磁场的能量和能量密度

1 1 上次课回顾 一. 似稳条件 二 . 似稳电路方程 1. 单一闭合回路 2. 多回路似稳电路 基尔霍夫第一定律 第二定律 三. 暂态过程 三种典型(LR、RC、LRC)电路的暂态过程 §7.4 似稳电路和暂态过程 2 第八章 静磁能 本章主要研究电流分布和磁化介质中储存的能量。 学习本章可与第三章类比进行： 在第三章,研究了在电荷分布和极化介质中储存的静 电能,发现静电能就储存在该带电系统所产生的静电场中。 在本章将:在电流分布和磁化介质中储存的静磁 能,而且静磁能就储存在该电流系统所产生的磁场中 3 本次课主要内容 一. 一个线圈的静磁能(称作自感磁能) 二. 两个线圈的总静磁能(自感磁能+互感磁能) 互感磁能 总静磁能 三．N个载流线圈系统的静磁能 四. 磁场的能量和能量密度 以螺线管为例 五．载流线圈在外磁场中的静磁能 1. 一个载流线圈在外磁场中的静磁能 2. N个载流线圈在外磁场中的静磁能 §8.1 磁场的能量和能量密度 4 §8.1 磁场的能量和能量密度 回顾：在第三章中,介绍了电容器充电后能储存一定的电 能,即当电容器两极板之间的电压为u时,电容器所储 存的静电能为 2 2 1CuWe = 我们已经讨论了自感和互感,自然会提出一个问 题:在电感元件中是否也有能量储存?如果有的话, 以什么形式储存? 5 一、一个线圈的静磁能(称作自感磁能) 另外,当K接2,电源已经不起作用,这时回路中的电流 i下降.在这一过程中,自感电动势作了正功,变成了电阻中 的焦耳热.这一部分能量又是从哪儿来的呢? 在LR电路中,开关K接1，电流i增加, 这时电源电动势克服自感电动势作功.这 就是说,电源所作的功,一部分在电阻上变 成了焦耳热,而一部分克服自感电动势作 功.那么这一部分功跑到哪儿去了呢? 唯一可能:在K接1建立电流过程中,电源克服自感电动势 作功,这部分能量储存在自感线圈内； 当K接2时,正是这部分能量变成了回路中电阻 的焦耳热. 以上只是定性的分析，下面来定量计算 6 1. 计算在建立电流i过程中电源所作的功 dt diLiRiRL +==+ εεε 得由 电源所作的功为：时，当 0 Ttt =→= ∫∫ ∫∫∫ ∫ +=+=+== TT TiT T RdtiLiRdtiLidiRiidtidtdtdiLidtA 0 2 0 2 0 2 00 0 2 1 ε 电流在电阻上作的功中，表示 0 0 2 TRdti T →∫ 的功中克服自感电动势所做表示电源在 TLi →0 2 1 2 2 7 由此可见,电源所供给的能量,一部分转化为焦耳热, 另一部分用于反抗自感电动势作功,这将是另一种形式的 能量改变的量度 2. 计算断开电源时回路所放出的热量 当切开电源时,电流由稳定值i减小到0, 线圈中产生与电流方向相同的感应电动势.线 圈中原已储存起来的能量通过自感电动势作功 全部释放出来. 自感电动势在电流减少的整个过程中所作的功： 0, ;,0 2 1' 0 2 0 ==== =−=−== ∫ ∫∫ iTtiit LiLidiidt dt diLidtA T o i T L ：注意积分上下限的变换 ε 8 小结 当放电时,这部分能量又全部释放出来,称其为自感磁能. 该公式与电容器的电能公式在形式上极为相似: 2 1 2 1 2 QuCuWe == 从以上分析可以看出,在一个自感系数为L的线圈中,建 立强度为i的电流,线圈中储存的能量为： Li iLiAW m mm =Φ Φ=== 其中用了 2 1 2 1 2 9 二. 两个线圈的总静磁能(自感磁能+互感磁能) 1. 互感磁能 若有两个相邻的线圈1和线圈2,在其中分别有电流I1 和I2,在建立电流的过程中,抵抗互感电动势所作的功为： ∫ ∫−−=+= T T dtIdtIAAA 0 0 112221 εε 0 1 2 21 0 2 1 12 , 11222211 ∫∫ +=⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ −=−= TTdtdIMdtdIM dtIdtdIMdtIdtdIM εε 2112 , 0 2112211212 , 0 2112 0 2121 0 1212 2121 21 )()( MM IIMIIdMdIIdIIM dIIMdIIMA IIII II = ==+= += ∫∫ ∫∫ 以及注意积分上下限的变换 10 和自感一样,两个线圈中电源抵抗互感电动势所作的这部分额 外功,也以磁能的形式储存起来,一旦电流中止,这部分磁能便通过 互感电动势作功全部释放出来 其中 是线圈2的面元 对线圈1的位置矢量, 是线圈2所张的曲 面.