基于最佳击球点问题而设计的棒球棒

254 科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 2011 NO.29 Science and Technology Innovation Herald 学 术 论 坛 科技创新导报 1 模型建立 1 . 1 最大速度模型 我们试图找到使击出的球的反向速度达到最大的点。击球后 , 球要获得更快的速度 ,也就是要获得最大的能量。由于击球点不 同 ,力是不同的 ,此外 ,球和球拍角动量是不同的。 从棒球打击球的过程 ,我们可以得到 质心的速度是 : u H= ( 1 ) 其中 H 表示球棒质心到旋转中心的距离。 击球点的速度是 : ( )v H r u rw w= + = + ( 2 ) r 表示击球点离到质心的距离。 根据动量守恒 ,角动量守恒和恢复系数的表达式 : 1 1 2 1 1 2 2 2m v m u m v m u+ = + ( 3 ) 1 1 1 1 2 2ball ballm v r I m v r Iw w+ = + ( 4 ) 恢复系数为: 2 2 1 1 u v e v u - = - ( 5 ) 又因为击球点不是质心 ,我们将恢复系数 e的表达式改进为 : 2 2 2 1 1 1 u r v e v u r w w + - = - - ( 6 ) 由 (1)— (4),可得到棒球被击打后的速度为 : 1 1 2 1 2 1 1 2 (1 )( ( )) 1 ball e v r H R v v m m r m I w+ - + + = - + + ( 7 ) 上式中 , 1m 、 2m 分别为棒球和棒球棒的质量 , 1v 、 2v 分别为棒 球的初始速度和末速度 , 1u 、 2u 分别为棒球棒的初始速度和末速 度 , ballI 为棒球的转动惯量 , e为恢复系数。 因为材料的不同会导致能量损耗的不同 ,所以我们引入了参 数 m 表示材料对能量损耗的影响 ,最终得到击打后的球速最终表 达式为 : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ) 2 (1 ) ( ) ball ball ball ball m I e u m I v m I e r v v I m m m m m m r w m + - + + = + + - + ( 8 ) 为了问题讨论的方便 ,我们把棒球棒看作刚体 ,即取定球棒的 0m = ,其他材料的 0.7m = 。并且取型号为BNN的球棒为研究对 象 ,最终我们得到将球看作刚体的情况下 ,击球点离质心的距离与 球的反向速度 ,经过 ,当击球点离质心的距离r =0.1m时 ,棒球 的反向速度最大 ,为67m/s,此为传统棒球棒的反向速度最大的最 佳击球点。 1 . 2 梁振动模型 考虑一个关于轴旋转的棒球棒。棒球打击棒 ,造成棒的自由振 动。棒球和球棒之间的碰撞 ,会导致能量的大量损失。由振动的能 量转移使手时会感到刺痛。 我们研究基于梁振动的自由振动模型 ,主要对碰撞时棒上产 生的基波、二次谐波及三次谐波进行分析。其余高次谐波成分被忽 略 ,因为它们的能量比前面三部分的少很多。 对于细长球棒 ,其中每一个截面中心轴在同一平面上。由棒球 造成碰撞强制弯曲 ,然后球棒开始震动。在这种情况下球棒可以视 为伯努利-欧拉梁。 ( , )y x t 表示 x点在时间 t偏离平衡位置的位移。 振动偏微分方程是 : 2 2 2 2 2 2( ) 0 y y EJ A x x t + = ( 9 ) 其中 , E 代表了棒的杨氏模量 , r 是球棒的密度 , A是棒的不 同部分的截面积。根据分离变量法 , ( , )y x t 可以这样表达 : ( , ) ( ) sin( )y x t Y x b tw j= + ( 1 0 ) 因此 ,上述方程可以表示为 2( '') '' 0EJY AYw r- = ( 1 1 ) 由边界条件 0 ( '') ' 0 0 ' 0 '' 0 Y or EJY x or x l Y or EJY ü= = ï = =ý = = ïþ 该方程与边界条件相结合 ,构成了偏微分方程特征值问题 , 2w 所谓的特征值。 如果棒是变截面 ,方程可以简化为 : (4) 4 0Y Yb- = ( 1 2 ) 其中 2 4 2a w b = , 2 EJa Ar = 。 但在实践中棒球棍是不规则的形状 ,在其中的振动传输表现 更加复杂。解决这个问题的较好的方法为有限元分析。在我们的模 型 ,我们采用的Rayleigh-Ritz方法是有限元分析的求解过程之一。 根据Rayleigh-Ritz法 ,将方程改写为 : 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n i i n n i Y x a x a x a x a xj j j j = = = + + +å (13) 其中 ( )i xj 被称为基本函数。