正数和负数

1.1 正数和负数 一、课题引入 为了让学生更好地理解正数与负数的概念，作为教师有必要了解数系的发展．从数系的发展历程来看，微积分的基础是实数理论，实数的基础是有理数，而有理数的基础则是自然数．自然数为数学结构提供了坚实的基础． 对于“数的发展”（也即“数的扩充”），有着两种不同的认知体系．一是数的自然扩充过程，如图1所示，即数系发展的自然的、历史的体系，它反映了人类对数的认识的历史发展进程；另一是数的逻辑扩充过程，如图2所示，即数系发展所经历的理论的、逻辑的体系，它是策墨罗、冯·诺伊曼、皮亚诺、高斯等数学家构造的一种逻辑体系，其中综合反映了现代数学中许多思想方法． 二、课题研究 在实际生活中，存在着诸如上升5m，下降5m；收入5000元，支出5000元等各种具体的数量．这些数量不仅与5、5000等数量有关，而且还含有上升与下降、收入与支出等实际的意义．显然上升5m与下降5m，收入5000元与支出5000元的实际意义是不同的． 为了准确达诸如此类的一些具有相反意义的量，仅用小学学过的正整数、正分数、零，是不够的．如果把收入5000元记作5000元，那么支出5000元显然是不可以也同样记作5000元的．收入与支出是“意义相反”的两回事，是不能用同一个数来表达的．因此，为了准确表达支出5000元，就有必要引入了一种新数—负数． 我们把所学过的大于零的数，都称为正数；而且还可以在正数的前面添加一个“＋”号，比如在5的前面添加一个“＋”号就成了“＋5”，把 “＋5”称为一个正数，读作“正5”． 在正数的前面添加一个“－”号，比如在5的前面添加一个“－”号，就成了“－5”，所有按这种形式构成的数统称为负数．“－5”读作“负5”，“－5000”读作“负5000”． 于是“收入5000元”可以记作“5000元”，也可以记作“＋5000元”，同时“支出5000元”就可以记作“－5000元”了．这样具有相反意义的两个数量就有了不同的表达方式． 利用正数与负数可以准确地表达或记录诸如上升与下降、收入与支出、海平面以上与海平面以下、零上与零下等一些“具有相反意义的量”．再如，某个机器零件的实际尺寸比设计尺寸大0.5 mm就可以表示成“0.5mm”，或“＋0.5mm”；如果“另一个机器零件的实际尺寸比设计尺寸小0.5 mm”，那么就可以表示成“－0.5 mm”了．在一次足球比赛中，如果甲队赢了乙队2个球，那么可以把甲队的净胜球数记作“＋2”，把乙队的净胜球数记作“－2”． 借助实际例子能够让学生较好地理解为什么要引入负数，认识到负数是为了有效表达与实际生活相关的一些数量而引入的一种新数，而不是人为地“硬造”出来的一种“新数”． 三、巩固练习 例1 博然的父母6月共收入4800元，可以将这笔收入记作＋4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢？ 思路分析：“收入”与“支出”是一对“具有相反意义的量”，可以用正数或负数来表示．一般来说，把“收入4800元” 记作＋4800元，而把与之具有相反意义的量“支出1600元”记作－1600元． 特别提醒：通常具有“增加、上升、零上、海平面以上、盈余、上涨、超出”等意义的数量，都用正数来表示；而与之相对的、具有“减少、下降、零下、海平面以下、亏损、下跌、不足”等意义的数量则用负数来表示． 再如，若游泳池的水位比正常水位高5cm，则可以将这时游泳池的水位记作＋5cm；若游泳池的水位比正常的水位低3cm，则可以将这时游泳池的水位记作－3cm；若游泳池的水位正好处于正常水位的位置，则将其水位记作0cm． 例2 周一证券交易市场开盘时，某支股票的开盘价为18.18元，收盘时下跌了2.11元；周二到周五开盘时的价格与前一天收盘价相比的涨跌情况及当天的收盘价与开盘价的涨跌情况如下表： 单位：元 日期 周二 周三 周四 周五 开盘 ＋0.16 +0.25 +0.78 +2.12 收盘 －0.23 －1.32 －0.67 －0.65 当日收盘价 试在表中填写周二到周五该股票的收盘价． 