这样,可将该系统的互能看成是载流线圈2在外磁场 中所具有 的磁能 2r r Sd r 2S 1B r 后面还会将这一结果进一步推广 定义：互感磁能 212211212 IIIMW Φ== 的磁通量产生的磁场通过线圈是载流线圈其中 2112Φ 在物理上有时这样来看,将线圈1看成是外磁场,则上 式可进一步写成： ∫∫ ⋅= 2 )( 21212 S SdrBIW rrr 11 2. 总静磁能 在这样的两个线圈中,当各自建立了电流I1和I2后,除 了每个线圈里各自储存有自感磁能 2 222 2 111 2 1 2 1 ILWILW == 和 在它们之间还储存了互感磁能: 211212 IIMW = 两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为： 2112 2 22 2 111221 2 1 2 1 IIMILILWWWW ++=++= 21212112 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 IIMIIMILIL +++=⎯⎯⎯⎯ →⎯写成对称形式 其中自感磁能恒大于零，而互感磁能可正可负 12 三．N个载流线圈系统的静磁能 (1) 假定所给的线圈的电阻很小可以忽略,即焦耳热损耗 的能量可以忽略； (2) 各线圈电流由零逐渐增加到给定值Ii，将各线圈 取为零能态； 0=iI (3) 在某瞬时,在第i个线圈中,感应电动势由下式确定： ∑ ≠= −−= N ij j j ij i ii dt dI M dt dI L 1 ε 其中 是第i个线圈的自感, 是第i个线圈和第j个线圈之间 的互感, 分别是它们中的电流i L ijM ji II 和 推广到N个载流线圈组成的系统,为了简化讨论: 3 13 若令 ,就可得到前面已经得到的两个线圈的总静 磁能的表达式: 2, =ji 21212112 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 IIMIIMILILW +++= 仿照前面的讨论,可推得这N个线圈系统的静磁能为： j N ij ji iij N i iim IIMILW ∑∑ ≠== += 1,1 2 2 1 2 1 其中第1项表示总自感磁能,第2项表示N个线圈系统的互感磁能 1 N ji i i ij j j i dIdIL M dt dt ε =≠ = − −∑ 14 四. 磁场的能量和能量密度 可以想象,线圈中的能量也是储存在磁场中.下面以螺 线管为例来讨论这个问题 1. 无磁介质 2. 有磁介质 回顾:在第三章中,我们知道电容器储存的能量是储存在电 场中,并从平行板电容器入手导出了静电场的能量和 能量密度分别为： 为能量密度其中 2 1 2 1 ED dVEDdVW e VV ee rr rr ⋅= ⋅== ∫∫∫∫∫∫ ω ω Chapter 3[2] 15 1. 无磁介质时 22 0 2 0 2 1 2 1 VInILWm μ==螺线管的自感磁能： VnL 200 μ=螺线管自感系数： 0nIB μ=螺线管内的磁场： VBVInWm 2 00 222 0 2 1 2 1 μμμ == :为磁能密度定义 mω 2 02 1 B V Wm m μω == 16 2. 有磁介质时 BHVLIWm 2 1 2 1 2 ==螺线管的自感磁能： VnL r 2 0μμ=螺线管自感系数： H, 0 nInIB r == μμ螺线管内的磁场： HBBH V Wm m rr ⋅=== 2 1 2 1ω磁能密度： ∫∫∫∫∫∫ ⋅== VV mm dVHBdVW rr21: ω磁能 磁能的普遍表达式 形式上类似与 dVEDdVW VV ee ∫∫∫∫∫∫ ⋅== rr21ω 17 a. 由上式可以看出,线圈中的能量确实存在于磁场中 b. 上式为计算自感L提供了第三种方法 L I WLW mm 计算再利用即先求出 2 2, = c. 当线圈中电流建立之后,B是一定的,这时线圈储存的 能量: 关而与电流的建立过程无 的状态有关只与BVBWm 0 2 2μ= d. 这个结论可以推广到一般情况 e. 进一步推广:利用虚功原理,可以由静磁能求出磁力 ∫∫∫∫∫∫ ⋅== VV mm dVHBdVW rr21ω讨论 18 例一．一同轴电缆,中心半径是a的圆柱形的导线,外部内 半径为b,外半径为c的导体圆筒,在内外导体之间充满磁导 率为μr的磁介质,电流在内外导体的方向如图所示.