2.2 连续型随机变量

西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 2.2 连续型随机变量 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 1.连续型随机变量的概率密度 例1 为了研究某种零件的长度，我们从大批零 件中，随机地抽取500件，测得零件长度的 500个数据（数据略）。假如这批数据都落 在96cm～104cm这个范围内。将这批数据分 为8个组，组距（组上限－组下限）为1。 得频数与频率统计如下： 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 组 频 数 频 率 96～97 6 0.012 97～98 25 0.050 98～99 72 0.144 99～100 133 0.266 100～101 120 0.240 101～102 88 0.176 102～103 46 0.092 103～104 10 0.020 总 计 500 1.000 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 为了直观， 我们利用上表的 数据，将统计表 画成频率直方图 所谓频率直 方图就是以组距 为底，以（频率/ 组距）为高所作 的长方形组。 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 频率直方图有三个特点： ⑴ 每个小长方形的面积恰好等于该组的频率； ⑵ 因为各组频率的总和为1，所以，直方图中 所有小长方形的面积总和等于1； ⑶ 介于任何两条直线 之间的面积 近似地等于样品的长度落入区间 内的 频率。 为了能更精确地反映零件长度的统计规律， 抽样个数要更多，同时组要分得更细。当抽样 个数无限增大，同时组距不断缩小并趋向于零 x a x b= =与 ( )a b， 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 时，这个直方图的顶部的台阶型曲线就无限趋 向于一条光滑曲线 ( )y xϕ= 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 由曲线 的形成过程可以看出: 位于 曲线的下方，x 轴上方的整个面积等于1；而在 区间 上曲线 下的面积恰好为长度 落在 上的概率。 由上面讨论可知，对于随机变量 X，可找 到一个函数 ，使得 X 落在任何区间 上的概率 且有 我们就可以利用函数 来描述随机变量 X 的概率分布。 ( )y xϕ= [ ]a b， ( )y xϕ= [ ]a b， ( )xϕ [ ]a b， ( ) ( )d b a P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫ ( ) 0xϕ ≥ ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫ ( )xϕ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 定义1 设X是随机变量，如果存在定义在 上的非负可积函数 ，满足条件： ⑴ ⑵ 对任意 都有 则称X为连续型随机变量，称 为 X 的概率 密度函数（简称概率密度）。 从几何上看，连续型随机变量 X 落入某一 区间 上的概率恰好等于 上的曲边梯 形的面积。 (−∞ + ∞， ） ( )xϕ ( ) 0xϕ ≥ ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫ ( )a b a b<， ( ) ( )d b a P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫ ( )xϕ [ ]a b， [ ]a b， 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 在式 中，令b = a 得 连续型随机变量取任一特定值的概率等于零。 应当说明的是，概率为 0 的事件未必一定 是不可能事件。 即在计算连续型随机变量 X 落入某一区间的概 率时，不必考虑是否包括区间端点。 ( ) ( )d 0 a a P X a x xϕ= = =∫ ( ) ( )d b a P a X b x xϕ≤ ≤ = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d b a P a X b P a X b P a X b P a X b x xϕ < < = ≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = ∫　　　　　　 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 如果 在 x 点处连续，则 可见,概率密度的定义与物理学上细棒的线密度 的定义相似,这就是“概率密度”名词的来源。 ( )xϕ 0 0 0 ( )d( )lim lim ( )lim ( ) x x x x x x x xP x X x x x x x x x ϕ ϕ ξ ϕ +Δ Δ → Δ → Δ → ≤ ≤ + Δ =Δ Δ Δ= =Δ ∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 由式 知，当 充分小时，有 可见，概率密度的值反映了随机变量取 x 临近 值的概率的大小。概率密度的值越大的地方， 随机变量落在它附近的概率就越大。因此，利 用概率密度来描述连续型随机变量与利用分布 律来描述离散型随机变量是极为相似的。 0 0 ( )d( )lim lim ( ) x x x x x x xP x X x x x x x ϕ ϕ +Δ Δ → Δ → ≤ ≤ + Δ = =Δ Δ ∫ xΔ ( ) ( )P x X x x x xϕ≤ ≤ + Δ ≈ Δ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 例2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 求：⑴ 常数C； ⑵ 。 解 ⑴ 由概率密度的性质 ，得 即有 。于是， X 的概率密度为 ( ) ( )e xx C xϕ −= ∈ −∞ + ∞， ( 0) (0 1) ( 1)P X P X P X< < ≤ >， ， ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫( )0 01 ( )d e d e d e d 2x x xx x C x C x x Cϕ+∞ +∞ +∞− −−∞ −∞ −∞= = = + =∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 C = 1( ) e ( ) 2 xx xϕ −= ∈ −∞ + ∞， 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 ⑵ 0 0 ( 0) ( )d 01 1 1e d e 2 2 2 x x P X x x x ϕ−∞ −∞ < = = = =−∞ ∫ ∫　　　　 1 1 0 0 1 0 1(0 1) ( )d e d 2 1 e 0.31606 2 x x P X x x xϕ − − < ≤ = = = − = ∫ ∫ 1 1 1 1( 1) ( )d e d 2 1 1e e 2 1 2 x x P X x x xϕ+∞ +∞ − − − > = = +∞= − = ∫ ∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 2.