参数方程图像

教 育 战 线 147 INTELLIGENCE 参数方程表示的函数图象特征研究 江苏省盐城技师学院 李晓林 摘 要：在数学分析的各种教材中，研究函数的图象一般都是在函数普通方程 ( )xfy = 条件下展开的，本文不经转化直接从参数方程的视角研究函数图象的特征，这对、航空、 天文等应用参数方程较多的学科具有一定的实际意义。 关键词：函数 参数方程 图象特征 研究 研究函数图象，取值、描点，画出函数图象进行观察最 为常用，但无法精确地确定函数是否具有对称性、奇偶性、 拐点、极值点的位置、渐近线等问。解决这些问题，就要 借助于导数等数学来研究。以往我们研究函数 )(xfy = 的图象，都是在函数普通方程的条件下进行的，而对参数方 程表示的函数，要作出图象，都是把它转化为普通方程来处 理的。事实上，用参数方程表示的函数比用普通方程表示的 函数更为广泛，特别是在工程、航空、天文等学科应用参数 方程更多。函数的参数方程在巧妙的选取参数后，形式相对 简单，因此，用数学分析的方法，不经转化直接研究它的图 象特征很有必要。 设用参数给出的函数（1）为： ⎩⎨ ⎧ = = )( )( ty tx ψ ϕ 其中 t 是参数 21( ttt ≤≤ ，或 Rt ∈ ），且 )(tϕ 与 )(tψ 在 ),( 21 tt 上连续，则 它的图象 C是平面上的连续曲线。 要研究（1）的图象，我们先讨论用参数方程给出的函数 的一些几何性质。 一、对称性 性质 1、如果 )(tϕ 是偶函数，而 )(tψ 是奇函数，则函数 （1）所表示的曲线 C关于横轴对称。 事 实 上， 点 ( ))(,)( tt ψϕ = ( )yx , ， 点 ( ))(,)( tt −− ψϕ = ( )yx −, ，可见点 ( )yx , 与点 ( )yx −, 均在曲线 C 上，所以曲线 C关于 x 轴对称。 同样道理得到： 性质 2、如果 )(tϕ 是奇函数，而 )(tψ 是偶函数，则曲线 C关于纵轴对称。 性质 3、如果 )(tϕ 与 )(tψ 都是奇函数，则曲线 C 关于原 点对称。（注意：这仅是充分条件，而非必要条件。） 二、周期性 性质 4、如果 )(tx ϕ= 的周期是 1T ， )(ty ψ= 的周期是 2T ， T是 1T 和 2T 最小公倍数，则曲线C是以T为周期的周期函数。 设 )(tx ϕ= 的周期是 1T ， )(ty ψ= 的周期是 2T ， T 是 1T 和 2T 最小公倍数，则 ( ) )t(=T±t ϕϕ ， )t(=)T±t( ψψ ；所以函 数 ⎩⎨⎧ = = )( )( ty tx ψ ϕ 是以 T为周期的周期函数。 三、特殊点 性质 5、当 0tt = 时， 0)()(,)(,)( 000000 =′=′== tttytx ψϕψϕ ， 则曲线 )(tx ϕ= ， )(ty ψ= 的点 ( )00 , yx 为驻点。如果曲线至 少一个导数 ( )tϕ′ 或 ( )tψ ′ 不等于零的其它点，则该点一定不是 拐点和极值点。 由于 )(xfy = 在点 ( )00 , yx 处的切线斜率为 0xxdxdy = ( )( )00ttϕψ ′′= ， 所以在任何非驻点 ( )00 , yx 上切线方程具有如下形式： 当 ( ) 00 ≠′ tϕ 时， =− 0yy ( )( )00ttϕψ ′′ ( )0xx − ；当 ( ) 00 ≠′ tψ 时 ( ) ( ) ( )00 0 0 yyt txx −′ ′=− ψ ϕ 四、渐近线 性质 6、如果 ( ) ( ) att tttt =∞= →→ ϕψ 11 lim,lim 则曲线 C 有铅直渐近线 ax = ； 性质 7、如果 ( ) ( ) btt tttt =∞= →→ ψϕ 11 lim,lim 则曲线 C 有水平渐 近线 by = ； 性质 8、如果 0tt = 、 ∞→x 、 ∞→y 时，曲线 )(tx ϕ= ， )(ty ψ= 的极限为常数，且 ( )( ) ( ) ( )( )tktbt tk tttt ϕψϕ ψ −== →→ 00 lim,lim ，则bkxy += 是曲线的斜渐近线。 根据上述性质特征我们进一步给出函数参数方程作图步 骤： （1）确定函数的定义域和值域；（2）讨论对称性；（3） 讨论奇偶性；（4）讨论曲线与坐标轴交点。从方程 )(tψ =0 求出确定曲线与横轴交点的那些 t 值；从方程 )(tϕ =0 求出确 定曲线与纵轴的交点的那些 t 值。（5）找出拐点或极值点； （6）求曲线的有平行于坐标轴的切线的点。（a）曲线的切 线平行于横轴，应该满足 =′xy ( ) ( )t t ϕ ψ ′ ′ =0，当 ( ) 0≠′ tϕ 则从方 程 ( )( )ttϕψ ′′ =0 中找出相应的 t 值。（b）曲线的切线平行于纵 轴。应该满足 x′ ( )( ) 0=′′= ttψϕ ，当 ( ) 0≠′ tψ ，从方程 ( ) 0=′ tϕ 找出相应的 t 值。