绪论-电流和磁场

电动力学教学目的、重难点习题处理 一﹑目的 电动力学是从基本电磁运动规律出发，进一步研究电磁场的基本属性、各种运动状态以及与带电物质相互作用的一门理论物理课程。本课程的主要目的： 1.掌握电磁运动的基本规律，加深对电磁性质的理解。了解狭义相对论的时空观及有关的基本理论。 2.掌握计算电磁场的基本方法，获得在电磁领域分析和处理一些最基本问题的初步能力，为学习后续课程打好基础。 3.解决普通物理中若干遗留问题的理论阐述，加深对中学电磁学教材的透彻理解。 4.遵循本学科的历史发展顺序，使学生领会理论来源于实践和理论自身的发展规律这一科学真理，培养辩证唯物观。麦克斯韦光电流的理论解释是典型范例。 二﹑要求 具备电磁学知识，必要的矢量分析和场论，某些数理方程内容。 完成从电磁学到麦克斯韦电磁理论的飞跃，从经典时空观到狭义相对论时空观的飞跃。 深刻理解物理量和物理定律对描述物理现象的性质和规律的物理思想和定义，学会处理电磁场问题的基本方法，掌握定量描述物理现象及其规律的教学方法。提高从一些抽象的概念、公式中阐明物理量、物理定律所描述的物理事实和实质的能力。 三﹑主线索 从分析几个试验定律出发，从中找出具有普遍意义的因素，将特殊规律加以推广到具有普遍意义的规律，而后应用理论上得到的普遍规律去分析各种电磁现象，尤其是分析电磁场与带电物质的相互作用、相互影响，从而进一步来丰富和发展这些规律。 四﹑全书重难点 麦克斯韦方程是支配电磁场一切性质和行为的总方程组，故重点是： 麦克斯韦方程组的建立以及在各种特定情况下等价方程的直接或间接求解，对解的结果讨论和参考系问题的解决—具有洛伦兹协交性的麦克斯韦方程组。 难点是：静电磁场的边值问题，电磁场的辐射，电磁场与电荷系统的相互作用、时空理论。 五﹑章节重难点 第零章 矢量分析与场论 重点：⑴梯度、散度、旋度的概念及含义； ⑵高斯定理，斯托克斯定理的意义； ⑶矢量分析的意义及运算。 难点：⑴矢量分析运算； ⑵ EMBED Equation.3 在不同坐标系下的形式 第一章 电磁现象的普遍规律 重点：⑴建立麦克斯韦方程组所用到的基本概念及其内在的逻辑关系； ⑵麦克斯韦方程组； ⑶电磁能量守恒定律，边值关系。 难点：静电磁场的基本方程及其物理意义，揭示的性质规律 第二章 静电场 重点：⑴静电场的标势及其微分方程； ⑵静电问题的电象法和分离变量法； ⑶电偶极子场及其与外场的相互作用。 难点：⑴泊松方程式，拉普拉斯方程满足“双边”条件的解； ⑵ 格林函数法； ⑶电多极展开。 第三章 静磁场 重点：⑴静磁场的矢势及其微分方程； ⑵磁标势法求解磁场的条件和解法； ⑶磁偶极子场的分布及其与外场的相互作用能、相互作用力和力矩。 难点：⑴磁场的矢势及其微分方程边值问题； ⑵磁多极展开； ⑶处理磁场问题的两种观点，与静电场比较。研究问题的思想方法锻炼； ⑷A-B效应。 第四章 电磁波的传播 重点：⑴平面电磁波的基本特点和性质； ⑵平面电磁波在介质、导体中的传播特点； ⑶电磁波在界面反射、折射规律。 难点：⑴导体中电磁波的传播特点； ⑵复介电常数、复波矢的物理意义； ⑶远离“源”处电磁矢量或标量波动方程在各种特定边界条件下的求解方法。 第五章 电磁波的辐射 重点：⑴电磁场的矢势的标势、推迟势； ⑵电偶极辐射； ⑶电磁场的动量及守恒定律； ⑷基尔霍夫公式。 难点：⑴电磁多极辐射； ⑵无线辐射场。 第六章 狭义相对论 重点：⑴狭义相对论的试验基础、基本原理； ⑵洛伦兹变换、时空理论； ⑶爱因斯坦的速度变换、质能关系； ⑷电磁场的变换公式。 难点：⑴狭义相对论的时空观、同时的相对性、运动时钟延缓、动钟缩短； ⑵电磁场的交换公式。 第七章 带电粒子和电磁场的相互作用 重点：⑴带电粒子在电磁场作用下的运动方程，给定运动方程如何计算辐射电磁场及其频谱； ⑵用经典电磁学方法推出一些在量子理论仍然有效的近似公式和概念； ⑶讨论经典动力学大的局限，为量子动力学——麦克斯韦方程组量子化的发展打下伏笔，树立物质可穷尽，人类的认识度不也可穷尽的（认识论）辩证唯物观。 说明：本章不属大纲范畴，对本科生可谓是全书的难点 ﹡理论物理课程是培养物理规格人才的“重头戏”，是基础课程，基础课的作用，基础课论与实际的关系，用我国著名物理学教育家王竹溪先生的回答很有帮助，他说：“理论物理是基础学科，基础就像房子的地基，地基的用途是不能问他支持了哪一块砖哪一片瓦，整个房是它支持的，地基越牢，房子盖得越高。” 