直线上开集、闭集及完备集的构造

直线上开集、闭集及完备集的构造 一、开集、闭集的构造 设是中的开集，是开区间.若但且，则称为的一个构成区间.其中可以是，可以是. 引理1.9.1 设是中的开集.则中每一点必属于的一个构成区间. ：设.由于是开集，所以有使.现令 ，.则是的构成区间并且. 定理1.9.1 若是中的开集，则是至多可数个两两不相交的开区间的并. 证明：由引理1，是它的所有构成区间的并.但由构成区间的定义知，任何两个不同的构成区间不相交.这样就是一族两两不相交的开区间的并.而这样一族开区间是至多可数的. 关于闭集的构造，可以从它的补集来了解. 设是中的完备集.由定义，首先是闭集，从而是开集.由定理1.9.1, 是至多可数个两两不相交的开区间的并，不妨设 其中两两不相交.其次没有孤立点，所以中任两个开区间没有公共端点.反之若上式中的开区间列两两不相交，则是完备集.这样我们有 定理1.9.2 是中的完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并. 二、一个重要的集——集. 将区间三等分，取走中间长为的开区间.把余下的两个闭区间各三等分，各取走中间长为的两个开区间和.然后再将余下的四个闭区间各三等分，各取走中间长为的两个开区间、等等. 如此继续下去，便取走了中的开集 … 得到完备集. 中所有开区间的长度之和为         下面来考察集的性质. (i)显然集是非空的闭集. (ii) 集没有孤立点.事实上，，设是含的任一开区间.令，在构造集的过程中，当进行到第次时，所余个闭区间的长都是，只要充分大，就有.由于是永远删不掉的点，应属于删去次后余下的某个闭区间，则.注意到的两端点也在内，而且都属于，故 φ，即.所以集没有孤立点. (iii) 集是不可数集.用反证法.设是可数的，则其元素可以排成，显然，与中应有一个不含，以记之.将三等分，所得左右两个闭区间中应有一个不含，以记之.再三等分，可得不含的闭区间，如此继续下去，归纳地得到一闭区间列： ， ， 易见的长度，由闭区间套定理，必有点.但是等的端点集的聚点，因而也是的聚点，故.由于，，所以.这就引出了矛盾.因此不可数. 综上所述，集是非空不可数的完备集.或者说Cantor完备集C有连续统势.其证明方法还可以利用n元数列全体具有连续统势. 证明2 对每一有,其中,是三元数列. 第一次拿走的,所以第一项,即 第二次拿走的在或中: 对中的,第二项, 对中的,第二项,, 第三次拿走的的在()中,这时第三项,其具体情形为: 第四次拿走的的在()中,这时第四项.…… …………………… 说明一定是未被拿走的点,故包含于C. 即,而左侧相当于二元数列全体,具有连续统势,所以Cantor完备集C有连续统势. 由上可知,任取,只要即或2,必有.