(7) 求拐点。点 ( )yx , 是曲线的拐点，应该 有 022 =dxyd ，而 ( )( ) dx dt t t dt d dx dy dx d dx yd ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′ ′=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ϕ ψ 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2t tttt ϕ ψϕψϕ ′ ′′′−′′′ ( )tϕ′× 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3t tttt ϕ ψϕψϕ ′ ′′′−′′′ ；若 ( ) 00 ≠′ tϕ ，则从方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0=′′′−′′′ tttt ψϕψϕ ，中求出曲线拐点对应的 t 值。(8) 确定 曲线二重点。在曲线二重点 ( )yx , 处，曲线的两个不同切线 的分支相交，由此得出，应当存在参数 t 的两个不同值的 1t 和 2t 满足： ( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧ == == 211 211 tty ttx ψψ ϕϕ 解这个方程组和验证在所求的 参数 t 值时，曲线的斜率，即 ( )( )11ttϕψ ′ ′ 和 ( )( )22t t ϕ ψ ′ ′ 是否取不同的值， 若取不同的值，则曲线有二重点。(9) 求曲线的渐近线；(10) 作图。 例：作函数 ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ + −= += 1 1 1 2 2 2 2 t tty t tx 的图象 （1） 由 12 2 += t tx 确定函数的定义域。因为对任意的 t 值，有 .10 <≤ x 故定义域是 [ )1,0 。由 ( )112 2+−= t tty 确定函数 的值域。当 +∞→t 时， −∞→y ；当 −∞→t 时， +∞→y 。 故函数的值域是 ( )∞+∞− , 。 （2） 12 2 += t tx 是偶数， ( )112 2 + −= t tty 是奇函数，所以曲线 关于横轴对称。 （3）与坐标轴的交点，当 0=t 时， 0,0 == yx ，因此 曲线通过坐标原点（0，0），而当 1=t 时， 21,0 == xy ，因此， 曲线通过 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 0,21 。 （4）求一阶导数 22 )1( 2 +=′ t txt ， 22 4 )1( 41 + −−=′ t ttyt ，令 0=dx dy ， 即 041 42 =−− tt ； 解 得 : 52 +−±=t 当 521 +−=t 时， 19.0 4 53 1 ≈−=x ， ( ) 30.02 15521 ≈−+−=y , 当 522 +−−=t 时 , 19.04 53 2 ≈−=x ， ( ) 30.0 2 1552 2 −≈−+−−=y 于是 ,存在两点( )11 , yxA ， ( )22 , yxB ，曲线在 A、B两点的切线平行于横轴。 （5）由于曲线通过（0，0）， ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 0,21 两点，且以横轴为 对称轴，我们讨论横轴上方曲线的凹凸性。 当 2 10 << x 时， 0>y ， 022 y ， 022 >dxyd ，曲线是凹的。 （6）验证曲线是否有二重点。由 ( ) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ + −=+ − +=+ 1 1 1 1 11 2 2 2 22 2 1 2 11 2 2 2 2 1 2 1 t tt t tt t t t t 解得两个不同的值 11 =t ， 12 −=t ，对于这两个 t 值对应 教 育 战 线 148 INTELLIGENCE 高职化学如何培养学生的实验与观察能力 白城职业技术学院 姜兴元 摘 要：针对高职院校化学实验课教学的特点，以及教师在实验课中应发挥的作用，探 索高职化学实验课教学方法。从而提高学生创新思维，培养学生实验观察能力，更好地掌 握化学知识与技能，使高职学生在将来能更好地服务于社会。 关键词：实验 观察能力 面对２1 世纪知识经济带来的挑 战，培养具有创新精神和实践能力的现 代高职院校学生，是高职教育工作者义 不容辞的责任。社会对具有高质量专业 技术劳动者的大量需求，使高等职业教 育成为高等教育发展中独立的、无法替 代的高等教育类型， 突出的特点是注 重学生职业能力的培养。随着科学技术 的深入发展，科学技术趋向综合化和整 体化，交叉学科不断涌现，化学将更加 广泛地与其他学科相互渗透，作为充 满竞争与合作、挑战与机遇的２1 世纪 高等工程技术人才，掌握一些化学的思 维、化学的方法和化学的技能是非常必 要的。化学是一门实用性很强的自然学 科，需要大量的实验来辅助学习。但是， 以往普通化学实验课程中，验证性实验 偏多，实验

