线性方程组解的存在唯一性

null§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null  掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。  理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。  熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。 本节要求/Requirements/null5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/一阶微分方程组初值条件§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null一阶线性微分方程组…(5.1)§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null……….(5.2)……(5.3)………….(5.4)§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null 可定义矩阵与向量函数在区间连续:连续。在区间可微:可微。在区间可积:可积。在区间§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null上的连续 维向量，方程组上连续且满足定义1设是区间上的连续矩阵，是区间………….(5.4)在某区间的解就是向量在区间§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null定义2初值问题(Cauchy Problem)………….(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含使得§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null例1 验证向量是初值问题 在区间上的解。解因此 是给定初值问题的解。§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例1令解§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null满足解构造向量§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null解满足§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null令§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null………(5.6)等价………(5.7)§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null例2令将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null例3将下列方程组化为高阶方程解注意：不是所有方程组都可化为高阶方程§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null5.1.3 存在唯一性定理初值问题(Cauchy Problem)………….(5.5)§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null定理1f (t)是 n 维列向量，上连续，则对于区间上的任何数及任一常数向量方程组(5.5)存在唯一解定义于整个区间上，且满足初始条件如果矩阵，它们都在区间§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数称为(5.4)的第 k 次近似解。§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null例4求方程组的初值问题的二次近似解。解令§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null5.1.4 简单方程组的消元法例5 求解方程组解关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null方程组的解为§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null例6 求解方程组解：保留一个未知函数 x，消掉另一个未知函数 y§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null另外，由方程组的解为§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null练习：2 求方程组的初值问题 的二次近似解。1 P.184 2 (b)§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs null作业：P.184 第2 (c), 3题。3 求下列方程组的解§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs