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范里安-微观经济学现代观点-第8版-第八版-ch5-选择(含全部习题解答)-东南大学曹乾

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范里安-微观经济学现代观点-第8版-第八版-ch5-选择(含全部习题解答)-东南大学曹乾 Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th Edition) Hal R. Varian 范里安 中级微观经济学:现代方法(第第第第 8 版版版版) 完美中文翻译版 第第第第 5 章章章章::::选择选择选择选择((((含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答)))) 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@163.com) 5...
范里安-微观经济学现代观点-第8版-第八版-ch5-选择(含全部习题解答)-东南大学曹乾
Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th Edition) Hal R. Varian 范里安 中级微观经济学:现代方法(第第第第 8 版版版版) 完美中文翻译版 第第第第 5 章章章章::::选择选择选择选择((((含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答)))) 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@163.com) 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 2 5选择 在本章,我们将把预算集和偏好理论放在一起,以便研究消费者的最优选择。我们之前 说过,刻画消费者选择行为的经济模型,是指人们在能买得起的商品束中选择最好的。现在 我们把这句话改成听起来更专业的说法,即“消费者从他们的预算集中选择最受偏好的商品 束。” 5.1 最优选择 图 5.1是一种典型情形。此处我们在同一张图中,画出了某个消费者的预算集和几条无 差异曲线。我们想找到位于最高无差异曲线上的商品束。因为偏好是良好性状的,商品束中 商品数量越多越受偏好,所以我们将注意力集中在预算线上(on)的商品束,而不必考虑在 预算线下下下下.方方方方.(beneath)的商品束。 现在我们从预算线的右端开始逐渐向左端移动。在沿着预算线移动的过程中,我们注意 到:我们接近的无差异曲线位置越来越高。在到达位置最高的无差异曲线(恰好触及预算线) 时,我们停下来。将这两条曲线触及点的商品束标记为 ),( *2*1 xx ,见图 5.1。 图图图图 5.1::::最优选择最优选择最优选择最优选择。最优消费选择是无差异曲线和预算线的切点处的商品束。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 3 ),( *2*1 xx 是消费者的最优选择....(optimal choice)。比 ),( *2*1 xx 好的商品束集合,位于恰好 触及预算线的那条无差异曲线的上方上方上方上方..(这些消费束他买不起);比 ),( *2*1 xx 差的商品束集合, 位于预算线的下方下方下方下方..(这些商品束他能买得起)。上述两个商品束集合不相交,因此 ),( *2*1 xx 是 他能买得起的商品束之中最好的。 注意最优消费束的重要特征:在最优选择处,无差异曲线和预算线相切。稍加思索你 就会明白为何需要相切:如果无差异曲线和预算线不相切,那它就会预算线相交(一),沿着 预算线在交点附近的某些点就会位于这条无差异曲线的上方,这明交点不是最优消费束。 在最优选择处,相切条件必须必须必须必须..满足吗?事实上不是所有不是所有不是所有不是所有....情形都要求必须相切,但对于 良好性状的偏好,要求相切。无论如何,无差异曲线和预算线的交点都不可能是最优选择。 那么,“不相交”何时意味着相切?我们先研究一种例外的情形。 首先,某些形状的无差异曲线可能没有切线,如图 5.2所示。无差异曲线在最优选择处 出现了拐折拐折拐折拐折..(kink),此时不存在切线,因为切线的定义要求每一点只有唯一的切线。这种 情形的经济学意义不大,它是一种最讨厌的情形。 图图图图 5.2拐折的偏好拐折的偏好拐折的偏好拐折的偏好。在最优选择处,无差异曲线无切线。 第二种例外比较有趣。假设在最优点,某种商品的消费量为零,如图 5.3所示。因此, (一)如果不相切也不相交,即无差异曲线位于预算线的上方,这条无差异曲线代表的消费束,消费者都买不 起。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 4 无差异曲线的斜率与预算线斜率不相等,无差异曲线与预算线不相交不相交不相交不相交...。我们说图 5.3表示的 是边界最优....(boundary optimum),而图 5.1表示的是内部最优....(interior optimum)。 图图图图 5.3::::边界最优边界最优边界最优边界最优。最优选择处,商品 2的消费量为 0。无差异曲线与预算线不相切。 如果我们愿意除掉“拐折的偏好”,我们可以不用再考虑图 5.2所示的情形(一)。更进一 步,如果我们仅考虑内部最优内部最优内部最优内部最优....,我们可排除边界最优等其他情形。