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较为简单，使用仪器单 一，综合应用型实验偏少或从未开设过， 而高职院校的学生，需要的是综合应用 能力。因此，如何改革高职化学实验课 程的教学方法，利用化学实验课程，提 高学生在实验中应用化学知识的能力， 是每一个高职化学教师面临的课题。 实验与观察是化学实验课教学的 关键环节，是准备工作就绪后，学生根 据实验

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进行实验操作、观察实验现 象、记录实验结果的过程。 观察是人们有目的、有计划、比较 持久地认识某种对象的知觉过程。观察 能力是思维能力、实验能力、自学能力 的基础，是学好化学的最重要的一种能 力。具有敏锐、深刻观察能力的人，对 事物看得全面，能迅速抓住重要特征和 本质。因此，在化学教学中对学生进行 观察能力的培养显得尤为重要。 在化学实验课中，实验——观 察——思维始终紧密联系在一起，它们 相互影响、相互制约。在实验中必须强 调实验与观察环节的目的性、选择性、 全面性、规范性、客观性和科学性原则， 因为这是上好实验课的前提条件。 1. 目的性原则：要求学生所做实 验要有目的、结果，并对实验要采取的 措施心中有数。观察要有明确的目的和 重点，要自始至终，从明显的到细微的 都必须认真地、细致地观察，要提醒学 生注意排除其他因素的干扰，要求学生 实事求是地做好实验记录。 对于较复杂的实验现象可先由老 师提出具体的观察目的、计划和要求， 编写成观察提纲发给学生预习，再逐步 过渡到学生自己拟定观察提纲，以克服 观察的盲目性，养成定向观察的习惯。 2. 选择性原则：在探究的过程中 有许多信息，要能敏锐地捕捉到与解决 问题有内在联系的那些信息，特别是那 些稍纵即逝、在强刺激掩盖下较弱的但 又是很重要的信息，并且能根据解决问 题的需要，进行多角度观察。 3. 全面性原则：指导学生运用多 种感官全面观察，从不同角度了解观察 对象的各个属性，要注意渐变与突变的 全过程，获得完整、系统的知识。例如 观察硫在氧气中燃烧的实验时，通过鼻 闻，可了解产生气体的气味；用手摸集 气瓶外壁，可感觉到反应有热量放出。 4. 规范性原则：要求学生对所用 仪器、药品、器材的性能特点、使用方 法了解透彻，并掌握要领，可准确操作。 5. 科学性原则：要求学生要科学 严谨地进行实验操作、设定实验条件、 采用观察方法，冷静分析问题，做到判 断有据。 6. 客观性原则：要求学生对实验 过程所发生的现象、遇到的问题、出现 的结果如实记录、分析，实事求是地得 出结论。 实验与观察是在规定实验课时内 由师生积极参与的双边教学环节，以学 生为主体。学生通过实验课探究科学实 验的规律和奥秘，不仅能培养严谨求实 的科学态度、创新思维，还能训练自身 观察能力、操作能力、分析和解决问题 能力，进一步促进操作技能的提高。 参考文献 ： [1] 帅保国等 . 论问题式学习 中的“问题”[J]. 上海教育科研， 2005(7). [2] 付立海，周仕东 . 郑长龙科 学探究内容的核心化与活动的多样化 [J]. 中学化学教学参考，2005(3). 转 贴于 中国论文下载中心 http://www. studa.net [3] 　李　蕾。 高职实践教学 改革的探索 [ J ]. 中国科技信息， 2006,17 （1） : 109 - 110. 同一 x 值和同一 y 值，由此得到点 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 0,21 是曲线的二重点， 求在这点相交的曲线分支的切线斜率 1k 和 2k ，( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 1 1 =′ ′=−=′ ′= tx tyk tx tyk （7）渐近线： ( ) 1 1 limlim 2 2 =+= ∞→∞→ t ttx tt ， ( ) ( ) ∞=+−= ∞→∞→ 11limlim 2 2 t ttty tt 曲线有铅直渐近线 1=x ，没有斜渐近线，根据以上讨论， 即可作出函数图象（略）。 参考文献： [1]《高等数学》吴学澄 黄炳生等编 东南大学出版社 [2] 《高等数学》同济大学应用数学系编 高等教育出版 社