设电流 沿截面均匀分布,求这电缆单位长度的自感系数 4 19 求自感有三种方法： 动态求，由 )( dt dILdt dIL εε =−=(1) (2) 静态求可以先由求由 ΦΦ==Φ B I LLI r (3) 由能量出发求求由 2 2 1 2 2 I WLLIW mm == 比较可以看出,(1)和(2)在这儿均不好用,关键在于磁通量Φ 不太好求. 可以用方法(3)求解 答案是肯定的 有同学可能会问“ 不是通电螺 线管自能的计算吗？这里要计算的对象不 是通电螺线管能用这个公式来计算吗？” 2 2 1 LIWm = 20 根据对称性由安培环路定理 HIldH i i L rrr 先求出∑∫ =⋅ 0 0 BHB r rrr 求出再由 μμ= ∫∫∫ ⋅=⇒⋅= V mm dVHBWHB rrrr 2 1 2 1ω LLIWm 由此可以解出,2 1 2= 思路： 的一段电缆考虑长度为为了计算 lWm , 把空间分成如图所示四个区域 21 (1)区 )(1, 0, 0 值对一般的导体都可取这=≤≤ rar μμ 由环路定理可得: ∑= IrH π211 2 2 2 22 1 a Irr a I r H ππππ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⇒ 2 2 2 2 a Irr a IIr ==∑ ππ的环路的总电流为穿过半径为 0 1 0 1 2 2 IrB H a μμ π= = B H r r和 同向 42 22 0 11111 82 1 2 1 a rIHBHBm π μω ==⋅=⇒ rr ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ === a l l a mm lIddrrdz a IdrdzrdW 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 3 42 2 0 11 16 8 π π π μϕπ μϕω 注意：在上面的积分中,根据对称性选取了柱坐标系; 如果电流 只分布在导线表面上,则此时 0=∑ I 22 0 2 2 2 2 r r IIa r b H B r r μ μμ π π≤ ≤ = = r I I=∑ 注意此时穿过半径为 的 环路的总电流为 (2) 区: 22 2 0 2 8 r Ir m π μμω = ∫ ∫ ∫ == b a l r mm a blIdrdzrdW π π μμϕω 2 0 0 2 0 22 ln 4 23 (3)区 0 crb ≤≤μ ( )( ) ( )22 22 22 22 bc rcI bc brIII − −=− −−=∑ ππ ∑ Ir的环路的总电流为设穿过半径为 ( ) ( ) 2 3 2 2 2 0 3 0 3 2 2 2 2 I cH r rc b I cB H r rc b π μμ π ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ( ) 28 222 4 2222 2 0 3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= rcr c bc I m π μω ( ) ( )( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−−−== c b l mm bcbcb cc bc lIdrdzrdW π π μϕω 2 0 22224 0 222 2 0 33 34 1ln 4 24 (4)区: 0 cr ≥μ :的环路的总电流为穿过半径为r 0=−=∑ III 4 4 4 40, 0, 0, W 0m mH B ω⇒ = = = = 所以总磁能： 2 2 4321 2 2 1 I WLLIWWWWW mmmmmm =⇒=+++= 200 2 , lI W l LLL m==则为记单位长度电缆的自感 ( ) ( )( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−++= 22224 222 0 0 34 1ln1ln 4 1 2 bcbc b cc bca bL rμπ μ 5 25 五．载流线圈在外磁场中的静磁能 下面从能量的角度来考虑上述问题 1. 一个载流线圈在外磁场中的静磁能 前面(PPT10)已经得到： ∫∫ ⋅= 2 )( 21212 S SdrBIW rrr 它可以看成载流线圈2在外磁场 (由线圈1提供的)中所具 有的静磁能.其实这也就是线圈1和线圈2的互感磁能. 