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初中数学竞赛专选讲(初三.1)一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a,　b,　c的值确定的.　　　　根公式是：x=.　(b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根.　　③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数.3.设x1,　x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0　(a≠0，b2－4ac≥0)，ax22+bx2+c=0　(a≠0，b2－4ac≥0)；②x1=，　x2=　(a≠0,　b2－4ac≥0)；③　韦达定理：x1+x2=,　x1x2=(a≠0,　b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0　(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.　特殊的例子有：　C=0x1=0，　　a+b+c=0x1=1，　　　a－b+c=0x1=－1.二、例题例1.已知：a,　b,　c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明　（用反证法）设　两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即由①得b≥，b+1≥代入③，得a－c=b+1≥，　4c≤4a－5④②＋④：a2－4a+5≤0，即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2.已知首项系数不相等的两个方程：　（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根.　求a,　b的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是　a和；　　方程②两根是b和.由已知a>1,　b>1且a≠b.　　∴公共根是a=　或b=.　　两个等式去分母后的结果是一样的.即ab－a=b+2,ab－a－b+1=3,(a－1)(b－1)=3.　　　　∵a,b都是正整数，　∴　；　或.解得；　　或.又解：　设公共根为x0那么　　先消去二次项：①×（b－1）－②×（a－1）　得［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0.　　　　整理得　（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.∵a≠b　∴x0＝1；　或　(ab－a－b－2)＝0.当x0＝1时，由方程①得　a=1,　∴a－1=0，∴方程①不是二次方程.　　∴x0不是公共根.　　当(ab－a－b－2)＝0时，　得(a－1)(b－1)=3　……解法同上.例3.　已知：m,　n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根　　　　　　　　差相等.求：m+n　的值.　解：方程①两根差是＝＝＝同理方程②两根差是　＝依题意，得＝.两边平方得：m2－4n=n2－4m.　∴（m－n）(m+n+4)=0　　　　∵m≠n，　∴　m+n+4＝0，　m+n＝－4.例4.　若a,　b,　c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.　　　证明：设方程有一个有理数根（m,　n是互质的整数）.那么a()2+b()+c=0,　即an2+bmn+cm2=0.把m,　n按奇数、偶数分类讨论，∵m,　n互质，∴不可能同为偶数.　　　　①　当m,　n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；　　②　当m为奇数,　n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③当m为偶数,　n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述　不论m,　n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立.　　　即　假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a,　b,　c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.例5.　求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k　(k≥1).　　　证明：设矩形A的长为a,　宽为b，矩形B的长为c,　宽为d.　　　根据题意，得　.∴c+d=(a+b)k,　　　cd=abk.　　由韦达定理的逆定理，得c,　d是方程z2－(a+b)kz+abk=0　的两个根.·＝［－（a+b）k］2－4abk＝（a2+2ab+b2）k2－4abk=k［(a2+2ab+b2)k－4ab］∵k≥1，a2+b2≥2ab,∴a2+2ab+b2≥4ab，(a2+2ab+b2)k≥4ab.　　　　∴△≥0.∴一定有c,　d值满足题设的条件.即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k　(k≥1).例6.　k取什么整数值时，下列方程有两个整数解　　　①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；　　　②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.　解：①用因式分解法求得两个根是：x1=，　x2=.　　由x1是整数，得k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12.　由x2是整数，得k－1=±1,±2,±3,±6.它们的公共解是：得k=0,　2,　－2,　3,　－5.　　答：当k=0,　2,　－2,　3,　－5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理∵x1,　x2,　　k　都是整数，∴k=±1，±2.　（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1,　2,　－2，　分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2时适合.　答：当k取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1.写出下列方程的整数解：①5x2－x=0的一个整数根是＿＿＿.②3x2+(－3)x－=0的一个整数根是＿＿＿.③x2+(+1)x+=0的一个整数根是＿＿＿.2.方程（1－m）x2－x－1=0　有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是＿＿＿＿.3.已知方程x2－(2m－1)x－4m+2=0　的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4.若x≠y，且满足等式x2+2x－5=0　和y2+2y－5=0.那么＝＿＿＿.（提示：x,　y是方程z2+5z－5=0　的两个根.）5.如果方程x2+px+q=0　的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,　q应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.若方程ax2+bx+c=0中a>0,　b>0,　c<0.　那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7.如果方程mx2－2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程（m－5）x2－2mx+m=0实数根的个数是（　　）.(A)2（B）1（　C）0　（D）不能确定　8.当a,　b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根9.　两个方程x2+kx－1=0和x2－x－k=0有一个相同的实数根，则这个根是（　　）(A)2　（B）－2　　（C）1　　（D）－1　10.已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,　b应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11.　已知：方程x2+bx+1=0与x2－x－b=0有一个公共根为m，求：m，b的值.12.　已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x2－a2x+ab=0的两个实数根.试求a,　b的值或取值范围.　　　13.　已知：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根和等于s1，两根的平方和等于s2,两根的立方和等于s3.求证：as3+bs2+cs1=0.14.　求证：方程x2－2(m+1)x+2(m－1)=0的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15.　已知：a,　b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,　d是方程x2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a－c）(b－c)(a－d)(b－d)=(p－q)2.16.　如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　17.　如果方程（x－1）(x2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是　（　　）（A）　0≤m≤1　（B）m≥　（C）<m≤1　　（D）≤m≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0(k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是(　)（A）3<k<4　　(B)-2<k<-1　　(C)3<k<4或-2<k<-1　　（D）无解参考1.　①0，　②1，　③－1　　　2.　0　　　3.　1（舍去－2）　　4.　5.　9q=2p2　6.一正一负　7.D　　8.a=1,b=－　　9.C10.a+b+1=0,a≠b　　　11.　m=－1，b=2　12.13.左边＝a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=……14.用反证法，设x1<0,x2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,　m>1）15.　由韦达定理,把左边化为　p,　q16.　x2±3x+2=0　　　17.　C　　　　　18.　C