如果平滑的无差异曲线有 内部最优解,则无差异曲线的斜率和预算线的斜率必须相等…因为如果它们不相等,无差异 曲线将与预算线相交,交点不是最优点。 我们已经发现最优选择必须满足的必要条件。如果最优商品束中两种商品的数量都大 于 0,即它是内部最优而不是边界最优,那么无差异曲线必然与预算线相切。但是,相切条 件是某商品束为最优商品束的充分条件充分条件充分条件充分条件....吗?即,如果无差异曲线与预算线相切,那么切点一 定是最优选择吗? 请看图 5.4。图中有三个商品束满足相切条件,它们都位于预算线内部,但三个切点中 只有两个切点是最优选择。因此,一般来说,相切的条件只是最优化的必要条件而不是充分 条件。 然而,在凸偏好的情形下,相切的条件是最优化的充分条件。凸偏好是一种比较重要 的情形。如果偏好为凸,任何满足相切条件的点必定是最优点。这个结论在几何图形上是直 (一)否则,本书有可能被列入 R级(限制级)。以下为译者注: kinky taste(拐折的偏好),另外的一个意思 是“性变态的爱好”,所以才有限制级这种戏说。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 5 观的:由于凸无差异曲线必然弯曲地远离预算线,它不可能再拐回头与无差异曲线相切。 图 5.4:多个切点的情形多个切点的情形多个切点的情形多个切点的情形。图中有三个切点,但其中只有两个为最优点,因此相切的条件是 必要条件而不是充分条件。 由图 5.4可知,通常有多个最优商品束满足相切条件。然而,凸偏好限制了上述情形的 发生。如果无差异曲线为严格严格严格严格..凸,即无差异曲线上不含有直线段,那么每条预算线上仅有唯 一的最优点。尽管可用数学证明这个结论,但借助图形也可说明这个结论是很合理的。 在内部最优点,MRS 必须与预算线相等,这个条件在图形上表现比较明显,但是它的 经济学意义是什么?我们知道MRS的其中一种解释是,消费者恰好不愿买也不愿意卖时两 种商品的交换比率。市场提供给消费者的交换比率是 21 / pp− ,即:如果你放弃一单位商品 1,你可以购买 21 / pp 单位商品 2. 如果对于某个消费束,消费者不愿意买也不愿意卖,则必 然有MRS等于商品的交换率: 2 1 12 p pMRS −= 另外一种分析方法是,假设MRS不等于两商品的价格之比,看看将会发生什么情形? 例如假设 2/1/ 1212 −=∆∆= xxMRS ,两商品的价格比率为 1/1。前者表明消费者为得到一 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 6 单位商品 2,恰好愿意放弃两单位的商品 1;而后者表示市场愿意按 1:1的比例交换两种商 品。因此,消费者当然愿意放弃一些商品 1,多购买一些商品 2。只要 MRS 不等于两商品 的价格之比,消费者不可能已实现最优选择。 5.2 消费者需求 在某组价格和消费者的收入水平下,商品 1 和 2 的最优选择称为消费者的需求束... (demanded bundle)。通常当价格和收入改变时,消费者的最优选择也会改变。需求函数.... (demand function)是将最优选择(即商品的需求数量)与不同价格和收入水平关联起来的 函数。 我们将需求函数写为依赖于两种商品价格和消费者收入的函数: ),,( 211 mppx 和 ),,( 212 mppx 。对每组不同的价格和收入,消费者最优选择的商品组合也不同。不同的偏 好对应不同的需求函数;很快我们就会分析一些例子。在接下来的几章,我们的主要任务是 研究这些需求函数下的消费者行为,即最优选择如何随价格和收入变动而变动的。 5.3 一些例子 我们将使用第 3章介绍的那些偏好类型来研究消费者的选择。每个例子分析的基本程序 是相同的:画出预算线和若干无差异曲线,找到位置最高的那条无差异曲线和预算线的触及 点。 完全替代 图 5.5显示了 1:1完全替代的情形。最优选择有三种可能性。如果 12 pp > ,那么预算 线的将比无差异曲线平坦。在这种情形下,最优选择是消费者将所有的钱都购买商品 1。如 果 21 pp > ,则消费者只会购买商品 2。最后一种情形,如果 21 pp = ,那么将有一些列的最 优选择,即满足预算线的所有商品 1和 2的组合都是最优的。因此,商品 1的需求函数为      > =∈ < = .0 ;]/0[ ;/ 21 2111 211 1 pp pppmx pppm x 这些结果和符合常识吗?这些结果是说如果两种商品完全替代,则消费者只购买比较便 宜的那一种商品。如果两种商品价格相等,则消费者并不关心他购买了哪种商品。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 7 图 5.5:完全替代情形的最优选择完全替代情形的最优选择完全替代情形的最优选择完全替代情形的最优选择。如果两种商品是完全替代的,最优选择通常位于边界上。 完全互补 两商品 1:1完全互补的情形见图 5.6. 由图可知,最优选择必然位于对角线上,即无论 价格如何,消费者购买的两种商品的数量是相等的。对这个例子来说,这表明有两只脚的人 购买的鞋子都是成对的(一)。 图 5.6:完全互补情形下的最优选择完全互补情形下的最优选择完全互补情形下的最优选择完全互补情形下的最优选择。如果两种商品是 1:1完全互补的,则需求束总位于对 角线上,这是因为最优选择时 21 xx = (一)别担心,以后我们还会给出更有趣的例子。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 8 下面我们用代数方法分析最优选择问题。我们知道消费者不管价格如何都会购买相同数 量的商品 1和 2。