变式教学对数学能力的培养

收稿日期: 2001202216 作者简介: 黄永 (1966—　) , 女, 云南省彝良县人, 中教一级, 学士 1 变式教学对数学能力的培养 黄　永 (昭通市昭阳区第三中学, 　云南　昭通　657000) [摘　要 ]　举例说明变式教学对学生数学能力的培养 1 [关键词 ]　变式; 　数学; 　能力; 　培养 [中图分类号 ]G63316　[文献标识码 ]A 　[文章编号 ]100829322 (2001) 0320038204 The Cultiva tion of M athematica l Abil ity by Var ia tion Type of Teach ing HU AN G Yong Abstract: Give exam p les to the cu lt iva t ion of m athem atica l ab ility by varia t ion type of teach ing fo r studen t. Key words: varia t ion type; m athem atica l; ab ility; cu lt iva t ion 变式教学是数学教学的一种重要方法, 可作为巩固数学基础知识、形成数学能力的最直接的强化训 练. 变式是指交替使用同类事物的各种不同形式, 即从不同的角度来举例说明事物的本质特征. 通过 变式训练, 可帮助学生深入理解概念, 灵活运用公式, 提高学生的观察能力、概括能力以及解题的应变能 力等数学的多种基本能力, 同时也能培养学生的创新思维能力. 1　基本概念中的变式教学 对概念的教学, 要使学生准确地掌握概念的本质属性. 为此, 在学习概 念时运用一些变式教学, 可使学生对事物的本质属性得以深刻理解, 从而形 成准确的概念, 增强其洞察能力和判断能力. 如: 在学习“三线八角”时, 让学生注意同位角、内错角、同旁内角需两条 直线被第三条直线所截而成. 教材[1 ]是通过图 1 来认识这三种角的, 图 1 中有四组同位角: ∠1 和∠5, ∠2 和∠6, ∠3 和∠7, ∠4 和∠8; 有两组内错 角: ∠3 和∠5, ∠4 和∠6; 有两组同旁内角: ∠3 和∠6, ∠4 和∠51 ·83· 第 23 卷　第 3 期 V o l. 23 N o. 3 昭通师范高等专科学校学报 Journal of Zhao tong T eacherpis Co llege 2001 年 9 月Sep. 2001 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 图2 “三线八角”变式教学图 CB A D E 　　为使学生更进一步理解概念, 再让学生观察图 2, 正确判断哪两条直线 被哪一条直线所截, 并正确找出和∠B , ∠C 构成内错角和同旁内角的角. 通过这种图形的变异, 可帮助学生形成准确的概念, 强化学生在图形变 异中的判断力. 2　公式中的变式教学 数学公式体现了由特殊到一般的抽象, 学生很容易记住一个公式, 而不 易灵活地运用. 在公式的运用这一教学环节上, 分层次地进行一些变式训练, 能促进学生迅速地掌握公 式的特征、灵活地运用公式, 从而提高辨析能力以及问题和解决问题的能力. 如初一代数中的平方差公式, 当学生已经记住公式 (a + b) (a - b) = a2 - b2 后, 可让其观察判断三 组变式题: 第一组: (2a + 5) (2a - 5) ; 　　　 (- 2a + 5) (2a + 5) ; ( - 2a - 5) (2a - 5) ; 　　　 (- 2a - 5) (- 2a + 5) 1 第二组: (x + y + 1) (x + y - 1) ; 　　 (x - y + 1) (x - y - 1) ; (x + y + 1) (x - y - 1) ; 　　 (x - y - 1) (x - y + 1). 第三组: (2a + b - c + 1) (2a + b - c - 1) ; 　　 (2a + b + c + 1) (2a + b - c - 1) ; (2a - b + c + 1) (2a + b - c + 1) ; 　　 (2a - b - c + 1) (2a + b - c - 1). 判断各组能否运用平方差公式, 并分别指出公式中的 a , b 各是什么. 本变式题通过符号上的变化, 使学生明确公式中的字母均表示代数式, 加深了对公式特征的认识, 培养了化归意识. 3　命题中的变式教学 在命题的教学中, 可利用变式教学, 从多方面、多角度去认识, 以达到深入理解命题和发展思维、培 图3 射影定理 C BDA 养判断能力和逻辑推理能力的目的. 例 1　射影定理: 直角三角形中, 斜边上的高是两条直角边在斜边上的 射影的比例中项. 已知: 如图 3, △A CB 中 ,A C ⊥B C , CD ⊥A B 1 求证: CD 2 = A D õD B 1 图4 射影定理教学变式 (一) C BDA 构造逆命题, 并判断其真假性: 变式 1: 在△A B C 中, 若A C ⊥B C , CD 2 = A D õD B , 则CD ⊥A B 1 考虑到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 当D 点为A B 的 中点时, 显然有CD 2 = A D õD B , 但CD 不垂直于A B . 如图 41显然逆命 题为假. 变式 2: 在△A B C 中, 若A B ⊥CD , CD 2 = A B õD B , 则A C ⊥B C 1 如图 5, 当∠B = ∠1 时, 有CD 2 = A D õB D , 但△A B C 并非直角三角形. 故此逆命题亦为假. 1 图5 射影定理教学变式 (二) C BD A 本题是通过命题的局部换位构造逆命题, 这样, 可锻炼学生的逆向 思维, 培养学生逆向思维能力以及判断能力. 4　解题教学中的变式 在解题教学中, 应加强对学生思维能力的培养, 通过多角度、多方 位、多层次地探求解题的思路和方法, 开阔学生的思路, 培养学生思维的 广阔性、灵活性和深刻性. 