212211212 IIIMW φ== 1B r 回顾:前面我们分析了一个载流线圈在磁场中的受力和力 矩的情况,载流线圈的磁矩用 表示, ,则其所 受的力矩为 mr SIm rr = BmL rrr ×= Chapter 6[1] 26 ∫∫ ⋅= 2 )( 21212 S SdrBIW rrr对于均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中的小载流线圈, 可看成是常矢量,故可从积分号中提出, 简记为 .所以： )( 21 rB rr B r 其中 为载流线圈2的磁矩, 的方向与 的关系满 足右手定则 SIm rr 2= mr 2I 2( )mW B I S m B= ⋅ = ⋅ rr rr 载流线圈在均匀 外磁场中的磁能 如何理解这一差别,将在后面介绍利用磁能求磁 力中再深入讨论 电偶极子 在外电场中的静能量：P r EPWe rr ⋅−= 差个负号 27 2. N个载流线圈在外磁场中的静磁能 设有N个载流线圈置于一外磁场中 ,这系统在外 磁场中的磁能为： )(rB r r ∑ ∫∫ = ⋅= N i S iim i SdrBIW 1 )( rrr 当外磁场均匀时: 1 ( ) N m i i i W B I S m B = = ⋅ = ⋅∑ rr rr 其中 是整个系统的磁矩mr 这套处理方式在《原子物理学》中 处理原子在外磁场中的行为时常用 若已知L→ 下面举例由磁能与自感系数的关系求Wm或L： 反之,已知Wm →L22 1 LIWm = 如：一个原子有磁矩 , 其在外磁场中的能量为 根据能量最低原理, 相互平行时最稳定 BmW m rr ⋅−=' Bm rr和 mv 28 两根平行输电线相距为 d，半径为 a，若维持 I 不 变。（前已求得，单位长度上的自感 ） 2）磁能改变多少？增加或减少, 说明能量来源？ 例. 求：1）当d→d’时，磁力作的功。 .ln0 a dL π μ= d I I d' F 解：1)单位长度受力 r IIlIlBF π μ 2 / 0== .0ln22 2 0 2 0 >′π μ∫ =π μ∫ =⋅= ′′ d dIdrr IrdFA dd d d vv 22 2 1 2 1 LIILWWW dd −′=−= ′Δ2) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ′ π μ= a d a dI lnln2 1 02 d dI ′ π μ= ln2 2 0 > 0 能量从何而来?！ 29 d dIA ′π μ= ln2 2 0 磁力 d dIW ′π μ= ln2 2 0Δ 0以下作出定量证明： dt d L ψε −= dt dLI dt diL −−= Li=Ψ 外电源克服εL作功,则εL作负功： ∫ ε−= dqA L外 ∫ ⋅= Idtdt dLI ∫= ′LL dLI 2 ( )LLI −′= 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π μ−′π μ= a d a dI lnln 002 d dI ′ π μ= ln20 .WA Δ+= 磁力 能量守恒 导线移动时,会产生感应电动势 .而要维持I不变,电 源必须克服 作功,从而将外电源的能量转变为磁能增量 和磁力作功两部分. Lε L ε 30 例. 一矩形金属线框,边长为a、b (b足够长),线框质量为m, 自感系数为L, 电阻忽略,线框以初速度v0 沿 x轴方向从 磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中, 求: 矩形线 圈在磁场内的速度与时间的关系式 v=v(t)和沿 x 轴方 向移动的距离与时间的关系式 x=x(t) o 0B r ×××× ×××× ×××× x a b ov 解法一：线圈的一部分进入 磁场后,线圈内有 ε动,ε自 )1(00 L=− dtdILavB )2(0 LaIBdt dvm −= 022 2 =+ v dt vd ω mL aB 2202 =ω 联 立 6 31 o 0B r ×××× ×××× ×××× x a b ov tCtCv ωω cossin 21 += 方程的通解： oo vCvvt =⇒== 2 , 0 时当 )2(LaIBdt dvm o−=根据： tCtCdt dv ωωωω sincos 21 −= m aIBo−= 00 == It 时，当 00cos1 =ωC 01 =∴C tvv o ωcos= tvx o ωω sin= 32 o 0B r ×××× ×××× ×××× x a b ov 解法二： 222 0 2 1 2 1 2 1 LImvmv += 0 =+ dt dILI dt dvmv即 代入上式将 (1) 0avBdt dIL = )2(00 L=+ aIBdt dvm LL