有理数

nullnullnull 主要大事包括： 1．有理数的由来 2．有理数的概念 3．有理数的运算 4．有理数的性质 1．有理数的由来1．有理数的由来　 1、古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 null 2、 关于有理数系的严格理论，可用如下建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 null 3、有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。 4、有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。 5、依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。 　2．有理数的概念　2．有理数的概念 有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。 有理数来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。 有理数包括： （1）整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 （2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。 （3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。 null3．有理数的运算3．有理数的运算 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： ①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c ； ③存在数0，使 0+a=a+0=a； ④乘法的交换律 ab=ba； ⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； ⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 null 有理数加减统一成加法的意义： 对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。 有理数加减混合运算的方法和步骤： （1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 null有理数巧算的方法： （1）、拆数重组法 （2）、裂项相消法 （3）、分组求和法 （4）、倒序相加法　4．有理数的性质　4．有理数的性质（1）、有理数具有封闭性，即有理数之间相互加 减乘除的结果也是一个有理数 （2）、有理数具有有序性，即任意几个有理数之间大于、等于、小于三者必居其一。 （3）、 两个有理数的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数 null