统计学重要公式[1]

统计学重要 ( ) ( ) D 2 2 2 2 1 . X X 2. N 3. Q 4. 1 (2) S 1 U L i i X n IQR Q Q X N X n μ μσ μ = = = = − −= −= − ∑ ∑ ∑ ∑ 样本平均数： 总体平均数： 四分位差： 方差： （ ）总体方差： 样本方差： 2 2 5. 1 2 S S 6. 100% 100% 100% CV SCV X σ σ σ μ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 标准差： （）总体标准差： （ ）样本标准差： 变异系数 标准差总体： 平均数 样本： ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 12 1 1 1 1 1 1 7 . ( ) , 8 . ( , ) 1 9 . , , , i i i i i i X Y X Y X Y X Y X Y X X Y Y n in n i X X i i i i n n i in n i i X Y i i i i i i Y Y i X X XZ Z Z S X X Y Y C o v X Y S n S Lr S S L L X L X X X n X Y L X X Y Y X Y n L Y μ σ = = = = = = = − −= = − −= = − = = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝= − − = − = − ∑ ∑∑ ∑ ⎞⎟⎠∑ ∑∑ ∑ 标 准 分 数 分 数 或 样 本 协 方 差 皮 尔 逊 相 关 系 数 ( ) 2 2 12 1 1 1 1 , , n in n i i i i n n i i i i Y Y Y n X Y X Y n n = = = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = = ∑∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 . X 1 1 . X 1 2 . S 1 1 3 . ! 1 2 1 , ! ! 1 2 , ! , ! ! ! i i i i i i i i m n m m n n m n m n n W X W F X F F X X n nP n n n n m m n n P nC m m n m C C − = = −= − = = − − ⋅ ⋅ ⋅ − + = × × ⋅ ⋅ ⋅ × = = − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 加 权 平 均 数 分 组 数 据 样 本 平 均 数 分 组 数 据 样 本 方 差 排 列 组 合 公 式 n i i 1 14. ( ) 1 ( ) 15. P(A B) P(A) P(B)-P(A B) P(A B) P(A B)16. P(A|B) , P(B|A) ( ) ( ) 17. P(A B) ( ) P(A|B) ( ) P(B|A) 18. P(A B) ( ) ( ) 19. P(B) ( ) P(B|A ) 20. i P A P A P B P A P B P A P A P B P A = = − ∪ = + ∩ ∩ ∩= = ∩ = ⋅ = ⋅ ∩ = = ⋅∑ 事件补的概率 加法公式 条件概率 公式 独立事件 全概率公式 贝叶 i ii n j j 1 ( ) P(B|A ) ( ) P(B|A ) P(A |B) P(B) ( ) P(B|A ) i i j P A P A P A = ⋅ ⋅= = ⋅∑ 斯公式 ( )22 2 21. ( ) ( ) 22. ( ) ( ) 23. ( ) , 0,1, 2,..., , 1 24. ( ) , ( ) (1 ) 25. ( ) ! ! 27. ( ) x x n x n x x x n x r N r E X xp x Var X x p x p x C p q x n q p E X np Var X np p e ep x x x C Cp x C μ λ μ σ μ μ σ μ λ − − − − − = = = = − = = = − = = = = = = ⋅= − ∑ ∑ 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的方差 二项分布的概率函数 二项分布的数学期望和方差 泊松分布 超几何分布 ( )2 22 , 0 128. ( ) 2 29. n N x x r f x e xZ μ σ πσ μ σ −− ≤ ≤ = −= 正态概率密度函数 标准正态分布变换 30. X : ( ) , 1 31. : ( ) , (1 ) 1 (1 ) X X P P E X N n N n n P E p p N n p p N n p p n μ σσ σσ σ σ = − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ = = ⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ −= ) ) ) ) 的数学期望和标准差 有限总体时 无限总体时 比例 的数学期望和标准差 有限总体时 无限总体时 2 2 2 2 2 2 2 2 32. : 33. (1) : , (2) : , (3) , , , (4) , , 34. : X X Z n SX Z n X Z n SX t n Z n α α α α α μ μ σ σμ − ± ± ± ± = Δ 估计 时的抽样误差 总体均值的区间估计 大样本且方差已知 大样本且方差未知 总体正态小样本方差已知 总体正态小样本方差未知 估计 时所需的样本容量 σ 2 2 2 2 0 0 0 (1 )35. (1 ) 36. 