六、习题分类及处理（见各章节） 绪论 1、 什么是电动力学 电动力学是从基本电磁运动规律出发，进一步研究电磁场的基本属性、各种运动形态以及它与带电物质相互作用的一门理论物理课程。 二、学习目的 1.掌握电磁运动的基本规律，加深对电磁场性质的理解，了解狭义相对论的时空观及有关基本理论； 2.掌握计算电磁场的基本方法，获得在电磁领域分析和处理一些最基本问题的初步能力，为学习后续课程打好基础； 3.完成两个飞跃 ⑴从电磁学→麦克斯韦电磁理论 ⑵从经典时空→狭义相对论时空 三、主线索 从试验定律出发，找出具有普遍意义的因素，将特殊规律推广，得到具有普遍意义的规律去分析各种电磁现象、电磁场与带电物质的相互作用，进一步丰富和发展这些规律。 四、重点 麦克斯韦方程组的建立以及在各种特定情况下的等价方程的直接或间接求解，对解的结果讨论，参考系问题。 五、难点 静电磁场的边值问题、电磁场的辐射、电磁场与电荷系统的现互作用、时空理论 六、圈内人士对理论物理（也称四大力学）的看法 1.北大物理系林纯真：“…理论物理课程是培养物理规格人才的重头戏，理论物理的毕业生很有后劲，也被社会所承认。” 2.中科院大恒集团宋菲君：“须知四大力学是很难学的课程，不花工夫是很难真正学懂的课时太少，缺乏必要的训练包括习题训练，…靠听讲是学不会的。” 摘自《物理》2000.2 七、作用 能说明：过去既有的电磁现象，尚未说明的电磁现象 能预见：尚未发现的电磁现象 能对发生实践和科学试验起指导作用 八、研究内容 研究：电磁场的基本属性（波动性、粒子性）、规律、应用、场与物质相互作用；电磁运动与参考系——狭义相对论的基本理论 第一章：从三个试验定律——库仑定律、毕-沙定律、电磁效应定律出发，引入位移电流，怎样建立麦克斯韦方程组。 重点：描述方程建立所碰到的各个重要基本概念以及它们之间内在的逻辑联系 第二章： 时的麦克斯韦方程组的解，由于边值问题的复杂性，使求解非常复杂，有些问题无法直接求解。 以唯一性定律为指南探讨各种问题解法，镜像法﹑格林函数法 静电部分 第三章： 的麦克斯韦方程组的解，静磁部分，方法同静电部分 对矢势 与磁线 的讨论： 效应 超导体的电磁理论 第四章： 时远离“源”的麦克斯韦方程组在各种特定边界条件下的求解方法，讨论解的结果。 第五章：高频交变电流辐射电磁波的规律：局限给定天线上电流分布辐射电磁波的计算。 电磁场和天线电流的相互作用，本质上也是一个边值问题，应用天线面的边界条件，同时确定空间电磁波形式和天线电流分布是比较复杂的问题。 第六章：时空理论，物理学的相对性原理，麦克斯韦方程组的参照系问题——洛伦兹协变性 第七章：是第五章的继续，任意速度的带电粒子具有的推迟势辐射展开，用相对论解决。带电粒子在电磁场作用下的运动方程：已知带电粒子的运动方程计算辐射电磁场及其频谱。 参考书 1.【美】J.D.Jackson著 朱培豫译 加州大学伯克利分校 《经典电动力学》 人教社 1978(上)，1980（下） Classical Eiectrodynamics（ edition）原版. 2.曹昌祺.《电动力学》 人教社 1964 3.梁绍荣 王雪君.《电动力学》 北师大 1986. 4.阚仲元.《电动力学教程》 人教社 1979. 5.孙景李.《经典动力学》 高教社 1987. 6.何超智等.《电动力学》 高教社 1985. 7.蔡圣善，朱来云.《经典动力学》 复旦大学 1985. 8.虞富春，郑春开.《电动力学》 北大社 1992. 9.丁明新等.《电动力学》 辽宁教育社 1986. 10.陈炽庆.《电动力学》自学辅导，大学物理 1992.1-12期 11.大学物理：①高等院校物理专业理论物理课程体系改革势在必行 1998.3 喀兴林等 ②经典电磁学与现代化内容相结合的教学探索 刘景之 1998.9 ③谈“电动力学”课程的教学现代化 易学华，何宝鹏 1998.12 ④高等教育自学考试物理专业《电动力学》课程考试大纲总说明 1991.11 ⑤介绍电动力学及其自学方法 1991.12 陈炽庆 ⑥电磁场中双荷子的正规微分方程及Maxwell方程组的对称形式 1993.1 李传安，张冠卿 12.郑锡琏，惠和兴编.《电动力学》 电子工业社 1992. 13.俞允强.