所以, 在解题教学时, 运用“一题多变”和“一题多解”的变式训练, 对于学生 极富挑战性, 从这种变式训练中, 可活化思维, 从而提高学生的思维能力以及运用知识的综合能力. ·93· 黄永 变式教学对数学能力的培养 第 3 期 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 411　“一题多变”的变式 例 2　已知方程 5x 2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2, 求它的另一个根及 k 的值. (教材[2 ]“根与系数 的关系”一节例题) 教材解法: 先由根与系数的关系求出另一个根为 - 3ö5, 再由 2 + (- 3ö5) = - kö5 求出 k = - 7. 变式题 11 已知方程 kx 2 + 5x - 6 = 0 (或 5x 2 + 6x - k = 0) 的一个根是 2, 求 k 的值. 这种变式是把 k 变作二次项系数或常数项, 不要求求另一个根. 解法可仿原题解法, 也可直接据方 程的定义求出 k 的值. 变式题 21 已知方程 5x 2 + kx - 6 = 0 的一根比另一根大 4, 求方程的两个根及 k 的值. 此变式是变“已知一个根”为“已知两根之差”, 在解题时利用 (x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 - 4x 1x 2 的恒 等变形求出 k 的值, 然后求两根. 变式题 31 已知方程 5x 2 + kx - 6 = 0 的二根之差的绝对值为 4, 求二根及 k 的值. 此变式实质上与变式题 2 相同, 仅只语言叙述发生变化. 例 3　在△A B C 中, 已知∠A B C = ∠A CB ,B O 平分∠B , CO 平分∠C , 图 6中有几个等腰三角形? 解: 由角平分线定义及等腰三角形的判定可知有 2 个等腰三角形. 变式 11 在上题中再过O 作D E ∥B C 交A B 于D , 交A C 于 E , 此时图中共有几个等腰三角形? 如图 7, 由平行线的性质及角平分线定义、等腰三角形判定可知, 共有 5 个等腰三角形. 变式 21 取消原题中条件∠A B C = ∠A CB , 仍设B O 平分∠A , CO 平分∠C , 并作D E ∥B C , 如图 8. 图中有几个等腰三角形? 由平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的判定, 图 8 中有 2 个等腰三角形. 412　“一题多解”的变式 例 4　正方形的边长为 a , 以各边为直径在正方形内画半圆, 求所围成的图 形 (阴影部分) 的面积. [ 1 ] (P 1187) 分析: 根据对称性, 本题可用几何方法和代数方法解. 其一是阴影部分的 面积可视为 8 个全等的弓形, 根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积求 解; 其二是阴影部分的面积等于四个全等的半圆面积减去正方形面积; 其三是 用代数方法可设阴影部分面积为 4x , 空白部分为 4y , 列方程组求解. 法 1: S 阴 = 8 (S 扇 - S R t△) = 8 90õ Π360 õ ( a2 ) 2 - 12 õ ( a2 ) 2 = ( Π2 - 1) a2. 法 2: S 阴 = 2S 圆 - S 正 = 2õ Π( a2 ) 2 - a2 = ( Π2 - 1) a2. 法 3: 设每片叶形的面积为 x , 每个空白的面积为 y , 可得方程组 4x + 4y = a2, 2x + y = 18 Πa2, 解得 x = 1 8 Πa2 - 14 a2, y = 12 a 2 - 1 8 Πa2 , 从而 S 阴 = 4x = ( 12 Π- 1) a 2. ·04· 第 23 卷 昭通师范高等专科学校学报 2001 年 (总第 78 期) © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 例 5　 已知 △A B C 中, ∠A CB = 90°, CD 是高, CE 是角 C 的平分线. A C = 9cm , B C = 12cm , 求CD , C E 的长. 分析: 本题是求直角三角形的边长. 方法: (1) 所求CD 是R t△A CB 的斜 边上的高, 可用勾股定理和射影定理求出. 而 C E 是角平分线, 利用角平分线 的性质便得其解. (2) 可用勾股定理先求出A B , 再据三角形的面积 12 A B õ CD = 12 A C õB C 求出CD , 后同法 (1) 求C E 的长. (3) 构造平行线及等腰直 角三角形, 作B F ∥EC 交A C 的延长线于F , 由等腰直角三角形可求出B F , 再 由比例求CE. 求CD 同 (1) 或 (2). (4) 利用三角形的面积公式S = 12 absinA , 化为解方程的问题求解 (代入 S △A CE + S △B CE = S △A B C 得出方程). 解法略. 通过以上几个方面的阐述可见, 变式教学使学生在变化过程中掌握基础知识, 提高数学能力; 使学 生在变化过程中学会抓住事物的本质特征, 创造较活泼的课堂教学气氛; 使学生变被动学习为主动学 习, 扩大了学生的思维空间, 培养了学生的数学能力及创新意识. 参考文献 [1 ]人民教育出版社中学数学室 1 几何 (第三册) [M ]1 北京: 人民教育出版社, 19941 [2 ]人民教育出版社中学数学室 1 代数 (第三册) [M ]1 北京: 人民教育出版社, 19941 [3 ]燕琼芝, 杨晓黎 1 数学教育教程[M ]1 昆明: 云南民族出版社, 19951 [4 ]张一民 1 中学数学教法研究[M ]1 昆明: 云南教育出版社, 19971 ·14· 黄永 变式教学对数学能力的培养 第 3 期 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.