37. : : , / : / 38. : , 1 / 39. : (1 ) p pP p Z n Z p p p n XZ n XZ S n Xt df S n p pZ p p n α α μ σ μ μ −± ⋅ −= Δ −= −= − n= = − −= − ) )) ) ) ) 总体比率 的区间估计 的区间估计时所需的样本容量 大样本总体均值的检验统计量 方差已知 方差未知 小样本总体均值的检验统计量 总体比率检验统计量 ( ) ( ) ( )1 2 2 2 22 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 40. : , 41. , : : ( ) , X X Z Z n Z Z X X X X E X X n n α β α α σ μ μ μ μ σ σσ − −= − − − − = − = + 总体均值的单侧检验中所需样本容量 用 代替 即为双侧检验的公式 独立样本时 两个总体均值之差的点估计量 的期望值与标准差 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 42. : (1) ( , 30), , : (2) , , 1 1, ( (3) , X X X X X X X X X X X X n n X X Z S SS n n X X Z S X X n n n n X X t S α α α σ σ σ σ σ σ σ σσ σ σ σ − − − − − − ≥ − ± = + − ± = − = + = + − ± 两个总体均值之差的区间估计 大样本 已知 的点估计量为 大样本 未知 时 的标准差 小样本 正态 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 43. X (1) Z , X (2) , 1 1 (3) 44. : (1 ) (1 ) (1 ) p d d p p X n n X t S n n dt S n p p p p E p p p p p p p p p p p n n n μ μ σ σ μ μ μ σ − − − −= + − − −= ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ −= − − − = − − − −= + = +) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 两个总体均值之差的假设检验统计量 大样本 小样本 相关样本 两个比率之差的点估计量 的期望值与标准差 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 (1 ) (1 ) (1 ): p pp p p n p p p pS n n σ −− − − −= +) )) ) ) ) ) ) ) 的点估计量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 45. : , (1 ), , (1 ) 5 , 46. : : 1 1: (1 ) p p p p p p p p n p n p n p n p p p Z S p p p p Z n p n pp n n p p S p p n n α σ σ − − − − − − ≥ − ± − − −= += + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) 两个总体比率之差的区间估计 大样本 时 两个总体比率之差的检验统计量 总体比率合并估计 时 的点估计量 − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 / 2 ( 1 / 2 ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 7 . : 1 4 8 . : 4 9 . : 5 0 . : , 1 5 1 . : : k i i i i i j i j i j i j j i j n S n S n S SF S f e d f k e R T C T i je n f e e α α σχ χ χ σ χ χ − = − −≤ ≤ −= = −= = × ×= = −= ∑ 一 个 总 体 方 差 的 区 间 估 计 一 个 总 体 方 差 的 检 验 统 计 量 两 个 总 体 方 差 的 检 验 统 计 量 拟 合 优 度 检 验 统 计 量 独 立 假 设 条 件 下 列 联 的 期 望 频 数 第 行 之 和 第 列 之 和 样 本 容 量 独 立 性 检 验 统 计 量 ( )( ), 1 1 i d f R C= − −∑ ∑ − ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 5 2 . : , : , 1 : , 1 : , 1 : ( ) : , : 1 j j j n i j i j j n i j j i j j nk i j k j i t t j jt k j j t j t k j j j K X X n X X S n X X n n n S S T RM S T R k S S T R n X X S S EM S E n k S S E n S k = = = = = = = = − = − = =− = − = − = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 检 验 个 均 值 的 相 等 性 第 ｊ 个 处 理 的 样 本 均 值 第 ｊ 个 处 理 的 样 本 方 差 总 样 本 均 值 处 理 均 方 处 理 平 方 和 误 差 均 方 误 差 平 方 和 个 均 值 相 等 检 ( )2 1 1 i : : : : X L S D : t 1 1 jnk i j t j i j i j M S T RF M S E S S T X X S S T S S T R S S E X F i s h e r M S E n n = = = = − = + −= ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ 验 统 计 量 总 平 方 和 平 方 和 分 解 多 重 比 较 方 法 的 检 验 统 计 量 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 . 1 2 . 