令 x表示该数量,则我们必须满足下列预算约束 mxpxp =+ 2211 . 解出 x就得到商品 1和 2的最优选择 21 21 pp m xxx + === . 此处最优选择的需求函数非常直观。由于两种商品总是被一起消费,可以把它们视为一种整 体商品,消费者将全部资金用于购买这种商品,它的价格为 21 pp + 。 中性商品和厌恶商品 如果商品束中含有中性商品(neutral good),消费者将会把全部资金用于购买他喜欢的 商品,购买中性商品数量为零。对于厌恶品(bad),上述结论仍然成立。因此,如果商品 1 是消费者喜欢的商品(good),商品 2为厌恶品,则它们的需求函数分别为: .02 1 1 = = x p m x 离散商品 假设商品 1是离散商品(discrete good),离散商品只能以整数计数,而商品 2是花费在 所有其他商品上的资金。如果消费者购买 1,2,3,…单位的商品 1,这意味着他选择的消 费束为 )3,3(),2,2(),,1( 111 pmpmpm −−− ,等等。只要比较一下上述消费束的效用,看看 哪个商品束的效用最高即可。 或者,我们可以使用无差异曲线进行分析,如图 5.7所示。通常,最优消费束是那个位 于最高无差异“曲线”上的消费束。如果商品 1的价格很高,则消费者的购买数量为零;随 着价格下降,消费者会发现购买一单位商品 1是最优的。典型地,如果价格进一步下降,消 费者会购买更多单位的商品 1. 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 9 图图图图 5.7::::离散商品离散商品离散商品离散商品。在 A图,消费者对商品 1的需求量为 0;在 B图,其需求量为 1. 凹偏好 思考图 5.8所示的情形。X是最优选择吗?不是!这类偏好下的最优选择总是边界选择, 比如消费束 Z。思考一下非凸偏好的意思。如果你想购买冰淇淋和橄榄,但你不喜欢同时消 费这两种商品,你会将所有的资金全部用于购买其中一种商品。 图 5.8:凹偏好凹偏好凹偏好凹偏好(concave preferences)情形下的最优选择情形下的最优选择情形下的最优选择情形下的最优选择。最优选择是边界点的商品束 Z, 而不是内部切点的商品束 X,因为 Z位于更高的无差异曲线上。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 10 柯布-道格拉斯偏好 假设效用函数为柯布-道格拉斯形式, dc xxxxu 2121 ),( = 。在本章的附录部分,我们用微 积分推导了这个效用函数的最优选择。结果为 1 1 p m dc c x + = 2 2 p m dc d x + = . 这类需求函数在代数计算中比较有用,因此你也许应该记住它们。 柯布-道格拉斯偏好有一个较好的性质。这种偏好类型下,消费者花费在商品 1 上的资 金占收入的比例为多大?如果他购买 1x 单位的商品 1,花费为 11xp ,因此占收入的比例为 mxp /11 。将 1x 的需求函数代入可得 dc c p m dc c m p m xp + = + = 1 111 . 类似地,消费者花费在商品 2上的资金占收入的比例为 )/( dcd + 。 于是,消费者花费在每种商品上的资金,占收入的比例是固定的。这一比例的大小取决 于柯布-道格拉斯函数中变量的指数。 因此,使用变量的指数之和为 1 的柯布 -道格拉斯函数比较方便 ( 一 )。如果 aa xxxxu −= 12121 ),( ,则我们立即可将a解释为花费在商品 1上的收入比例。正因为此,我们 通常将柯布-道格拉斯偏好写成这种形式。 5.4 估计效用函数 我们已看到几种不同类型的偏好和效用函数,并相应分析了它们的需求行为。但在现实 生活中,我们通常必须反过来分析:我们可观测需求行为,由需求行为推知相应的偏好。 例如,我们观察消费者在不同价格和收入水平下的选择行为。表 5.1就是这样一个例子。 表中的数据是两种商品在不同年份的需求数据。我们还计算出了每年每种商品的支出占收入 的比例,计算公式为 mxps /111 = 和 mxps /222 = 。 对于这些数据来说,支出比例的数据相对稳定。支出比例在不同年份间存在较小的变动, 而不是大的让人担心的变动。商品 1的平均支出比例大约为 1/4,商品 2的平均支出比例大 约为 3/4。效用函数 4 3 2 4 1 121 ),( xxxxu = 很好地拟合了这些数据。也即是说,该效用函数产生的 (一)事实上 aa xxxxu −= 12121 ),( 是 dc xxxxv 2121 ),( = 的单调变换,这两个函数代表的偏好是相同的。译者 注。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 11 选择行为和表中的选择行为非常接近。为了便于说明,我们将表中相应的观测值代入这个柯 布-道格拉斯效用函数,从而计算出了效用值。 表 5.1:描述消费行为的一些数据。 我们从表中的观测行为能得出的结论是,似乎消费者最大化的效用函数为 4 3 2 4 1 121 ),( xxxxu = 。当然,如果进一步观测这个消费者的行为,我们也有可能推翻这个结论。 但我们仅有表 5.1的数据,根据这些数据估计出的上述效用函数很好地拟合了最大化模型。 这个结论具有重要意义,因为现在我们可以使用这个“拟合的”效用函数来估计政策变 动的影响。例如,假设政府考虑征收税收,并且假设该税收使得消费者面对的价格为(2,3), 收入为 200。