表达式的含义是将连续的棒分成 离散的 n份。因此 : 2 1 12 0 2 1 10 ( '') l n n ij i j T i j l n n T ij i j i j EJ Y dx k a a K st Mm a aAY dx a a w a a r = = = = = » = ååò ååò 其中 : 11 1 1 n n nn k k K k k ì ü ï ï= í ý ï ï î þ L M M L , 11 1 1 n n nn m m M m m ì ü ï ï= í ý ï ï î þ L M M L 1 2[ ] T na a aa = L . 借助Rayleigh - Ritz法 ,我们解决了偏微分方程。 考虑前三种振动模式 ,列出这几种振动模式的零点 ,这些点类 似于驻波中的波节点。 基于最佳击球点问题而设计的棒球棒 贾亚俊 郑鹏鹏 陈志东 (华南理工大学理学院 广东广州 5 1 0 6 4 0 ) 摘 要:本文针对棒球运动中的最佳击球点(也称甜点)问题,综合考虑了最佳击球点的两种普遍定义:(1)击出的球的反向速度达到最大的 点; (2)击球时,传递到手的振动能量最小的点。对于这两种定义,我们通过采用最大速度模型和梁振动模型分别给出了不同最佳击球点 的位置。然而这两个值却各异,因此,我们在此基础上通过改变棒球棒的相关参数,使得这两个值相近。 关键词:棒球棒 最佳击球点 最大速度模型 梁振动模型 中图分类号: O 3 2 5 文献标识码 : A 文章编号:1674-098X(2011)10(b)-0254-03 图1 简化后的棒球棒形状 简化前 简化后 质量(kg) 0.9 1.01 体积(m3) 24.1 24.3 表1 简化前后棒球棒的质量体积对比 0.291 0.1650.4110.0233 0.7 255 科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 学 术 论 坛 2011 NO.29 Science and Technology Innovation Herald科技创新导报 11 121: 0.224, 0.776N x x= = = (零点 x均是以归一化长度为1得到) 21 22 232 : 0.132, 0.498, 0.900N x x x= = = = 31 32 33 343: 0.094, 0.356, 0.643, 0.928N x x x x= = = = = 球撞击在零点上就不会激发相应模式下的振动 ,为了使总振 动能量损失尽量小 ,忽略了高次谐波的影响 ,综合考虑前3种振动 模式 ,将最佳击球区域定义为基波的第一个节点和二次谐波的第 一个节点之间 ( 0.776 ~ 0.868l ),在这个区域撞击均匀杆所激发的 振动幅度较小 ,因杆振动造成的能量损失较小。 最后得到一个球棒 (83.8cm长 ,0.905kg重 )的最佳击球区 介于64.9cm到72.4cm(此处最佳击球区的定义为使受感受到的振 动幅度最小的区域 )。 2 设计的新棒 从上面的研究中 ,我们发现最佳击球点或者最佳击球区域不 是唯一的。从打击的效果来看 ,最佳击球点是一个撞击点 ,棒球以 最快的速度反冲。从能量角度考虑 ,最佳击球点又是使手感受到的 振动能量最小。然而 ,这两个个点的位置却不尽相同。 我们分析上述两种模式 ,并发现 ,如果我们改变这两个个模型 的初始变量 ,两种模式的结论也将改变。当初始变量合适的时候 , 所有这两个个模型的最佳击球点可以集中到一个小的区域。这意 味着 ,如果球棒的参数选取得当 ,球员使用新的球棒能打到最佳击 球点 ,使球的飞行距离最长 ,而他们的手感受到的刺痛感最小 ,这 对于运动员的身体也是有益的。 为了使我们的模型更加普遍 ,我们选择使用率最高的白蜡木 材料做成的棒球棒来重新设计球棒的形状。由于球棒形状复杂 ,我 们简化了球棒形状 ,将球棒的形状简化为两个圆柱和一个圆台三 个部分 ,简化后的规格如图1: 我们比较简化前后球棒物理性质的改变情况 ,见表1。 可以发现 ,简化前后球棒的物理性质变化很小 ,因此这个简化 是可行的。 我们改变球棒形状的简化 ,并设法使两种定义下的最佳击球 点集中于一点。在分析了两种定义下的最佳击球点后 ,我们找到了 能量的最佳击球点是一个方面 ,而微妙的变化不会影响该区域。因 此 ,我们固定能量最佳击球点 ,并尝试利用速度最佳点满足这一地 区。然后 ,我们就可以得到综合最佳击球点。 首先固定前两个部分 ,对剩下的那部分进行形状微调 ,使两个 最佳击球点尽量接近。