《电动力学简明教程》 北京大学出版社 1999. 14.尹真.《电动力学》 南系，南京大学出版社 1999. 15.俞允强.《电动力学简明教程》 北京大学出版社 1997. 16.罗春荣，陆建隆.《电动力学》 第三版 西安交大出版社 2000. 17.宋福，李英华.《电动力学教学指导》 第二版 西安交大出版社2000. 18.刘觉平.《电动力学》 高教社 2004. 19.陈世明.《电动力学简明教程》 高等教育出版社 20.陈义成，李梅，程正则.电动力学及其计算机辅助教学[M].北京：科学出版社，2007. 21.黄逎本，方奕忠.电动力学辅导书[M].北京：高等教育出版社，2004. 矢量分析与场论 §1 矢量代数 1.加法，多边形法则 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.矢量无除法 不成立（若 任意，则 成立） 亦不成立 则 §2 矢量分析 1.矢函数对称量自变量的微分 定义： 直角： 性质： 2.矢函数对标量的积分 3.一矢量对另一矢量的微分 3场论 场的概念：若一物理量在含空间或部分空间的每一点有确定的数值，则称该空间构成了这个物理量的场。描写场的物理量升级点函数。 场论：用数学的方法分析场的性质的理论。 分类：1．数量场：如果以个空间 中每一点 依某种规律都唯一确定一个数量场。即定义在空间V中的一个数性函数—称数量场 2．矢量场：若空间 中的的每一点 依某种规律确定唯一一个矢量 EMBED Equation.3 ，则称该空间 为一个矢量场。即定义在空间 中的矢性函数。 如：重力场、电场、磁场、 3．特征量：场随空间 的变化 Ⅰ. 标量场 一、等值面 1．定义：由数值相等的点所组成的曲面。 2．性质：场中一点仅有一个等值面；等值面不相交； 3．用途：直观形象了解场的分布 二、方向导数 没标量场 1．方向导数定义： ： 增量 ： 为 从 沿 方向移到 点的变化值则定义： EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 为在 处沿着 方向的方向导数，注位 2．意义： 在某点处沿某一方向对空间（距离）的变化率 ３．特点： 数值与 方向有关，但非矢量，只揭示沿不同的方向数值不同 　　　　　 EMBED Equation.3 ＞０　沿 方向 ↑ 　　　　　　 ＜０　沿 方向 ↓ 　　　　　　 ＝０　 方向为等值面切向，即位于等值面内 ４．表达式直角坐标　 ＝ cos + cos + cos 三、 梯度 某一点的方向导数因无穷多个方向而有无穷多个值，即沿不同的方向变化快慢不同，但总存在一个方向， 沿这个方向变化（增长）最快！即沿这个方向的增长率最大 1. 定义；沿等值面法线方向的空间变化率，其方向指向等值面增加的方向　记为　 grad EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (grad=gradient) 2. 表达式 　　　　　设 为等值面 在 的法向。指向ｙ增长的方向。 　　　　　　　　　 ＋ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 （1） 当 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 时， ＜ 故 为数值最大的一个方向导数！即沿等值面法线方向的方向导数最大，g沿等值面法线方向有最大变化率 又 为 的方向，而 ＞0 故 事 点标量 增长最快的方向，由梯度定义 为梯度大小， 为梯度方向与改点等值面正交！即 grad EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） 3. 梯度与方向导数的关系 　　　由（１）式 　　　　　　 ＝grad · EMBED Equation.3 ·　　　　　　　 （3） 　　　　　　 ＝grad · ＝ EMBED Equation.3 　 （4） ＝grad · ＝ EMBED Equation.3 　　　　 　 （5） ＝grad · ＝ EMBED Equation.3 　　　　　　 　 （6） 结论：方向导数等于梯度在该方向上的投影，梯度是矢量场 　4. 