树冠重叠的概念及其面积的计算方法

， ；一7 第 23眷 第6期 东 北 林 业 大 学 学 报 Vol·23 No 6 1995年 l1月 JOURNAL OF NORTHEAST FORE !垦 ! !垦!! !：! 树冠重叠的概念及其面积的计算方法 包 青 梁希 翁国盛 — — 龙 ) · 【摘 要 】通过对林木树冠之间重叠的分析，提出j关于树冠重叠的概 念和类型．并利用积分方法．推导出j林本树冠发生重叠时的重叠面积和重叠 率的计算公式 以树冠冠形在水平面上的投影呈圆形为实例，说明j公式的应 用方法和计算过程 结果明 树冠重叠的理论基础是严紧的 计算方法也便 --T- 府 田 。 矗词：丝墨重叠；兰 ；丑黑方法 彝钟t 《 分类号： $757 l 准确掌握树冠重叠的概念厦其面积的计算方法对造林密度的确定、经营密度表的编 制和天然林密度的控制等有至关重要的意义 但迄今为止，关于树冠重叠概念的提法仍 不明确和完善；其计算方法均为统计学模型．因而受林分条件，立地条件和经营条件等 诸多因素的限制 故有必要研究深层树冠重叠问题。 1 研究方法 多个相互重叠的树冠投影在水平面上．便形成多个相交的平面图形，将两图置于直 角坐标 系中 (见图 1)，其中 A图形面积大 于 B图形而 秘：设 A图形曲边函数为 r )．B为 妒( )、两曲边函 数的交点坐标分别是 (Ⅱ ， )和 【02．b!) 然后 推导出哺曲边函数相交部分的面积——即树冠重叠面积 的计算公式．据此公式定 义树冠重叠的概念和类型．最 后以宴例 汁算 ，说明此公式的应用方法、如当 A和 B 图形是圆的情况下 树冠重叠的面积及重叠率的计算公 式的推导和应用，进一步可求导出多图形相交时的树冠 “。 重叠计算公式 收稿H舢： 】995年 6月 1日 责任编辑：车金荣 囝 l 两个埘冠相交的水平投影 维普资讯 http://www.cqvip.com 尔 北 林 幢 大 学 学 报 第 ：3整 2 研究内容 2．1 树冠重叠的概念 图形 A币If图形 B相重叠的荫影部分面积见圈 1．实质 上是曲线 =， )利曲线 Y= c『)( ) 酗成的 图形面积 为其体定出图形所在范围．先求出这两条曲线的交点 为 此．11 解方程组： fY ， ) l r= ) 僻别阿组解： =ff1．J’=bl厦 =￡f2．．1’= 即这阿曲线的交点为 (Ⅱl bI)硬 (‘ 2．62)。从而知这图形在直线 =Ⅱl硬 =Ⅱ! 之间 嫩横 标 为积分变量．它的变化区间为 [ 1．￡ 2】．相应于 ． J上的任 一小区 川 _ Y．x+dx】的窄条面积近似于高为f(x)一 ( )．底为 的窄矩形面积．从而得到 而积元索 dS=[f(x)一 ( )Jdx 以 If(x)一c『)( )Jdx为被积表达式．在闭区间lff1．a：J E作定积分 便得所求的面积为 = J [，(X)一c『)(x)ldx (1) 然．在J： 实林分中．，( )永远不等于 c『) )．即在 一定密度的林分中．树冠问相互重 叠是普遍现象．据此可归纳出树冠重叠的定义．在 一定密度的林分中．如果树冠冠幅在 水 面 的投影图形之问存在相交时 孰称之为树冠重叠．重叠部分的投影面积可由 (1)式表达 所 当已知被遮荫树的冠幅投影面积时 (用 ． 表示】．可求得重叠率 【Hj R丧示) R= s 树冠重叠的类型概括起来可分为等高重叠和异高重叠 ．瀚者发生在相同树高的林分 中．属接触性重叠 如某必 人工纯林 (见图 2)：后者发生在树高不同的人工林中．I II 图 2 人工林树冠等高重叠 图3 天然林树冠异高重叠 ㈨ 俯视阿 (b1tl'i视嗍 ca)俯 嘲： c b1lE枧『曰 一 H 爿!、 L一 瞳矗弛． h一 嚏叠 卜 筚 悱付 叠蓝．，r一茚 r株树间 ： 一销 i株柑 rj 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 瑚^ 包 青等：树冠重叠的概念及其面积的计算方法 105 是接触性的．如某些人工混交林． 幼苗或幼树的覆盖 【见图 3) 2．2 树冠重叠计算方法 也 f以是非接触性的，如某些天然林中 上层优势术对 林业实践中．