几种常用的连续型随机变量 ⑴ 均匀分布 定义2 如果随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从区间 上的均匀分布。记为 。 对于任意的 ，有 1 ( ) ( ) 0 a x b x b aϕ ⎧ ≤ ≤⎪= −⎨⎪⎩ ， ， 其它 [ ]a b， ~ [ ]X U a b， ( )c d a c d b≤ < ≤， 1( ) d d c d cP c X d x b a b a −≤ ≤ = =− −∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 即 X 在区间 内任一小区间取值的概率与 该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体 位置无关。这就是均匀分布的概率意义。 例3 公共汽车每10分钟按时通过某一车站，一 乘客在任一时刻到达车站。求他等车的时间 在3到6分钟的概率。 解 设 X 表示他等车的时间，则 X 的概率密度为 于是 [ ]a b， [ )~ 0 10X U ， 1 0 10 ( ) 10 0 x xϕ ⎧ ≤ <⎪= ⎨⎪⎩ ， ， 其它 6 6 3 3 1 3(3 6) ( )d d 10 10 P X x x xϕ≤ ≤ = = =∫ ∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 ⑵ 指数分布 定义3 如果随机变量 X 的概率密度为 则称X服从参数为 的指数分布。记为 指数分布的无记忆性：设 ，则对于任 意的 ，有 这一性质称为指数分布的无记忆性。 e 0 ( ) 0 0 0 x x x x λλϕ λ −⎧ ≥= >⎨ <⎩ ， ， λ ( )X E λ∼ 0 ( )d e d 1xx x xλϕ λ+∞ +∞ −−∞ = =∫ ∫ 0 0s t> >， { } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥ ( )X E λ∼ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 证明： 而 所以有 { } { }{ } { } { } ( ) ( )( ) | ee d e d e e e e x x s t x x s s t t s P X s t X s P X s t X s P X s xP X s t s t P X s x s λλ λ λ λ λ λ λ λ −+∞ − + +∞ − − − + − − ≥ + ≥≥ + ≥ = ≥ + ∞−≥ + += = = + ∞≥ − = = ∫ ∫ { } e d ex t t P X t xλ λλ+∞ − −≥ = =∫ { } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 如果 X 表示某一电子元件的寿命，则式 表明：在已知元件已经使用了s小时后，它还能 继续使用 t 小时(总共能使用 s+t 小时)的条件概 率，与从开始算起它能使用t 小时的概率相等。 (永远年轻) 指数分布在实践中有着广泛的应用。有许 多“寿命”分布，如电子元件的寿命，动物的寿 命，电话的通话时间，随机服务系统的服务时 间等都服从指数分布。 { } { }|P X s t X s P X t≥ + ≥ = ≥ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 例4 已知某电子管的寿命 X（小时）服从指数 分布，其概率密度为 求这种电子管能使用1000小时以上的概率。 解 所求概率为 10001 e 0( ) 1000 0 0 x xx x ϕ − ⎧ >⎪= ⎨⎪ ≤⎩ ， ， 1000 1000 1000 1 1( 1000) e d 1000 e 1000 e 0.368 x x P X x +∞ − − − ≥ = +∞= − = = ∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 ⑶ 正态分布 (Gauss分布) 定义4 如果随机变量 X 的概率密度为 其中 为常数。则称 X 服从参数为 的正态分布。记为 证 令 得 2 2 ( ) 21( ) e 2 x x x μ σϕ πσ −− = − ∞ < < +∞， ( 0)μ σ σ >， μ σ， 2~ ( )X N μ σ， ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫ xy μσ −= 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 则 由于 ，故有 。 正态分布的概率密度曲线是一条以 x 轴为 渐进线，以直线 为对称轴的钟形曲线。 当 时，密度函数取得最大值。当 变化 时，曲线的形状也不同。 越小，曲线越陡峭, 越大，曲线越平坦。σ 2 2 2 22 2 2 0 0 1 1I e d d e d d 1 2 2 x y r x y r r π θπ π ++∞ +∞ +∞− − −∞ −∞= = =∫ ∫ ∫ ∫ I 0> I ( )d 1x xϕ+∞−∞= =∫ x μ= x μ= σ σ 2 2 2 ( ) 2 21 1I ( )d e d e d 2 2 x y x x x y μ σϕ πσ π −− +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞= = =∫ ∫ ∫ 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 当 时对应的分布称为正态 分布。记为X～ 。这时，概率密度为 0 1μ σ= =， (0 1)N ， 2 21( ) e 2 x x xϕ π − = − ∞ < < +∞， 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 标准正态分布的概率密度函数 是偶 函数，其图形关于y 轴左右对称。在 处 取得最大值 ，曲线以 x 轴为其水平渐 近线。 ( )xϕ 0x = 1 2π 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 ⑷ 分布 定义5 如果随机变量 X 的概率密度为 其中 。则称 X 服 从 分布，记为 X～ 可以验证： 分布含有 两个参数，参数 决定其 密度函数的曲线形状。 Γ 1e 0 ( ) ( ) 0 0 xx x x x α α ββ ϕ α − −⎧ >⎪= Γ⎨⎪ ≤⎩ ， ， 1 0 0 0 ( ) e dxx xαα β α +∞ − −> > Γ = ∫， ， Γ ( )α βΓ , ( )d 1x xϕ+∞−∞ =∫ Γ α β, α 西安理工大学 http://www.xaut.edu.cn 概率论与数理统计 特别地， 当 时， 分布就是指数分布; 当 时， 就是自由度为 n 的 分布。 1 2 2 nα β= =， 1 2 2 n⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠， 2 ( )nχ 1α = Γ 2.几种常用的连续型随机变量