梯度的直角坐标表达式 由（４）—（６）： grad 　= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ( 7 ) = = EMBED Equation.3 ( 8 ) 4、 哈米顿算符 —读“del”是，矢量微分算符。又有书读作纳布拉（nabla）。 EMBED Equation.3 + + 1) 对称量场的运算（作用） =（ + + ） = + + （9） 由（7）式 =grad （10） 2）对矢量场的作用 （1） =（ + + ）·（ + + ） = + + （2） =（ + + ） （ + + ） = （ — ）+ ( — )+ （ — ） = （11） 算符的性质：矢量性 点乘、叉乘位置不能交换 微分性 对分量做微分运算 5、 标量场的特性 　 标量场的梯度沿闭合曲线的线积分等于零（或曰：标量场梯度的环流等于零） 证： EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3 　　　 ·d ＝ EMBED Equation.3 ·d = cos dl= dl=d EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ·d = d =0 故若 ·d =0 则必 = 如静电场 ·d =0 = 例1.求径矢 的大小的梯度 解： = = + + = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 同理： = = = = = 意义：沿 方向的变化最快，变化率为1 例2.证明 = + 证： = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = （ + + ）+ （ + + ） = + 证毕！ 例3. 3.（1） = = （ ）+ （ ）+ （ ） 源变数： ；场变数 ：x y z 方向为从场源指向场点、 若场源 固定，则 为场点的函数。为例1 II 矢量场 场线：矢量场中的理想曲线，其上每一点的切线与该点矢量方向相同，这样的曲线簇叫矢量场。 如：电场线 磁场线等 通量：矢量场 沿有向曲面S的面积分 对面元 对曲面 对闭合面 为外法向 如 = (液体流速) ，当N＞0 时，表示单位时间t从S内流出的净液体量(指体积)；当N＜0时，单位时间t从S外流入的净液体量(指体积) 一、散度 1、定义：穿过包围矢量场 中某点的闭合曲面 的场线数与与所围体积 比值的极限。（divergence=div） div EMBED Equation.3 (12) 2、讨论 1）矢量场中该点处通过闭合曲面 的通量对其体积的变化率或曰该点处穿过单位体积的通量 2) 标量 3）物理意义 div EMBED Equation.3 —场源的强度。 如， = ， div ＞0 单位时间内流出该点单位体元的液体量，液体从该点流出； div ＞0 单位时间内流入该点单位体元的液体量，液体从该点流入。 div ≠0 的点称为场的源头 3.直角坐标表达式 div = + + （13） 证明：设， = + + 取平行正六面体dv元 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = =﹣ = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = = = + = [ ] = EMBED Equation.3 同理 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 通过平行正六面体曲面的通量为 = + + =（ + + ） div = = = = + + div = 其柱坐标、球坐标表达式见 ， 4．高斯定理 对正六面体元 ，有 = · =( ) 或由散度的定义 = = = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = = · = 对任意闭合曲面S，将S所围体积分成许多小平行六面体。对S中所有小平行六面体，相邻侧面的通量等值异号而相消，只剩下整个体积的为表面的通量。 EMBED Equation.3 = （15） 意义： 过闭曲面的矢量 的通量等于该矢量的散度的体积积分。 