根据我们的估计,在这样的价格下,消费束为 25 2 200 4 1 1 ==x .50 3 200 4 3 2 ==x 这个消费束的效用估计值为 425025),( 4 3 4 1 21 ≈=xxu . 这表明征税政策使消费者的状况,比表 5.1中第二年他的状况好,但比第三年他的状况 差。因此,我们可以使用观测到的选择行为去评估税收政策对这个消费者的影响。 由于这是经济学中很重要的一个思想,我们再次回顾它的逻辑。给定选择行为的某些观 测值,我们试图确定最大化的是什么东西。一旦我们模拟估计出上述用于最大化的东西,我 们既可用它预测新形势下的选择行为,又可用它评估经济环境变化导致的影响。 当然,我们前面给出的例子非常简单。在现实中,我们通常难以得到个人消费选择的详 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 12 细数据。但我们通常可获得人口组别的消费数据,比如青少年,中产阶级家庭,老年人,等 等。这些不同的人口组别对不同的商品可能有不同的偏好,这些偏好可从他们的消费支出模 式中看出。我们可以估测出刻画他们消费模式的效用函数,再使用这个估测出的效用函数预 测需求以及评估政策变化的影响。 在前面的例子中,由于支出比例相对稳定,使用柯布-道格拉斯函数进行拟合,效果很 好。在其他情形下,可能需要使用更为复杂的效用函数进行拟合。计算过程可能因此变得繁 琐,我们可以使用计算机进行估计,但这些估计程序的基本思想是相同的。 5.5 MRS 条件的意义 在上一节,我们学习了一个重要的思想:观察需求行为可知道相应的潜在偏好的一些重 要信息。如果我们能获得足够多的消费者选择行为的观察资料,通常就能够估计出产生这些 行为的效用函数。 即使仅知道某个消费者在一组价格下的一个一个一个一个..选择,我们也可以推测出一些有用的信息, 比如他的效用将如何随消费束变化而变化。我们看看怎样做出这样的推测。 在功能良好的市场中,每个人面对的商品价格通常大致相等。以黄油和牛奶这两种商品 为例。如果每个人面对同样的价格,每个人都追求效用最大化,每个人的最优解都是内部解… 那么黄油和牛奶之间边际替代率对于每个人来说都是相同的。 由上面的分析可知,市场使每个人的黄油和牛奶的交换率都相等,每个人都在调整他的 消费束,一直调整到他对这两种商品的“内部”评价(valuation)等于市场对这两种商品的 “外部”评价时为止。 上述结论有趣的地方在于,它不受收入和偏好的影响。人们对于这两种商品总消费的评 价,可能差异很大。有些人会消费很多的黄油和很少的牛奶,有些人则相反。有些富人可能 消费很多的牛奶和很多的黄油,而有些穷人可能消费很少。但是只要消费这两种商品,每个 人必然拥有相同的边际替代率。 人们必须对商品的交换率达成一致:为了多得到一单位的一种商品,他们愿意放弃多少 单位另外一种商品。 商品的价格比率等于它们的边际替代率这一事实非常重要,因为它是评价消费束变化的 一种方法。例如,假设牛奶和黄油的价格分别为 1 元/品脱、2 元/磅,则边际替代率为 2: 若让消费者放弃 1磅黄油,必须补偿他们 2品脱牛奶。或者反过来说,若让他们放弃 2品脱 牛奶,必须补偿他们 1磅黄油。因此每个人对消费的边际变动的评价是相同的。 假设某人发明了将牛奶变成黄油的新机器:用 3品脱牛奶可生产 1磅黄油,而且生产不 出其他的有用副产品。问:这样的机器有市场吗?答:绝对没有。因为人们能够以 2品脱牛 奶换得 1磅黄油,他们怎么可能傻到用 3品脱牛奶换 1磅黄油,所以这样的机器一钱不值。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 13 如果他发明的机器能用 1磅黄油生产 3品脱牛奶,这样的机器有市场吗?答:有!因为 两种商品的价格表明,人们恰好愿意用 1磅黄油换 2品脱牛奶。一换三显然比市场中的一换 二合算。风险投资者会投资这样的机器(以及黄油)! 市场价格表明第一种机器无法赚钱:生产出 2元黄油需要投入 3元牛奶。也就是说,人 们对投入的评价比对产出的评价高。第二种机器产出 3元牛奶仅需投入 2元黄油,它能赚钱, 因为人们对产出的评价高于对投入的评价。 上述论述的要点在于,价格衡量商品之间的交换率,因此可使用价格来评估相关政策(导 致消费变化的政策)的影响。价格并不是任意的数字,而是反映人们在边际上如何评价商品, 这一事实是经济学中最基本和最重要的思想之一。 给定一组价格和消费数据,我们就可以计算出该观测点上的 MRS。如果价格变动,观 察消费者的另外一个选择,就可得到另外一个 MRS。观测点越多,就能越准确地估计出产 生这种选择行为的潜在偏好的形状。 5.6 税种选择 到目前为止,我们学习了一点消费者理论,但即使这一丁点理论也能让我们推导出有趣 而重要的结论。下面税种选择的分析就是一个很好的例子。消费税...(quantity tax)是对消 费者消费某种数量所征税收,例如每加仑汽油征税 15分。所得..税.(income tax)是对收入 征税。如果政府希望借助税收增加财政收入,用上述两种税中的哪种更好一些?我们用消费 者理论进行分析。 我们首先分析征收消费税的情形。假设征税前预算线为 mxpxp =+ 2211 . 如果对商品 1征收消费税,税率为 t,则预算线怎样变动?答案很简单。对于消费者来说, 征收消费税就好比商品 1的价格上升了 t元,因此征税后的预算线为 mxpxtp =++ 2211 )( . (5.1) 征收消费税所获得的财政收入为 *1* txR = 。 因此消费者认为,对某种商品征收消费税相当于提高了该商品的价格。价格变动后需 求怎样变动?请看图 5.9。目前,我们无法确切知道征税后商品 1的消费量是增加还是下降, 尽管通常假设消费量会下降。