思路分析：以周二为例，表中数据“＋0.16”所表示的实际意义是“周二该股票的开盘价比周一的收盘价高出了0.16元”；而表中数据“－0.23”则表示“周二该股票收盘时的收盘价比当天的开盘价降低了0.23元”． 因此，这五天该股票的开盘价与收盘价分别应该按如下的方式进行计算： 周一该股票的收盘价是18.18－2.11=16.07元；周二该股票的收盘价为16.07+0.16－0.23=16.00元；周三该股票的收盘价为16.00+0.25－1.32=14.93元；周四的该股票的收盘价为14.93+0.78－0.67=15.04元；周五该股票的收盘价为15.04＋2.12－0.65=16.51元． 例3 甲、乙、丙三支球队以主客场的形式进行双循环比赛，每两队之间都比赛两场，下表是这三支球队的比赛成绩，其中左栏表示主队，上行表示客队，比分中前后两数分别是主客队的进球数，例如3∶2表示主队进3球客队进2球． 甲 乙 丙 甲 —— 3∶2 2∶2 乙 2∶3 —— 3∶1 丙 3∶1 0∶1 —— 试计算甲、乙、丙三个队各自的总净胜球数． 思路分析：由表中数据可知：甲队主场以3∶2赢乙队，甲队有1个净胜球；甲队客场又以3∶2赢乙队，又增加了1个净胜球．甲队与乙队的两场比赛中甲队净胜球的总数为2． 甲队与丙队的两场球，甲主场以2∶2与丙队握手言和，甲队净胜球数为0；甲客场以1∶3负给了丙队，这场球甲队的净胜球数为－2．甲队与丙队的两场比赛中甲队净胜球数为－2． 总之，甲队与乙队两场比赛的净胜球数为2，与丙队的两场比赛净胜球数为－2；这样甲队总净胜球数为零． 相信同学们根据上面的分析，自己也能说出“乙队总净胜球数为1，丙队总净胜球数为－1”．老师可以让学生来试试说说看． 特别提醒：股票的涨跌、球赛的胜负都是当今日常生活中经常遇到的实际问题，作为当代中学生应该主动去接触或了解一些与之相关的实际问题，以丰富学生的生活阅历．同时也充分说明数学本身就是生活的一部分，要尽可能地调动学生的积极性，把我们所学的数学用到实际生活中去． 例4 春季某河流的河水因春雨先上涨了15cm，随后又下降了15cm．请你用合适的方法来表示这条河流河水的变化情况． 思路分析：从上面的叙述可见河水的水位是先上涨了，随后又下降了，水位最终又回到了原来的位置．也就是说“最终水位的改变量是零”，或者说“水位的总变化量是零”． 与最初的水位相比先上涨的15cm，可以记作“＋15cm”，而随后又下降了15cm，可以记作“－15cm”，这样水位又回到了原来最初的位置， “水位的总变化量是零”，即这个变化量为“（＋15cm ）＋（－15cm ）= 0cm”． 特别提醒：在表示具有相反意义的量时，如果某个量经两次或多次变化后又回到了最初状态，就可以用“0”来表示总变化量；或者说这个量的最终变化量是“零”． 对于初一的学生来说，零的内涵极其丰富，因此需要特别关注，在以后讨论有理数的相反数、绝对值、有理数的运算时，需要提醒学生重视零的一些性质，并关注零在这些概念或运算中所“扮演的角色”． 四、思考问题 培养良好的阅读习惯和提高阅读能力，是数学教学过程中需要引起重视的一个重要方面．教学中，我们发现学生绝对不会做的题目很少，但由于没有把问题看懂而造成的不会做的题目却相对较多．一旦老师帮助学生把问题弄明白是怎么一回事之后，学生往往都会说“这题其实不难”，“我也会做，只是没有认真读题罢了”． 怎样才能在尽可能短的时间内让学生有效获取题目呈现给我们的信息，做高效的阅读者？这是需要教师认真考虑的问题。教师对阅读习惯的培养和阅读能力的提高应该投入充足时间，而且一定要持之以恒． 教科书是学生学习时最重要的学习，但是很多学生却把教科书放到一边，到处去购买一些价值并不高的参考资料，不认真去挖掘教科书蕴含的丰富营养．这些做法或倾向也是需要教师有意识地去调整的，如果教师能从一开始就引导学生有意识地、自觉地养成阅读教科书的好习惯，养成认真阅读数学问题的好习惯，那么学生理解能力的提高、学习能力的提升都会受益非浅． 正整数 正有理数数数 正无理数 非负实数 非负有理数数 复数 实数 正分数 零 虚数单位i，i2=1 负数 x2=－1的根i 图2 倒数 负整数 图1 复数 实数 有理数 整数 自然数(包括零) 有理数列 PAGE 1