常将冠幅在水平面上的投影图 形视为圆形 (如网 2～4) 图中A圆圆心在 ( ． )点 B圆圆心置于 (C 、0)点处 ：A可以以 点 O(0．0)为定点而绕动 ．绕动的结果是A圆在 B 圆 投下的荫影面积可大可小 f 代表 B圆的 冠幅半径．f．．．代表 A圆的冠幅半径．L代表重 叠长窿 (或叫重叠弦)、两圆的交点坐标分别是 原点Df0．(”和点c(x． ) 两圆相交的部分就是所 需求解的树冠重叠面积 这个面积被一条斜率为 tg 的直线 【口是这条直线和 X轴的夹角 )分割 囤4 树冠重叠的坐标处理 唬两个不相等的部分 一部分位于B圆，+ 一 ) 和直线． =lg · 之间：另一 部分位于A圆 (v-b) +(x-a) ； 和直线v=tg 0·x之间 至此，可接 (1】式汁 甜般 c(专。去 )和直线栅：罕 枷在区问 【o_丢J¨忸 ⋯ 面积元索为 一罕 ] dx 以 为被积表达式，在闭区问【0、 L 2】上作定积分得： 』 幔 一坚L州一 cos 专 ～鲁 实践中．重叠弦 L是较难测定的因子，所以可通过解方程组 ： ，=(C 一h )+(Cw—h) = ( 一 等 = ( 一^ ) +譬 ： 4 一 式中：7——f母树闸 (或两圆心问)的距离： h一一 A树对 B树重叠时圆的弓 【重叠弓)： 11 ) 一 }1 十 + ： ，r ，●● ●L 组 程 疗 解 先 程 过 尊 ， ● ● ● ● 、 ● ● ● 、 维普资讯 http://www.cqvip.com 东 北 林 业 大 望 塑 第23卷 ．^—— B树对 A树的重叠弓 将此式代人 (2)式并整理后得 = 孚arc cos(景 一1)一号旧 ( ) 一 。 ： 二鳋 = (4 因为 (4)式中包含了两树间距离 A树冠幅半径 ，和B树冠幅 ，所以称此式为 遮荫面积关系函数，或简称关系函数．即A树对 B树遭荫面积大小取决于两树间的距离 和各自的冠幅大小 iR Sj为B树对 A树的遭荫面积．与上述处理过程完全相同，并且可得到积分式及 其积分结果 s，：』 c瓜 一 4 s =孚arc cos0一茜)一鲁 ㈤ 将 L鹊 凼毂 代^ 上甄得 s ：孚a⋯s(，一 )一罕 (6) 那么当B树最顶部在A树冠底部以下时，即A树对B树的不接触性遮荫面积为： # +s】 (71 现在讨论 H株树对 I株树的树冠重叠问题 这里设这 n株树的树冠问不发生重叠 (见图 3) 则第 1株树对冠幅为 的树的遮荫面积可由 (3)式得： 孚arc cos 一t)一手 ， ，： 由 (6)式可得冠幅 对第 1株树的遮荫面积 孚a⋯s(t一鲁 )一亟4瓜 ．， 孚arc cos(蓑一9一号 、其 ． 孚arc cos(-一 )一罕 昕 这H株树对C 产生的遮荫总面积为 维普资讯 http://www.cqvip.com 第6期 包 衰童 107 ： 孚言&re c。s(吾 一* 用 = 暑 cos( )一稿 √ 一 其中 = 丽G 对这 株树的遮荫总面积为： = ÷砉( ⋯s(1一 )_罕 悃 显然．当这H株树对c 产生不接触性重叠时．它们对c 的遮荫总面积为： ， ： ￡‘+ ． (8) (9) Oo) 2．3 讨论 2．3．1 当相邻术株数H=l时． (8)和 (1O)式分别变为 (3)式和 (6)式。这是最 先研究的树冠重叠的特例之一 2．3．2 当 =0时，即 =( 一c：时、 (8)式变为 = ．即这n株数对 的遮荫面积累计为其树冠水平投影面积的一半 (遮荫率为 50％)，(1O)式变为： l = ÷∑ farc cos(1一鲁 )一2 l ) 2．3．3 当 = 时，即fI- 、f巨 3 c2 时．(8)式变为 =(号一芋) ， (10)式变为： V ‘ ． 。 1 n ( arcc。s(1一鲁 )一 ( 一孚) 2．3．4 当 =2 ．即‘=G 时．(8)式为岛’=0．Oo)式为si=o．这 株树均 与 ( 相切．即无重叠现象发生 2．3．5 对于人工林 如果株距不等于行距，冠幅大小均匀 ( f= )时．g =? ，(7) ： 孚言arccos(去_1)一÷砉‘ 。 如果株距等于行距，则有： = (孚arcc。