机械系统微机控制

nullnull第三章 信号采样与z变换理论及应用 1.计算机控制的信号形式； 2.采样定理、量化、保持电路； 3.Z变换的定义、性质、定理； Z变换的方法； Z反变换及求解差分方程； 主要内容：null§3.1 计算控制系统的信号形式 以计算机代替常规的模拟控制器，并使其成为控制系统的一部分，这种计算机参与控制的系统称为计算机控制系统。null2、由于绝大多数机械系统的受控参数是模拟量（模拟执行机构），而计算机是一个数字量装置，故需要变换装置或过程通道。 1、计算机控制系统的基本特征是以数字计算机取代模拟调节器，组成数字式的闭环控制系统。 null计算机为控制核心实现校正功能 A/D,D/A为转换部件null3、控制系统的信号形式 r(t)：输入信号,连续,模拟 h(t)：反馈信号,连续,模拟 e(t)：偏差信号,连续,模拟 e(kT)：采样后的信号,离散,数字 u(kT)：计算机输出的信号,离散,数字 u(t)：阶梯型信号,连续,模拟 y(t)：被控对象的被控制量,连续,模拟h(t)nullnull总结： 计算机控制系统中包含有四种信号形式： 幅值连续-时间连续信号 幅值连续-时间离散信号 幅值离散-时间离散信号 幅值离散-时间连续信号。 问题的提出： 不同性质的信号，如何进行转换并保证精度？？null转换过程描述： 1）来自传感器的模拟信号，经采样保持电路变换为时间上离散幅值连续的离散量。 2）A/D转换为时间上和幅值离散的数字信号，可以由计算机接受和处理。 3）计算机处理后得到数字量的结果 4）D/A转换为模拟信号，去控制执行机构 问题的提出： 那么保证转换精度呢？？ 采样定理null§3.2　信号采样与采样定理 一 、信号采样1．采样过程null 采样过程： 也称离散化过程 通过一个开关将连续信号f(t)离散成离散信号f*(t)的过程。（采样器每隔一段时间闭合一次） 概念： 采样器：开关 采样时刻：0，T,2T… 采样周期：T 采样宽度或时间:开关闭和的时间 采样信号：采样后的脉冲序列null 采样开关在控制信号的控制下闭合与打开。当开关闭合时，开关的输出等于输入人，当开关打开时，开关的输出为零（无输出） 采样信号在时间轴上是离散的，但在幅值轴上仍然是连续的，因此采样信号是一个时间离散的模拟量。 采样信号的达式：null连续信号f(t) 假设用理想采样器进行采样,采样周期是T 采样时刻：T,2T,3T……….. 采样值（采样脉冲序列）为f(T), f(2T), f(3T)…… f(KT). 得到连续信号f(t)的离散形式 f*(t)2．理想采样信号的时域表示说明：单位脉冲函数nullnullT：采样周期， τ：采样宽度， f (t)：原信号，f *(t)：采样信号 3、采样定理 理论上解决采样精度的问题？？ null再通过一个理想的低通滤波器，则采样信号 f *(t)能够不失真的恢复原来的连续信号 f(t)。采样定理：对于一个具有有限频谱的连续信号f(t)进行采样，若采样频率满足： ωs= 2π/T ，采样频率； T：采样周期， ωmax：原信号f(t)有效频谱中的最高频率。 null说明： 在实际应用中，采样频率应为信号最高频率ωmax的5-10倍，采样频率越高，越能如实反映原信号的变化，但是采样频率太高，必然增加计算机的负荷。 null§3.3 Z变换 null一 、Z变换的定义： 是线性时间连续系统拉普拉斯变换的特殊形式，将其应用到时间离散系统上就可以得到Z变换式。拉普拉斯变换： 对于时间连续系统f(t),若满足条件，那么可 以做以下变换：即：F(S)称为f(t)的拉氏变换nullZ变换的定义—由拉氏变换引出Z变换因为离散采样信号：把式中的f(t)换做f*(t),则有：null所以：nullZ变换的定义：将上式展开：物理含义：f (kT)表示采样脉冲幅值，Z 的幂次表示脉冲出现的时刻。null二、Z变换的性质和定理线性性质滞后定理超前定理初值定理终值定理 1)、线性定理null证明：null2) 滞后定理设在t<0时,连续函数X(t)为零,若其Z变换存在,则：说明:2)算子 Z-n 的物理意义: Z-n代表滞后环节,它把采样信号延迟k个采样周期。