以第三部分为例 ,我们建立直角坐标系 ,图2: 第一部分和第二部分的体积 22 1 1 ( )2 R V L p= ( 1 4 ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 3 4 4 4 R R R R V Lp= + + ( 1 5 ) 我们假设 1R 和 3L 为变量。然后 ,我们得到了第3部分体积 : 21 3 3 ( )2 R V L p= ( 1 6 ) 从而球棒的体积是 : 1 2 3V V V V= + + ( 1 7 ) 球棒的质量是 : m Vr= ( 1 8 ) 为了问题讨论的方便 ,我们固定了球棒的体积 ,即 V 是一个常 量。 事实上 , 2L 和 1L 是固定的 ,而 3L 是变量。这意味着 0x 是关于 R 的函数 ,我们改变球棒第三部分边缘曲线的斜率。建立边缘曲线的 函数为 : 1 2 R y kx= + ( 1 9 ) 我们调整棒的参数 ,如图3: 图2 棒球棒的直角坐标系建立 图3 对棒球棒的第三部分的形状进行微调 图4 调整后的棒球棒的形状 y L1=0.291 L2=0.411 L3=0.165 x O R2=0.0233 R1=0.07 L1=0.291 L2=0.411 L3=0.165 x y O Expanse the line R2=0.0233 R1=0.07 L1=0.291 L2=0.411 L3=0.165 x y O R1=0.07 R2=0.0233 256 科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 2011 NO.29 Science and Technology Innovation Herald 学 术 论 坛 科技创新导报 因为这个棒是关于 y轴对称的 ,质心是在 x轴。因此 ,质心是 C 0 0( , )x y 。显然 , 0 0y = ,我们可以得到质心的坐标 : 3 1 2 0 L L L xdm x m - -= ò ( 2 0 ) 然后我们可以得到转动惯量 : 3 1 2 2 L L L I x dm - - = ò ( 2 1 ) 将模型1所需的变量代入微调之后得到的数值 ,使两个最佳击 球点尽可能接近。 通过调整棒球棒前端的角度 ,达到最大速度的击球点从原来 的0.7392m(在振动最小的击球区外 )变为0.700m(在振动最小的击 球区的内 )。调整后的振动最小区域在0.649m到0.724m之间。 经过了 k 的微调 ,速度的最佳击球点是在能量的最佳击球区 域。而当速度的最佳击球点在这一地区的中间 ,对击球效果被认为 是最好的。利用实验室模拟垫 k和效果进行微调过程中 ,我们得到 的最后结果为综合击球点距离质心的距离为 (原理击球方向 ): 0.133r m= m 通过调整 ,新的棒被设计出来了 ,见图4。 在设计里面 ,我们简化了棒球棒的形状 ,使得计算得到大 大简化 ,但是也使得模型得到的结果和实际情况可能有差距。同时 在对球棒进行调整时 ,我们仅仅考虑了在第三个圆台在棒长方向 的斜率的改变,而忽略了棒的其他位置的形状变化对击球效果的影响。 这些都使得我们的最终结果在一定程度上具有局限性。 参考文献 [1] Zandt,L.L,1992,“The Dynamical Theory of the Baseball Bat”.American Journal of Physics.60(2),pp.172-181. 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[7] 宋校能、陈静霞 .浅析棒球运动在中国的发展之路 .哈尔滨体育 学院报2005年第5期 . 稿件要求: 1、稿件应具有科学性、先进性和实用性，论点明确、论据可靠、数据准确、逻辑严谨、文字通顺。 2、计量单位以国家法定计量单位为准；统计学符号须按国家标准《统计学名词及符号》的规定书写。 3、所有文章标题字符数在20字以内。 4、参考文献按引用的先后顺序列于文末。 6、正确使用标点符号，表格设计要合理，推荐使用三线表。 7、图片要清晰，注明图号。 投稿说明: 1、来稿一律使用Word排版且具有一定的学术水平，以2700字左右为宜，并保证文章版权的独立性，严禁抄袭，文责自负，请勿一稿 多投，欢迎投稿。 2、本刊已加入《中国学术期刊(光盘版)》、《中文科技期刊数据库》、《万方数据数字化期刊群》等网络媒体，本刊发表的文章将在网络 媒体上全文发布。 3、本刊编辑部对来稿有修改权，不愿改动者请事先说明。自收稿之日起1个月内未收到刊用通知，作者可自行处理。 4、来稿请注明作者姓名、单位、通讯地址、邮编、联系电话及电子信箱。 5、本刊发表周期为10天，出刊后5天内邮寄样刊。 6、如有一稿多投、剽窃或抄袭行为者，一切后果由作者本人负责。 《科技创新导报》稿件要求及投稿说明