s(去_1)一了l ] 02) 而且 = 总之，可利用 (3)、 (8)、 (1O)式和 (11)式计算出任何林分在任 何重叠状态下的圆形树冠重叠面积 维普资讯 http://www.cqvip.com 东 北 林 业 大 学 学 报 第 23卷 3 应用计算 3．1 观测得两株树树冠接触性遮荫的基本’睛况是 A树冠幅半径是 1．9n1．B树则是 1．4n1．丽树间距离 2．3 rr1．利用 (3)式求得 A树对 B树遮荫的面积是 0．97m=．遮荫率 l6％：利用 (6)式求得 B树对A树的遮荫面积是0．62 rrl ．遮荫率 5％．当A树对B树产 r丰不接触性遮荫时．利用 (7)式求得遮荫面积为 1．59m 遮荫宰26％ 3．2 手lj}1_j(8)式计算相邻术株数 ”不同时．对 l株冠幅半径为 0 6 n1的树的遮荫面积 乏^遮荫率情况见表 l 在接触性遮荫条件下．随着相邻术株数的增多 它们对 l株树的 遮荫率就会F降 相邻木树冠问的制约性是其主要原因 表 1 树冠重叠遮荫面积计算 ((、 0 75 o 85 I_10 ● i 00 I】911 l 1【】 j 211 1 27 l 】0 l 00 l I5 l 40 I．70 l 20 0．6 0．6 0．6 n S 0 7 0．8 0．7 0．8 0．9 0．6 11 8 0 9 0 9 (1 6 0 S 0 q I．3 0 S8 0．52 0 98 0 72 0 40 1．10 0 97 0 92 69 1 00 0．qI 1．08 0 92 O．6 J∞ 完仝越荫 0．49 43 3．3 造林株，斤距为 1．5 n1×1 5 Tn．树寇相互重蓝时臼勺平均冠幅半径为0．91"11，相邻术 株树 n=4．刚利用 (12)式计算这种状态时树木间等高等形遮荫面积和遮荫率分别是 0．4n1： 】16％ 4 结论 在林分中、一株树的树冠与其他树术的树冠在水平面上的投影图形有相交部分存在 叫．就称为树冠重叠 它包括很多类型．如等高重叠、异高重叠、混台重叠、接触性与 非接触性巫叠等等 树冠重叠的重叠面积或遮荫面积和遮荫率是可以计算出来的 维普资讯 http://www.cqvip.com 第6捌 包 青等：树冠重叠的概念及其面积的计弹方法 参 考 文 献 I 地毗Ⅲ等 ．1 等： ．北京：凡 救育出I 丰I=． 1978．143～ t50 北 五 ,tk学 尚等敞学救曰 H．敏学手盼 ．北京：燃料化 1． ¨． 1q13．1：q THE CoNCEPT 0F TREE CROW M OVERLAP AND lTS CALCULATlNG M ETH0DS 0F AREA Bao Qing Liang Xiwu Weng Guosheng (H巴{Io ang Forest M 甚emcnt|nslilule) ABSTRACT The concept and type of tree Crown overlap were defined through analysing function between the faclots of tree crown overlap． The formula of the overlap area and the overlap rate were derived from its definite integral rm． At the same tilne。many formulae are acquired when lhe projective figures of tree crown are circles． The application Ways of these formulae were iIlustrated with a concrete calculating process． Th e result shows that the theoretical base of the concept iS nrm and the methods can be applied easily． Key words：Tree crown overlap：Overlap area：Overlap rate；Calculating method 维普资讯 http://www.cqvip.com