但是,无论消费量是增还是减,有一点是肯定的,即最优消费 束 ),( *2*1 xx 必然满足下列预算线 mxpxtp =++ *12 * 11 )( . (5.2) 接下来我们分析所得税,假设征收所得税所获得的财政收入仍为 *R 。征缴所得税后的 预算线变为 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 14 * 2211 Rmxpxp −=+ . 或者将 *1* txR = 代入上式得 * 12211 txmxpxp −=+ . 在图 5.9中,这条预算线是什么样的? 图 5.9:所得税所得税所得税所得税还是还是还是还是消费税消费税消费税消费税(quantity tax)????。此处我们分析无论哪种税征收的税收总额都是 R*的情形下,政府应该选择所得税还是消费税。由于与征收消费税相比,征收所得税能使 消费者位于更高的无差异曲线上,即消费者的状况更好,因此政府应征收所得税。 容易看出上述预算线与征税前的预算线斜率相同,都等于 21 / pp− ,问题是要确定这条 预算线的位置。容易证明这条预算线必然经过 ),( *2*1 xx :将 ),( *2*1 xx 代入该预算线可知预算线 等式仍成立,因为 * 1 * 22 * 11 txmxpxp −=+ 只不过是(5.2)式的变形,而我们知道(5.2)式是成立的。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 15 这就证明了 ),( *2*1 xx 位于征缴所得税后的预算线上:消费者能买的起...这个消费束。但这 个消费束是最优选择吗?容易看出答案为否。在点 ),( *2*1 xx ,MRS 等于 21 /)( ptp +− 。但 是征所得税后我们可以 21 / pp− 的交换率进行交易。于是预算线和无差异曲线交于 ),( *2*1 xx 点,这表明预算线上存在比 ),( *2*1 xx 更好的商品束。 因此,征收所得税肯定比征收消费税好,其中的道理在于,无论征哪种税,所获得的 财政收入都相同,但征所得税后消费者的状况好于征收消费税后的消费者状况。 这个结论很漂亮,值得记住,但同时你要知道这个结论的局限性。首先,它只使用于 一个消费者的情形。从前面的论证可以看出,对于既定的某个消费者,无论缴纳哪种税,他 的税收负担都相同,但他宁可选择缴纳所得税。但由于每个人缴纳的所得税税额通常存在差 异,因此对所有消费者都.征收所得税,未必一定好于对所有消费者都征收消费税。(例如, 某消费者不消费商品 1,此人肯定相对喜欢消费税而不喜欢所得税。) 其次,我们假设征收所得税后,消费者的收入不变,即假设税收为一种定额税(a lump sum tax)——这种税会改变消费者的商品支出总额但不会改变其最优选择。这种假设不合 理。如果这里的所得为消费者的工作收入,可以预期征收所得税会打击消费者工作的积极性, 因此征税后消费者的收入损失可能远大于他所缴纳的所得税税额。 最后,我们没有考虑税收对商品供给的影响。我们已说明税收如何影响需求,但税收 同样会影响供给。完整的分析应将这两方面因素都考虑进来。 附录 你应该学会求解效用最大化问题,并且能得到实际需求函数。我们在本章正文中已做过 这样的事情,不过针对的是完全替代和完全互补这类简单的情形。在此处,我们将针对更一 般的情形。 首先,我们通常希望以效用函数 ),( 21 xxu 表示消费者的偏好。在第 4章我们已知道这不 是一个约束性很强的假设。绝大部分良好形状的偏好都能用效用函数刻画。 事实上我们已知道怎样求解最优选择问题。我们要做的只是把我们前 3章学过的知识汇 集起来。在本章我们知道最优选择 ),( 21 xx 必须满足下列条件 2 1 12 p pMRS −= , (5.3) 在第 4章的附录我们知道,MRS的绝对值等于效用函数偏导数的比率。由此可知 2 1 221 121 /),( /),( p p xxxu xxxu = ∂∂ ∂∂ . (5.4) 从第 2章可知,最优选择必须也满足预算约束 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 16 mxpxp =+ 2211 . (5.5) 由以上可得两个方程——MRS条件和预算约束,两个未知数 1x 和 2x 。我们所要做的就 是用这两个等式解出最优选择 1x 和 2x ,它们都是价格和收入的函数。两个方程两个未 知数的求解方法有多种。第一种方法是用预算约束解出其中一个变量,然后代入 MRS 条件,这种方法通常可行,但未必最简单。 将预算约束变形可得 1 2 1 2 2 xp p p m x −= (5.6) 将其带入(5.4)式可得 2 1 212121 112121 /))/(/,( /))/(/,( p p xxpppmxu xxpppmxu = ∂−∂ ∂−∂ . 这个式子看上去有些可怕,但它只有一个变量 1x ,解出 1x ,它通常的形式是 ),,( 2111 mppxx = 。将其代入预算约束可解出 2x , 2x 也是价格和收入的函数。 我们也可以使用最大值的微积分条件,求出效用最大化问题的解。这种方法的规则如下。 首先,提出效用最大化问题,它是一个约束最大化问题: ),(max 21 , 21 xxu xx 使得 mxpxp =+ 2211 . 这个最大化问题让我们选择 1x 和 2x 的合适数值使得:一是它们必须满足约束条件;二 是使 ),( 21 xxu 最大。 这类问题通常有两种求解方法。第一种方法是从约束条件解出其中一个变量,它是另外 一个变量的函数;然后将其带入目标函数 ),( 21 xxu 。 