一种简易的基尼系数计算方法

一种简易的 基尼系数 计算方法 □文/施卫国 　　统计学家洛伦茨 ( M . Lo renz) 在研究居民收入分配 均衡程度时, 发现将居民人数累计百分比和居民收入累 计百分比联系在一起,可以揭示收入分配的公平程度。后 来, 人们将这种揭示社会分配均衡程度的曲线称为洛伦 茨曲线 (见图 1)。这条曲线利用两组变量值的累计百分 数之间的关系构成正方形。联接正方形的对角线,为收入 分配绝对公平线, 其直观的理解为: 占人口总数 10%的 家庭获得社会总收入的 10%比例; 占人口总数 20%的家 庭获得社会总收入的 20%的比例; ⋯⋯余此类推, 说明 社会收入的分布绝对的均衡配置。而在公平线的对角周 围有一个不均衡分配区, 它说明占人口总数的绝大比重 人口仅获得占收入比重较少的收入, 反映收入配置的不 公平。洛伦茨曲线是反映收入及其资源配置均衡程度重 要量度的一种工具。它是对税收政策、财政政策、价格杠 杆等一系列调节收入政策的效应测度及分析的有效工 具, 是社会经济统计分析中的常用方法。 意大利统计学家基尼 ( G ini) 根据洛伦茨曲线提出计 算收入分配公平程度的系数,又称基尼系数。作为测度居 民收入分配的非均衡性的方法以及被作为联合国规定的 社会经济发展指标之一, 基尼系数是被人们普遍接受的 并行之有效的方法。 　　第四, 计算经济集约度指数。由前述公式和表二 数据, 可求出江苏省 1985- 1995年各年的经济集约 度指数 (见表三)。 　　　　　　　表三 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Ei ( % ) 77. 1 70. 8 70. 2 74. 8 68. 7 68. 3 71. 7 77. 7 80. 6 81. 0 83. 7 　　从表三列示的数据可以看出, 江苏经济集约化 的总体趋势是上升的, 1986- 1995年集约度指数共 上升 7. 6个百分点, 显示出近年来江苏粗放型经济 增长方式有所改观, 集约因素对经济增长的作用正 逐步增大。但从变动趋势分析, “七五”时期江苏经 济集约化程度较低, 1990 年集约度指数比 1985年下 降 8. 8 个百分点, 其间除 1988年集约度指数有所好 转外, 其余 4 年均呈逐年下降之势; 而 “八五”时期, 江苏经济集约化水平逐年上升 , 1995年与 1990年相 比, 集约度指数共上升 15 个百分点, 表明“八五”时 期江苏经济集约化水平提高较快。 进一步对系统内各影响因素的变动情况观察, 促成江苏经济集约化水平提高的指标有人均 GDP、 能源产出率、贷款利用效益和每万人拥有技术人员 数等四个指标, 1985- 1995 年分别年递增 12%、10. 7%、0. 6%和 6. 9% , “八五”时期该四个指标值的 增长速度明显快于 “七五”时期。制约经济集约化水 平提高的指标则是中间投入率、投资效果系数、更改 投资比重和资金利税率, 1985 年到 1995年, 全省中 间投入率由 60. 3%上升到 71. 9% , 投资效果系数 年递减 5. 1% , 每百元资金实现的利税年递减 11. 6% , 更改投资比重一直徘徊在 12- 14%左右。这说 明, 江苏经济要全面提高整体素质和效益, 必须积极 推进经济增长方式由粗放型向集约型转变, 调整和 优化产业结构, 全面提高科技进步对经济增长的贡 献份额, 进一步提高固定资产的投资效率, 强化企业 管理, 使全省经济真正步入良性循环的轨道。 (责任编辑: 薛金龙) —16— 　应用研究　　 　 《江苏统计》1997. 2 　　目前, 计算基尼系数的方法多种多样, 大致可分 为三类, 第一类为三角形面积法, 将曲边三角形的面 积近似为直角三角形面积 , 通过求几何面积的方法 求解; 第二类将洛伦茨曲线拟合为各种近似的函数 曲线, 利用定积分方法求该函数曲线下的面积, 最后 求得基尼系数数值; 第三类是将 SA的面积近似为弓 形面积, 利用求弓形面积的方法, 求得基尼系数数 值。上述三类方法都是近似计算法, 求解上难易程度 各不相同。实用中尤以第二类方法的曲线最佳拟合 形式难度较大, 实用效果不好。第三类方法则因计算 结果精度不够, 在应用中受到限制。第一类方法因为 计算公式复杂难记, 在应用中受到推广和普遍使用 的局限性, 为此 , 笔者经反复推算, 根据第一类方法 原理, 提出一种简便易记易用的最简捷计算基尼系 数的计算公式, 便于一般统计工作者掌握和使用。 图 2　三角形面积示意图 由图 1、2 可知, 基尼系数的一般计算公式为: G= SA SA+ SB , 0≤G≤1 ( 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 由( 1)式可知, 当SA = 0时 , 洛伦茨曲线与绝对平均 线重合, G= 0, 表示收入分配绝对平均; 当 SA= 12 , 洛伦茨曲线与绝对不平均线重合时, G= 1, 表示收入 分配绝对不平均。 当横、纵坐标均以 1 为单位时, OC �对角线以下 的 SA 和SB 之和为 12 , 即 SA+ SB= 1 2 , 故 G 值亦为: G= 2SA ( 2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 　　求基尼系数的本质转化为求面积 SA 或 SB ( SB= 1 2 - SA ) 的问题。