7-2化二次型为标准形

null第二节 化二次型为形第二节 化二次型为标准形 正交变换法 配第七章 二次型null一、问引入对于二次型 我们讨论的主要问题是：寻求一个可逆的线性变换 将二次型(7.3)化为标准二次型（或法式）,即nullnull从上可知，若能找到C使得CTAC为对角阵，则标准 形可得。这样就把二次型化标准形问题转化为对称矩阵与对角阵的合同问题。null二、正交变换法化二次型为标准型 二次型化标准形方法： 1、正交变换法 2、配方法nullnull3、求对应于各个特征值的n个标准正交的特征向量.4、求正交变换矩阵P (注意列向量的排列顺序，矩阵P不 唯一）二次型化标准形的基本步骤：1、写出二次型的矩阵null例7.4 用正交线性变换求二次型 的标准形，并求出相应的正交变换矩阵． （1）：二次型的矩阵为 （2）求A的特征值 A的特征值为 ． null（3）：求三个标准正交的特征向量null用Schmidt方法将其正交化再标准化.null(4)：求正交变换矩阵(5)做正交变换X=PY下，有注：1、 P不唯一 2、由正交变换得到的标准型中，平方项系数是A的特征值null思考 用正交线性变换求二次型 的标准形___________． 二次型的矩阵为 求A的特征值 A的特征值为 ． null三 配方法(用可逆变换化标准型)例7.5 两种方法区别： 　　１、配方法是一种可逆线性变换，正交变换法是正交变换。 　　２、配方法得到的标准型的平方项的系数与A的特征值无关，正交法得到的标准型的平方项的系数就是A的特征值结论：（笔记）　结论：（笔记）　1、二次型的标准形不唯一。2、正交变换x=Py中P不唯一。null例（笔记）已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换X=PY可化成标准形f=6y12 ，求a的值． 解：二次型f的矩阵 因为矩阵的对角线元素之和等于它的特征值之和，所以 ：３a=0+0+6，解得a=2null练习（补充）：已知实二次型 经过正交变换X=PY， 化成标准形 求：p与q的的值． 解题思路：本题含有两个参数，有一定的难度； 由Ａ、Ｂ正交相似得两个矩阵特征多项式相等， 从而求出p与q的值．nullA的特征多项式B的特征多项式null因为A与B正交相似，故 = 由此得 解之得 p=q=0． null配方法的步骤三 配方法null解null所用变换矩阵为注：配方法是一种可逆线性变换，不是正交变换。 所以平方项的系数与A的特征值无关null解由于所给二次型中无平方项，先用一个可逆 线性变换把f化为含有平方项的二次型，所以null再配方，得null所用变换矩阵为null配方法的步骤 2、若二次型中无平方项，先用一个可逆线性 变换把f化为含有平方项的二次型，再重复步骤1问题与思考问题与思考1、二次型的标准形是否唯一？2、正交变换x=Py中P是否唯一？四、本节课小结四、本节课小结化二次型为标准形的方法：1、正交变换法2、配方法null作业： P190 1（1）（3）；2 P195 1（2） P204 总习题7 4；