例如,给定 1x 的任一数值,则满足预算约束的 2x 由下式给出 1 2 1 2 12 )( xp p p m xx −= . (5.7) 现在用 )( 12 xx 代替效用函数中的 2x ,就得到了下列无约束的无约束的无约束的无约束的....(unconstrained)最大化问 题 ),(max 1 2 1 2 1 1 x p p p m xu x − . 这个无约束最优化问题中的选择变量只有一个,即 1x ,这是因为我们使用了函数 )( 12 xx , 这个函数可以保证 2x 必然满足预算约束,无论 1x 的数值为多少。 对上面的目标函数求关于 1x 的微分并令它等于 0,可解得一阶条件: 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 17 0))(,())(,( 1 2 2 121 1 121 = ∂ ∂ + ∂ ∂ dx dx x xxxu x xxxu . (5.8) 上式左端第一项是 1x 增加对效用增加的直接效应。第二项由两部分相乘:第一部分是 2x 增加时效用的增加率 2/ xu ∂∂ ;第二部分即 12 / dxdx ,表示当 1x 增加时为使预算方程仍然成 立 2x 应增加的比率。 12 / dxdx 可从(5.7)式解得,对(5.7)式微分可得 2 1 1 2 p p dx dx −= . 将其带入(5.8)式可得 2 1 2 * 2 * 1 1 * 2 * 1 /),( /),( p p xxxu xxxu = ∂∂ ∂∂ , 这个式子是说,商品 1和 2在最优选择点 ),( *2*1 xx 边际替代率的 12MRS 必须等于商品 1与商 品 2的价格之比。这个条件正是我们前面推导出来的条件:无差异曲线的斜率必须等于预算 线的斜率。当然最优选择点必须还要满足预算约束 mxpxp =+ *22*11 ,这样我们又得到了两 个二元方程。 这类问题的第二种解法是使用拉格朗日乘数......(Lagrange multipliers)。这种方法需要先 定义一个函数,这个函数称为拉格朗日函数: )(),( 221121 mxpxpxxuL −+−= λ . 上式中有个新变量λ 1,这个变量称为拉格朗日乘数,因为它与预算约束相乘。拉格朗日定 理是说,最优选择 ),( *2*1 xx 必须满足下列三个一阶条件: .0 0),( 0),( 2211 2 2 * 2 * 1 2 1 1 * 2 * 1 1 =−+= ∂ ∂ =− ∂ ∂ = ∂ ∂ =− ∂ ∂ = ∂ ∂ mxpxpL p x xxu x L p x xxu x L λ λ λ 上面三个式子有几个有趣的地方。首先,注意这三个式子是拉格朗日函数分别对 21, xx 和λ 分别求导而得到。最后一个式子就是预算约束。其次,现在我们有了三个含有三个未知数(即 21, xx 和λ)的方程。我们有希望解出以 21, pp 和m表示的 21, xx 。 任何高等微积分教材都有拉格朗日定理的证明。这种证明广泛地应用于高等经济学课 程,但对于我们的目的来说,知道这个定理是怎么回事以及如何使用就足够了。 在上面的例子中,如果我们将第一个条件与第二个条件相除,可得到 1 λ 为希腊字母,读作“lamb-da”. 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 18 2 1 2 * 2 * 1 1 * 2 * 1 /),( /),( p p xxxu xxxu = ∂∂ ∂∂ , 这个式子是说MRS必须等于价格比率,这一点我们前面已经得出。预算约束给出了另外一 个方程,因此我们就得到了两个方程,这两个方程都含有两个未知数。 例子例子例子例子::::柯布柯布柯布柯布————道格拉斯函数道格拉斯函数道格拉斯函数道格拉斯函数 在第 4章我们引入了柯布—道格拉斯效用函数 dc xxxxu 2121 ),( = . 由于任何效用函数的单调变换都保持原来的偏好关系,因此出于计算方便的考虑,可将上式 取对数变成对数形式 2121 lnln),(ln xdxcxxu += . 下面我们求解该效用函数中商品 1和商品 2的需求函数。我们希望求解的最大化问题是 mxpxpts xdxc xx =+ + 2211 21 , . lnlnmax 21 上式中的“s.t”是英文单词 “such that”的缩写,意思是“使得”,即表示约束条件。 解这个最优化问题至少有三种方法。一种方法是分别写出MRS条件和预算约束条件, 联立求解。我们在第 4章已得出效用条件的表达式,因此将上述两个条件联立可得 .2211 2 1 1 2 mxpxp p p cx cx =+ = 由上面的两元方程组可以解出 1x 和 2x 的最优数量。求解方法也有好几种,第一种方法是将 第二式代入第一式,可得 . )//( 2 1 1 2112 p p dx ppxpmc = − 交叉相乘可得 .)( 1111 xdppxmc =− 重新整理这个式子可得 .)( 11xpdccm += 由此可得 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 19 . 1 1 p m dc c x + = 这个式子就是商品 1的需求函数。将上式代入预算约束方程可得商品 2的需求函数 . 2 12 1 2 2 p m dc d p m dc c p p p m x + = + −= 第二种方法是一开始就将预算约束代入目标函数。如果这么做,最大化问题变为 ).//ln(lnmax 21121 1 ppxpmdxc x −+ 这个最大化问题的一阶条件为 .0 2 1 11 2 1 = − − p p xpm pd x c 由此可解出 1x . 