限( 叫做测量A的相对误差限.由此通过微分来进行测量误差的估计. 例10 设测得圆钢截面的直径D(60.03mm( 测量D的绝对误差限 (0(05( 利用公式 计算圆钢的截面积时( 试估计面积的误差( 解( ( A|(|dA| ( 已知D=60.03( δD (0. 05( 所以 (mm 2)( ( 3. 经济应用 例11 设某国家的国民经济消费模型为y=10+0.4x+0.01 ，其中：y为总消费（单位：亿元）；x为可支配收入（单位：亿元）.当x=100.05时，问总消费是多少？ 解 令x0=100，Δx=0.05，因为Δx相对于x0较小，可用微分近似公式来求值. f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0) Δx =(10+0.4×100+0.01× )+(10+0.4x+0.01 )′|x=100·Δx =50.1+ ×0.05=50.12（亿元）. T N(x,y) x0 x0+Δx x y=f(x) y 0 图2-2 y x o 图2-4 A Δx2 M(x0,y0) dy y x o Δx Δx x y0+Δy M α y=f(x) x0 y0 M y0 x0+Δx x0 Δy 图2-5 PAGE 11 _1139214401.unknown _1179637856.unknown _1238931370.unknown _1238933318.unknown _1239115822.unknown _1257838404.unknown _1257847766.unknown _1252088310.unknown _1252089815.unknown _1252090172.unknown _1253984556.unknown _1252088371.unknown _1252089400.unknown _1252088326.unknown _1239116195.unknown _1252087443.unknown _1239116388.unknown _1239116000.unknown _1239115473.unknown _1239115639.unknown _1239115696.unknown _1239115748.unknown _1239115605.unknown _1238935085.unknown _1238942176.unknown _1238942298.unknown _1239115287.unknown _1238942342.unknown _1238942222.unknown _1238935206.unknown _1238935309.unknown _1238935141.unknown _1238933492.unknown _1238935057.unknown _1238933432.unknown _1238933039.unknown _1238933150.unknown _1238933292.unknown _1238933117.unknown _1238932672.unknown _1238932708.unknown _1238932750.unknown _1238931420.unknown 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