1)滞后定理说明：原函数在时域中延迟 n 个采样周期,相当于 Z 变换乘以Z-n。证明:令k-n=m,利用定义式证明null3) 超前定理null例、计算延迟一个采样周期 T 的单位阶跃函数的Z变换。例、计算延迟一个采样周期T的指数函数 e-at的Z变换。解：解：null4)　终值定理5)　初值定理 若连续时间函数x(t)的Z变换为X(z)，不含z=1的二重以上极点，在单位圆外无极点，则有：null5）非一一对应性 Z变换只能给出原函数一连串离散的数值f(kT)，而不能给出原函数f(t)。 即： 只能通过F（Z）得到f(kT)， 不能得到f(t)null解:使用终值定理确定e(∞)的值。例：设Z变换函数为:null三、 Z变换方法留数计算法级数求和法部分分式法1)级数求和法（根据Z变换的定义来求函数的Z变换） null例1、试求单位阶跃函数的Z变换解:null例2、求单位理想脉冲序列函数的Z变换。解：null比较前面两个例子： 不同的f(t)可以有相同的z变换，只要采样信号相同，就可以有相同的z变换。 反之，z变换相同， f(t)不一定相同。null例3、试求取指数函数e-at(a>0)的Z变换。解:null2)部分分式法　 若没有给出 f(t) ，但给出 F(s)，可通过反拉氏变换求解f(t) ，进而求解F(z)。 技巧：将F(s)写成部分分式和的形式。零点：使分子等于0的S值，称为F(s)的零点。 极点：使分子等于0的S值，称为F(s)的零点。null那么：F(s)又可以写成极点的形式：F(s) 的极点有3种： S=s2,单个的实数极点 S=s1 重复极点 共轭极点 null那么：F(s)又可以展开成部分分式形式：注：两边取相同的s值，实部虚部相等，就可以 列出方程组求得c。null部分分式展开的意义： 展开后恰好是一些常见的简单函数的拉式变换，可以通过查拉式变换和Z变换表直接写出Z变换结果，而省去了拉式反变换和Z变换的复杂过程，从而简化。null常见函数的S和Z变换表：nullnullnull解：null解:null四 、Z反变换定义：由F(z)求出相应的时间序列 f(KT)。意义：对于数字控制系统，Z变换只是求得时域解的工具，而不是最终目的，因此需要Z反变换求得时域解f(KT)。null1)、长除法null说明： 用长除法求的f(kT)的一般表达式是比较困难的，但是得到f(kT)前面的有限项，比较实用，根据需要选择。由Z变换得定义可知：即：Ck就是f(t)在采样时刻t=kT的采样值.null解：nullnull2)、部分分式法1、将X(z)/z展开成部分分式，典型信号； 注意：和F(S)的展开方法一样2、查表求出展开式各项对应的时间函数x(t)；3、将x(t)转换成采样信号x*(t)；nullnull解：　（t≥0）(K=0,1,2……)null(3)、留数计算法Zｉ有2种极点：彼此不相等的极点 为重极点null如何求留数？结果：Z值被极点值替换掉，结果变成K的 函数。单极点处的留数：重极点处的留数：null解：例.试求 的Z反变换。nullnull六、用Z变换求解差分方程举例： 设一阶采样离散控制系统的差分方程为， 已知初始条件为c(0)=0，输入信号r(k)=ak,求系 统的输出响应！概念：差分方程的阶次 输出响应null求解差分方程步骤:1、对差分方程作Z 变换, 应用线性性质和平移定理;2、利用已知条件或求出的一些特定时刻的采样值如：y(0), y(T), …代入 Z 变换式；3、由 Z 变换式求出Y(z)的表达式;4、作 Z 反变换,得到差分方程的解 y(kT)；null例：求差分方程 解：对差分方程两端进行Z变换带入初始条件有：null求Z反变换有：null本章总结 1、计算机控制的信号形式; 2、采样定理, 3、Z变换的定义,性质定理(线性性质、滞后性质、超前性质、初值定理、终值定理)； Z变换的方法(级数求和法、部分分式法); Z反变换(部分分式展开法、长除法)及求解差分方程的步骤程;