数学建模__航空机票超票订票问题

马延金 王雷 ：航空机票超票订票问题 数学建模 摘要 当今是一个经济发展迅猛的时代，做任何事情都要有超前意识，为赢得时间，快速的交通工具成为现代生活的必需品。飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具，订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。 本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型，运用MATLAB软件，通过计算解决以下问题： （1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？ （2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？ 关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润 1 概述 1.1 问题背景描述 随着社会的不断进步，经济的不断发展，人们生活节奏也越来越快，对效率的要求也越来越高，为了出行的效率，飞机成了人们通常的选择。航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式，从而使公司赢得最大的利润。针对此种现象，航空公司一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机载客数。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况，航空公司需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算，从而获得最大的利润。 1.2 问题的提出 某航空公司执行两地的飞行任务。已知飞机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。 要求：（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？ （2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？ 1.3 分析与建立模型 （1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？ 设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为S (即售出票数为 N＋S) ，k为每个座位的盈利值， h 为改乘其他航班旅客的补偿值．设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为 f (x). 当时，有S - x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当x＞S 时，有x - S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为 满足方程的S是函数 E[L(S)]的极小值点，使航空公司的损失达最小。 设每位旅客购票未登机的概率为 p ，共有m个旅客，则恰有x旅客未登机的概率 ，即x服从二项分布。因此,积分 即用二项分布计算。 （2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？ 设飞机的有效载客数为 N ，超订票数为S ( 即售出票数为 N + S ) ，k为每个座位的盈利值， h 为改乘其他航班旅客的补偿值． 若不超订票（即S=0），则盈利的期望值为 E0 = 每个座位的盈利 ×飞机座位有乘客的期望值 = k N (1–p). 若超订票数为 1 (即S=1 ) ，盈利的期望值为 E1 = 不超订票时盈利的期望值 + P{该旅客乘机}×P{该旅客有座位}×每个座位的盈利- P{该旅客乘机}×P｛该旅客无座位｝×该旅客的补偿 = E0 + (1–p) · P { N 个旅客至少有1 人不乘机} · k –(1–p) · P { N 个旅客至多有0人不乘机} · h = E0 +(1-p) [1- binopdf (0,N,p)] · k - (1-p) · binopdf (0,N,p) · h = E0 + (1-p) [k-(k+h) binopdf (0,N,p)]. 因此，只要计算出超订票数S=0,1,2, … 的期望值,并比较它们的大小，就可以得到最优的超订票数和最大盈利的期望值。 2 MATELABE运算过程 （1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票，使该公司的预期损失达到最小？ Matlab软件中提供二项分布函数 根据题意N=300，p=0.04，k=1500。假设机票价就是航空公司的盈利，h=1500*0.2=300。 Matlab中相应的程序: N=150; p=0.04; k=1500; h=300; S=0; while binopdf(S,N+S,p)答案

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