1 2 2 5 4 . : : , 1, : , 1, : , 1, : , 1 : : , : k a t i j t t t j i k b j t b j a r i t r i e t b r e i j t i j t i b S S X X d f n S S a X X d f k S S k X X d f a S S S S S S S S d f k a X S S X d f a k a k X S S = = = = = − = − = − = − = − = − = − − = − − = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ 随 机 化 区 组 设 计 总 平 方 和 处 理 平 方 和 区 组 平 方 和 误 差 平 方 和 求 平 方 和 的 另 一 种 方 法 总 平 方 和 处 理 平 方 和 ( ) 1 1, ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 , 1 : , : , 1 j i j b i j i j r r e t b r e X d f k a a k X X S S d f a k a k S S S S S S S S d f k a , 1, 1 − = − = − = = − − = − − ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑区 组 平 方 和 误 差 平 方 和 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 2 1 1 1 2 . 1 2 . 1 2 . . 1 1 55. : : , 1 : , 1, : , 1, : , : , a b r ijk t t t i j k a i t A i b j t B j a b ij i j t AB i j e SST X X df n A SSA br X X df a B SSB ar X X df b SSAB r X X X X df a b SSE SST SSA SSB SSAB df a = = = = = = = = − = − = − = − = − = − = − − + = − = − − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 析因试验 总平方和 因子 平方和 因子 平方和 交互作用平方和 误差平方和 ( 1)br ab ab r− = − )1 1− ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 2 1 2 2 0 1 5 7 . : : : : m in : , i i i i i i i y x E y x y b b x y y x y x y nb x x n b y b x β β ε β β = + + = + = + − − = − = − ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ) ) 简 单 线 性 回 归 模 型 简 单 线 性 回 归 方 程 估 计 的 简 单 线 性 回 归 方 程 最 小 二 乘 法 估 计 的 回 归 方 程 的 斜 率 和 截 距 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 : : : : ( ) : : ( ) : i i i i i i i i i i i i i i x y S S T S S R S S E S S E y y y S S T y y y n X S S R y y b X n X Y X Y n X X n S S RR r S S T r b b r S Mσ = + = − = − = − ⎡ ⎤⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= − = = = = = ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ) ) 平 方 和 分 解 误 差 平 方 和 总 平 方 和 回 归 平 方 和 判 定 系 数 决 定 系 数 样 本 相 关 系 数 的 符 号 判 定 系 数 的 符 号 均 方 误 差 的 估 计 量 2 : 2 S S ES E n S S ES M S E n = − = = −估 计 量 的 标 准 误 差 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 0 0 2 2 0 0 / 2 0 : : : : 1 : 1: ( ) : 1: 1 b i i b i i b y i i y y y b X X n Sb S X X n bt t S SSR SSRMSR SSR MSRF F MSE X X y S S n X X n E y y t S X X S S n α σσ − = − = − = = = = = −= + ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ± ⋅ −= + + ∑∑ ∑∑ ∑∑ ) ) ) ) ) 的标准差 的估计的标准差 统计量 回归均方 自变量的个数 检验统计量 的估计的标准差 的置信区间估计 一个个别值估计的标准差 ( ) 0 0 2 2 2 0 0 / 2: i i y y X X n y y t Sα − ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ± ⋅ ∑∑ ) )的预测区间估计 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 58. : : : : min , , : : 1: 1 1 1 : : 1 p p p p i i a y x x x E y x x x y y SST SSR SSE SST SSR SSE SSRR SST nR R n p SSRMSR p SSEMSE n p F β β β β ε β β β β = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + − = + = −= − − ⋅ − − = = − − ∑ ) 多元线性回归模型 多元回归方程 估计的多元回归方程 最小二乘法 之间的关系 多元决定系数 修正的多元决定系数 回归均方 误差均方 检 : : i i b MSRF MSE bt t S = = 验统计量 检验统计量