例4 求 和 设 = （ ）+ （ ）+ （ ） = EMBED Equation.3 （ + + ） = + + =1+1+1 =3 同理 =－１－１－１=－３ 例5 求证 = + 证 = =( + + ) + + + = + (作业题: 2 3 ) 由 3 可得出结论 二. 旋度 1. 环流：矢量场 沿闭合曲线的线积分： 称为 沿L的环流。这类矢量场是涡旋场，其场线是闭合的，如磁场 2. 旋度 1）定义：矢量场 沿过某点垂直于法向的面元 的边线的环流与面元 比值的极限，等于该点 的旋度，沿该面元法向上的分量： (15) 有时， 用Curl 表示，显然 EMBED Equation.3 2）讨论 （1）矢量 的环流对面积的变化率或该点处单位面积的环流。 （2）矢量 其方向是该点 涡旋性最强的那个平面的法向。 （3） EMBED Equation.3 0称为有旋场，其数值表示我选的强度，如静磁场 =0称为无旋场，如重力场，静电场 是描述矢量场涡旋性质的物理量 3.直角坐标表达式 rot = （16） = = （17） 证明 某点的旋度是一定的，而过给点的面元可任取，为讨论方便，取该点的面元法向分别沿 、 、 .则 rot = + + 考察法向为 的小矩形面元，由右手系，可知其环路循回方向如图 由定义 = = PL边： MN边： +） = = LM边： NP边： +） = = = EMBED Equation.3 = 同理：对法向为 的小矩形面元(zx平面内)有 EMBED Equation.3 对法向为 的小矩形面元（xy平面内）有 = rot =(16)式 柱坐标、球坐标的旋度表达式见附录 P279 4.斯托克斯定理 对无穷小矩形回路 ： 对任意有限回路L： S与L成右手系 （18） 意义：矢量 沿闭合曲线的环流等于该矢量旋度的面积分.证明从略. 对图中所示求积分： ， EMBED Equation.3 =- 任意 例：设刚体以匀角速 旋转，此时刚体上某一点的速度 如图，求 解：由 得 同理： 若 为流体速度场，则亦可证明： 其意义为：围绕所研究点的一个小体积的旋转角速度，故旋速与流体质点的转动有关。 例6 求 的旋度 解： 例7 求证： 证： 同理： 证毕！ 例10 试证 证： 证毕！ 三. 有关旋度、散度的定理 1. 标量场的梯度必为无旋场 梯度场是无旋的 证：令 同理： 2. 矢量场的旋度为无散场（无源场） 旋度场是无源的 证： 亦可利用散度（高斯）定理和斯托克斯定理在一般意义下证明 及 3. 无旋场可表示为一个标量场的梯度 若 则 （前面以证）证必要性： 　 的必要条件是 充分性：若 ，则 则 Q为变点，P为动点，故 为Q点坐标的函数，于是： 即 的充要条件是 4. 无源场可表示为一个矢量场的旋度 若 则 证明：必要性 , 的必要条件是 充分性 若 ，则 又 5. 求梯度的散度 的二阶微分运算 定义：拉普拉斯算符 读作：纳不拉平方式拉普拉斯算符。 例 试证： 证： = 6. 表算符 ,即 与 的标积为 = 7. 失算符 ,作用于一个标函数可得到一个矢量，如 例、9利用 的矢量性和微分性证明 解：先由微分性： 再由矢量性： 则 = 不对 作用，对换位置不影响结果，故为 = 同理： = 略去不必要的下标，写成对称形式为 = EMBED Equation.3 （I．22） 证毕 由 的微分性： 由 得矢量性： ∴ = 对 为与上式地位相当，需做对调 即 = = 略去不必要下标有： 8、积分变换中的替代关系： 1）高斯公式（定理）： EMBED Equation.3 替代关系： EMBED Equation.3 上式有如下关系成立： 2）斯托克斯公式（定理）： 替代关系： 例11. 证明： 证：令 , 为任意常矢，由高斯公式有 ∴ 为任意矢量 ∴ 四．格林定理 格林定理 1. （18） 格林定理 2 （19） 证：由高斯定理 令 则 ∴ ①证（18式 令 EMBED Equation.3 ② ①——②证 证（19）式 注： 也是两个积分变换式，同学们自己证明提示 §4 曲线正交坐标系 1、 一般曲线正交坐标系 自学 参阅赵凯华、陈熙谋、电磁学（）1978.PP.91-95 2、 常用曲线正交坐标系 1、 坐标系 坐标：r、 、z (r=常数：以z 轴为轴线的圆柱面； =常数：以z 轴。。。半平面;z=常数：垂直……平面) 单位矢： 线元: rd 面元： // 面内 ⊥ 面 ⊥ 面与z共面 体元： 与 比较有 2.