三角形面积法的计算思路如图2 中 的阴影三角形的面积为 1 2 ( x i- Xi- 1) · ( yi- yi- 1) , 所有这些三角形面积之和: S△= ∑n i = 1 1 2 ( x i- x i- 1) · ( yi- yi- 1) 令 Pi= ( x i- xi- 1) , I i= ( y i- yi- 1) 则: S△= ∑n i = 1 1 2 PiIi= 1 2 ∑n i = 1 PiIi 然后, 计算上述三角形以上部分的矩形面积: S � = ∑n i = 1 ( x i- x i- 1) · ( 1- Y i) = ∑n- 1 i = 1 Pi ( 1- Yi)。 最后, 从 S△和 S � 之和的面积中减去对角线以上的三 角形面积, 即 1/ 2, 则 SA的面积为: SA= S△+ S � - 12 = 1 2 ∑n i = 1 P iI i+ ∑n- 1 i = 1 P i ( 1- yi) - 1 2 ( 3)⋯⋯⋯ 由 ( 3) 式可得基尼系数值为: G= 2SA= ∑n i = 1 PiIi+ 2∑n- 1 i = 1 Pi ( 1- y i) - 1 ( 4)⋯ 以 ( 4) 式计算 G 值较为复杂且难以记忆, 实用中存 在局限性, 笔者对 ( 4) 式作简化推导得: G= ∑n- 1 i = 1 ( x iyi+ 1- x i+ 1y i) ( 5)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 以 ( 5) 式计算基尼数数值, 是最为简便实用且易于 记忆的计算方法。 例如, 某地居民收入分配以收入多少分组后形 成如下累积相对次数见下表: 年收入分组 (元) 1800以下 18003000 30005000 5000010000 1000020000 2000030000 3000050000 50000以上 ( x i) 累积人口百分比 ( % ) 6 15 33 60 76 87 95 100 (y i) 累积收入百分比 ( % ) 1 4 15 35 60 75 98 100 —17— 　应用研究　　 简捷式与式回归系数的数量关系 □文/唐建荣 (一) 最小二乘法或称最小平方法, 是理论界倍受推 崇的统计估计方法。一般认为, 由最小二乘法拟合的 曲线是最理想的趋势线。该趋势线满足以下二条件: ( 1) 原数列与趋势线的离差平方和最小, 即: ∑ ( Y�t- Y t) 2= min; ( 2) 原数列与趋势线的离差和为零, 即: ∑ ( Y�t- Y t) = 0。 据此性质我们可以实现不同趋势模型参数的有 效估计。 以直线趋势模型 Y t= a+ bx 为例, 根据最小二 乘法性质和微分极值原理易估计到参数 a、b 的值为: b � = [ n∑XY - ∑X∑Y ] / [ n∑X2 - ∑2X] ( 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a�= y�- bx� 公式 ( 1) 即是回归系数 b 标准估计式。对于等 距时序的动态数列, 应用其等距性, 可作以下变换: x′= k [ x- 1 2 ( x1+ x n) ] 式中 n 为奇数时, k= 1; n 为偶数时, k= 2; 则 参数估计简捷式为: b �′= ∑X′Y/∑X′2 ( 2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a�′= y 显然, 简捷式计算的实质,即是 y 轴的向右平移, 其结果一方面使 a、b 参数的估计过程尽可能地得以 简化; 另方面亦保证了平移前后估计值 y�t 的一致性。 (二) 简捷式的有效性是不容置疑的, 其实践的广泛 性即是明证。简捷式具有以下性质: ( 1) ∑X′= 0; ( 2) 模型的趋势性不变; ( 3) b �′= b� (当 n= 2m+ 1 时) 或 b�′= 12 b� (当 n = 2m 时)。 ( 1)、( 2) 性质已为统计工作者熟知, 一般统计学书 藉上亦作了说明。性质 ( 3) 则长期为人们所忽略。笔 者在长期的统计教学实践中发现, 性质 ( 3) 的认识 不仅有助于简捷法的理解, 而且亦有助于对最小二 乘法的把握。 　　应用第 ( 5) 式计算: G = ∑n- 1 i = 1 ( x iyi+ 1- x i+ 1yi ) = ∑n- 1 i = 1 x iyi+ 1- ∑n- 1 i = 1 x i+ 1 yi = ( 0. 06×0. 04+ 0. 15×0. 15+ 0. 33×0. 35+ 0. 6×0. 6+ 0. 76×0. 75+ 0. 87×0. 98+ 0. 95× 1) - ( 0. 15×0. 01+ 0. 33×0. 04+ 0. 6×0. 15) + 0. 76×0. 35+ 0. 87×0. 6+ 0. 95×0. 75+ 1×0. 98) = 2. 873- 2. 5852= 0. 2878 从上例计算可以了解基尼系数的数值计算可以 归结为两组相对累积次数变量值 ( x i和 yi) 的对角斜 乘积和之差, 这种计算方法简便宜记, 便于推广, 是 实用中较便利的一种计算方法。只要我们正确掌握 收入分组的方法, 就可运用家计调查资料直接求得, 简捷便利、方法灵活。 (责任编辑: 薛金龙) —18— 　应用研究　　 　 《江苏统计》1997. 2