1 1 p m dc c x + = 将其代入预算约束 21122 // ppxpmx −= 可得 . 2 2 p m dc d x + = 于是我们就得到了商品 1和 2的需求函数。欣慰地是,它们和第一种方法得到的结果是一样 的。 下面我们使用拉格朗日方法求解需求函数。建立拉格朗日函数 )(lnln 221121 mxpxpxdxcL −+−+= λ 分别对 21, xx 和λ求导并令等于 0,可得下列三个一阶条件 01 11 =−= ∂ ∂ p x c x L λ 02 22 =−= ∂ ∂ p x d x L λ .02211 =−+=∂ ∂ mxpxpLλ 剩下的问题就是怎么求解上述方程了。最好的方法是先求出λ,然后再求出 21, xx 。所以我 们重新整理前两个式子可得 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 20 .22 11 xpd xpc λ λ = = 将这两个式子相加可得 ,)( 2211 mxpxpdc λλ =+=+ 由此可得 m dc + =λ . 将其代入前两个一阶条件可解得 21, xx 1 1 p m dc c x + = . 2 2 p m dc d x + = 这个结果和我们第一种方法解得的结果是一样的。 1.消费者的最优选择是这样的商品束,它位于消费者预算集内的最高无差异曲线上。 2.在最优商品束之处,通常有下列条件:无差异曲线的斜率(MRS)等于预算线的斜率。 3.如果能获得某消费者的一些消费选择数据,则可能估计出描述他选择行为的效用函 数。这样的效用函数可用来预测他将来的消费选择,或者用于估计新经济政策对消费者效用 的影响。 4.如果每个人面对两种商品的价格是相同的,那么每个人都有相同的边际替代率,因此 都愿意按该比率进行商品交易。 1.如果两种商品是完全替代的,求商品 2的需求函数。 复习题复习题复习题复习题 总结总结总结 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 21 2.假设某消费者的无差异曲线为斜率等于 b− 的直线。给定任意的价格和货币收入即 ),,( 21 mpp ,他的最优选择是什么样的? 3.假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖,如果糖和咖啡的价格分别为 21, pp ,收入为 m,分别计算出他购买的咖啡和糖的数量。 4.假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好(即凹偏好),正如教材中描述的那样,这 两种商品的价格分别为 21, pp ,收入为m。求最优消费束。 5.如果某消费者的效用函数为 42121 ),( xxxxu = ,计算他花费在商品 2上的资金支出占他 的收入的比例。 6.如果对某消费者来说,无论征收所得税还是消费税,他的状况是一样的。那么他有什 么样的偏好类型? 1.如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的如果两种商品是完全替代的,,,,求商品求商品求商品求商品 2的需求函数的需求函数的需求函数的需求函数。。。。 【复习内容】完全替代;需求函数 【解题思路】如果计算量较少,最好画图分析。即按照教材中所说的:画出预算线和若干无 差异曲线,找到位置最高的那条无差异曲线和预算线的触及点。请读者自行画图。 【参考答案】 不妨假设两种商品的价格为 21, pp ;收入为m。 由于商品 1 和 2 是完全替代的,但题目未告知它们之间的替代比率,不妨假设商品 1 和 2的的替代比率为 b:1 ,即 1单位商品 1可以替代b单位商品 2。 如果 12 pbp > ,则消费者只会购买商品 1,因此此时商品 2的需求量为 0;如果 12 pbp < , 则消费者只会购买商品 2,此时商品 2的需求量为 2/ pm 。如果 12 pbp = ,则预算线上的任 何一点都是最优选择点,此时商品 2的需求量可以为闭区间 ]0[ 2p m 中的任一数。 因此,商品 2的需求函数为          = <∈ > = . ]0[ 0 12 2 12 2 2 12 2 pbp p m pbp p m x pbp x 复习题答案复习题答案复习题答案复习题答案 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 22 2.假设某消费者的无差异曲线为斜率等于假设某消费者的无差异曲线为斜率等于假设某消费者的无差异曲线为斜率等于假设某消费者的无差异曲线为斜率等于 b− 的直线的直线的直线的直线。。。。给定任意的价格和货币收入即给定任意的价格和货币收入即给定任意的价格和货币收入即给定任意的价格和货币收入即 ),,( 21 mpp ,,,,他的最优选择是什么样的他的最优选择是什么样的他的最优选择是什么样的他的最优选择是什么样的???? 【复习内容】完全替代;最优选择 【解题思路与参考答案】 其实本题和第一题是一回事。这是完全替代的偏好,效用函数为 2121 ),( xbxxxu += 。 同样可以画图分析。由于本题和第 1 题是相同的。因此此处只给出简略答案:如果 12 pbp > ,则消费者只会购买商品 1,因此此时商品 2的需求量为 0;如果 12 pbp < ,则消 费者只会购买商品 2,此时商品 2的需求量为 2/ pm 。如果 12 pbp = ,则预算线上的任何一 点都是最优选择点。 3.