球坐标 坐 标：r , , r=常数：原点为球心的球面 =常数：原点为顶点的圆锥面 =常数：经线切线过z轴为边的半平面 单位矢： （纬线切线） 线 元： 面 元： 体 元： 与 比较有 三、 、 、 、 在常用曲线正交坐标中的表达式 (I.34)———(I.42) 如柱坐标 ： 球坐标 ： 推出办法有二： 1：曲线正交坐标的一般理论，教材 。 2：曲线正交坐标的线元，单位矢与直角坐标单位矢的关系到处，丁明新等编著，电动力学 §5. 并矢、张量简介 一、并矢 1、定义：把两矢量并列，其间不计经间运算，称为并矢 ——矢量的外乘 （1） 2、 直角坐标形式 （2） 矩阵表示： ——→ （3） 一般： 二、张量 1、物理概念 标量：一个数值表示其大小 矢量：几个值表示大小和方向（n表维数） V阶张量： 个数值表示的物理量称为V阶张量 2、2、说明：1) 当V=0时，为零阶张量，为标量 =1个数 当V=1时，为一阶张量，为矢量 = 个数 当V=1时，为二阶张量，为矢量 = 个数 当V=1时，为高阶张量，为矢量 个数 2) 并矢是张量的一种形式 3）张量的基矢 如二阶张量V=2/n=3时，有 = = 9 个分量，有9个基矢 直角坐标中： 一般地，用 、 、 构成上述基矢。 3、二阶张量的表示 一般n=3，有 EMBED Equation.3 表示为： （ ） （4） 二阶单位张量 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 三、张量的代数运算 1、加法 各对应分量相加 （ ） (5) 满足交换律和集合律 2、乘法 1）张量与标量相乘 标量乘张量的每一分量 （6） (7) 2)张量与矢量的点乘 定义：左乘 右乘 故 （8） EMBED Equation.3 ( ) EMBED Equation.3 张量点乘矢量次序不同对易，一般 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (9) (10) (11) (12) 3)张量与矢量的叉乘 定义：左乘 （13） 右乘仿此 一般 4)张量与张量点乘 a 一次点乘 定义 …… …… 用矩阵表示 EMBED Equation.3 (14) 左乘 右乘，即 b 二次点乘 定义 二次点乘结果为标量 特点：先将两靠近的两矢量点乘后提出，再点乘剩下二矢量 因此，只有先点乘和后点乘中作点乘的两矢量相同才不为零 （15） 3.张量的迹与单位张量 1）单位张量 EMBED Equation.3 特点： a B C 2)张量的迹 定义：求对角线元素之和为求迹（Tr=trace） (有书表示为Spur [sp :]为求矩阵的迹) （17） EMBED Equation.3 （18） 推论1：单位张量与任意张量的二次点乘等于求该张量的迹。 (19) 推论2：张量的两次点乘等于一次点乘后的张量再求迹。 EMBED Equation.3 ) (20) 四、张量分析 张量微分定义： （21） （ 等于多少自己写） 积分交换式 类似数学的高斯定理 电荷和电场 1、 库仑定律 1. 定律数学式 ：从 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ： 对 作用力 2. 说明： 形式上与 一致 3. 讨论：1）适用范围：点电荷， 相对（观察着）静止 2）精确度： ，宏观： ，微观： 3）单位：SI制 4. 推广： 1）若干点电荷 ：从 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ： 对 作用力 2）点电荷 受带电体的作用力 2、 静电场 1. 电场 超距作用：不需媒质时间直接作用 场租用：不需媒质场直接作用 静电范围：场与电荷同时存在 场，场 动电范围：场与电荷不一定同时存在 场，场 2. 电场强度 1） 定义： =1时， 对 的分布不影响 2） 计算式： 点电荷系; 带电体： 三、高斯定理和电场的散度 1. 定理数学式： 2. 说明：面内包围点电荷 ： 投影在以r为半径的球面上的面积 面内无电荷： 3. 推广 点电荷系： 带电体： 或：将点电荷中 ， 积分式 4. 电场的散度 数学中高斯定理： 有： 微分式 或：由定义，令 ，可得： 5. 高斯定理的意义 1）微分式是点域关系：电荷对电场的局域关系（场对荷的局域关系） 2）某点的散度 仅与该点电荷体密度有关，与其它点的电荷分布无关 （注： 与其它点的电荷无关 EMBED Equation.3 与其它点的电荷分布无关） 3） EMBED Equation.3 4）静电场是有源场，源是电荷 电荷仅直接激发其邻近的场，远处的场通过场本身的内部作用传送出去 四、静电场的旋度 1. 电场的环流 场强环流体： 证明：以该点电荷的场为例 2. 静电场的旋度 数学中的斯托克斯定理： 有： (尾闾：传说中海水所发之处，现多指江河的下游，中医指尾骨或尾骨的末端) 3. 场强环流体的意义 1）任一点场强的旋度皆为零 无旋场 2） 为电位 证明： 结论：静电场是有源无旋场，电荷是电场的源 积分式： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 微分式： 例1. 电荷 均匀分布于半径为a的球体内，求 及其 的旋度和散度 解：由高斯定理得： 当 时 当 时 电流和磁场 1、 电荷守恒定律 1. 电流密度 1） 2） 与 的关系 由定义： （ 的通量为电流） （1） 2. 连续性方程 1） 电荷守恒的积分式： （2） 2） 电荷守恒的微分式 （3） （2）（3）为电流连续性方程 意义：反映了该点点和变化率与电流密度的关系。 3） 对全空间 （4） 意义：全空间的总电荷守恒（不随t而变化） 4） 稳恒电流条件 条件： （5） 意义：稳恒电流场是无源场，故电场线是连续的闭合曲线 （稳恒电流只存在闭合回路中，断路则不能通过） 2、 毕—沙定律 1. 安培定律（实验定律） 电流元： （6） 导线： （7） 2. 毕—沙定律（电流激发磁场的规律） 粗导线： （8） 闭合细导线： （9） （v遍及全空间，是所有电流产生的合磁场） 071214102 陈真 三．磁场的环流和旋度 1. 安培环路定律 = I 一般形式 = EMBED Equation.3 （10） 2. 磁场的旋度 （斯托克斯定理 = ） = = EMBED Equation.3 = （11） 意义：安培环路定律揭示磁场是有旋场 张之翔，安培环路定理的证明. 大学物理 1985.7. （给出了四中证法） 四. 磁场的散度 1. 磁场的高斯定理 =0 2. 磁场的散度 =0 =0 3.意义：磁场的高斯定理揭示磁场是无源场 五．磁场的旋度和散度公式的证明 （11）.（12）是利用安环定律和磁场的高斯定理为出发点通过数学中的高斯定理和斯托克斯定理求出的场方程微分式，但这两个方程没有经过严格的一般证明。下面，我们从毕——萨定律出发求其微分式，然后通过积分得到其积分式 复习： 1. 2. 3. （ 对场变量作用， 对源变量作用，对 此式成立） 4． = 5. 6. 7. = =0 （稳恒条件） 1.问题 从实验定律——毕—沙定律证明 证明 思路：将 写成 ， 则 得证 由毕—沙定律： - （ =0—— 仅是源变量函数， 是对场变量微分， 可视为常数） EMBED Equation.3 令 （13） 则 （14） ， 证毕！ 证明： 证： = （ ） 高斯定理： （无电流过界面S） （ =0时，场点移到了电流区中，以场点为球心作一小球，当小球体积趋于0时的行为，是我们所要讨论的结果） 当r 时： ，故 当r=0时： ， ， 考察对包围r=0点的小球积分，围绕 的点对小球有 （ 是对场变量作用，故应紧跟场点讨论。所以当 时，由于 为定点， 为积分变量，因而体积分仅需对围绕x点作小球，先微分后积分！这时可取 抽出积分号外） 与 反向 对小球而 证毕！ 证法2：利用 证明 2.讨论 （1） （11）、（12）是毕—沙定律的推论，并与之相等价； （2） （11）、（12）是真空中的静磁场微分方程，是静磁问题的依据，又是寻求电磁学一般规律的出发点！ （3） 从（11）、（12）做变换（数学上的高斯定理，斯托克斯定理）得其积分式——安环定律和磁场的高斯定理，至此，安环律和磁场高斯定理方得到了严格证明。电磁学中，是验证，磁场的高斯定理是默认！ （4） 静磁场是有旋无源场 恒成立 成立，毕—沙律在 成立，由此推论的 却普遍成立。 （5）有电流分布区的磁场才是有旋的，无电流分布区的磁场却是无旋的，尽管围着电流的回路环流不为零。 例18 求