假设某假设某假设某假设某消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖消费者每喝一单位咖啡总是放两单位的糖,,,,如果糖和咖啡的价格分别为如果糖和咖啡的价格分别为如果糖和咖啡的价格分别为如果糖和咖啡的价格分别为 21, pp ,,,,收收收收 入为入为入为入为 m,,,,分别计算出他购买的咖啡和糖的数量分别计算出他购买的咖啡和糖的数量分别计算出他购买的咖啡和糖的数量分别计算出他购买的咖啡和糖的数量。。。。 【复习内容】完全互补;最优选择。 【解题思路和参考答案】 令 21, xx 分别表示糖和咖啡的购买量。 由题意可知 21 2xx = (1) 预算线为 mxpxp =+ 2211 (2) 联立(1)和(2)可解得: . 2 ; 2 2 21 2 21 1 pp m x pp m x + = + = 4.假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好假设你对冰淇淋和橄榄有高度的非凸偏好((((即凹偏好即凹偏好即凹偏好即凹偏好),),),),正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样正如教材中描述的那样,,,,这两种这两种这两种这两种 商品的价格分别为商品的价格分别为商品的价格分别为商品的价格分别为 21, pp ,,,,收入为收入为收入为收入为m。。。。求最优消费束求最优消费束求最优消费束求最优消费束。 【复习内容】凹偏好;最优选择。 【解题思路与参考答案】 凹偏好情形下,端点消费束好于平均消费束,注意,此时由无差异曲线和预算线相切条 件解出的切点解,不仅不是最优的,反而是最差的。 因此,最优选择是角点解(corner solutions),如下图所示,最优选择为 )0,/( 1pm 当然, )/,0( 2pm 也为最优选择。此时的图形读者自行画出。 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 23 5.如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为如果某消费者的效用函数为 42121 ),( xxxxu = ,,,,计算计算计算计算他花费在他花费在他花费在他花费在商品商品商品商品 2上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收上的资金支出占他的收 入的比例入的比例入的比例入的比例。。。。 【复习内容】柯布—道格拉斯效用函数;最优选择。 【解题思路和参考答案】请读者务必学习本章的附录部分。附录部分提供了详细的分析。我 们只给出其中一种解题方法。 由题意可知,消费者面临的最大化问题为 ... max 2211 4 21 , 21 mxpxpts xx xx =+ 构造拉格朗日函数 )(),( 221142121 mxpxpxxxxL −+−= λ ,其一阶条件为: 01 4 2 1 =−= ∂ ∂ px x L λ 04 2 3 21 2 =−= ∂ ∂ pxx x L λ .02211 =−+=∂ ∂ mxpxpLλ 由前两个式子可得 2 1 1 2 4 p p x x = ,即 1122 4 xpxp = ,将其代入预算方程 mxpxp =+ 2211 可 知 mxp 5 1 11 = , mxp 5 4 22 = 。这就是说消费者将 1/5的收入花费在商品 1上,将 4/5的收入 花费在商品 2上。 6.如果对某消费者来说如果对某消费者来说如果对某消费者来说如果对某消费者来说,,,,无论征收所得税还是消费税无论征收所得税还是消费税无论征收所得税还是消费税无论征收所得税还是消费税,,,,他的状况是一样的他的状况是一样的他的状况是一样的他的状况是一样的。。。。那么他有什么样那么他有什么样那么他有什么样那么他有什么样 的偏好类型的偏好类型的偏好类型的偏好类型???? 5选择 曹乾(东南大学 caoqianseu@163.com) 24 【复习内容】税收类型对消费者福利的影响 【分析思路】 本题的解题思路就是猜。通过教材中的学习可知,对于一般形状的无差异曲线(即偏好 为良好性状时),某消费者相对更喜欢所得税一些。因为与征收消费税相比,征收所得税能 使消费者位于更高的无差异曲线上,即他的状况更好一些。请参考教材图 5.9。 因此,题目中的消费者,他的偏好必然是特殊类型的。根据教材中介绍的几种特殊类型 的偏好,多猜几次并简单画图分析一下,就可知道他的偏好是完全互补类型的。事实上,也 只有完全互补类型的偏好,才能出现题目中所说的现象。 猜中了答案后,要分析一下原因。首先注意以下两个事实:一是如果你对某种税收的规 避能力越强,你的状况越好;二是从宽泛意义上来说,任何两种商品之间总存在着替代性和 互补性。现在考虑这样的问题:如果对你消费的两种商品中的其中一种征收消费税,那么这 两种商品的替代性越强(即互补性越弱)还是越弱时,你对税收的规避能力越强?答案显然 为替代性越强时。如果两商品价格相同,且为 1:1完全替代,则政府对商品 1征收消费税, 对你的状况毫无影响,因为此时你可以选择消费商品 2。 因此题目可以转化为下列问题:政府征收所得税,你无法规避;什么样情形下,政府对 某种商品征收消费税你也无法规避?答案为这两种商品为完全互补时。因为两商品若为完全 互补的,可以把它们视为一种商品。 【参考答案】 当消费者的偏好为完全互补类型时,政府无论征收所得税或消费税,他的状况是一样的。 如下图所示。如果暂时理解不了这个图也不要紧,等学完了第 8章斯勒茨基方程后再来看这 个图就会豁然开朗。
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