薛定谔方程

null1932 诺贝尔物理学奖W.海森堡 创立量子力学 并导致氢的同素异形的发现1932 诺贝尔物理学奖1933 诺贝尔物理学奖E.薛定谔 量子力学的广泛发展1933 诺贝尔物理学奖null一个自由粒子有动能 E 和动量P， 对应的德布罗意波的频率和波长：微观物体：13-6 波函数 薛定谔方程null ‘波函数’是什么？波函数又称为几率波一 波函数 null由经典物理学可知：单色平面简谐波波动方程：物质波既然是波, 就要有波函数.null波函数的统计解释t时刻，粒子在空间某处发现一个实物粒子的概率同波函数平方成正比t时刻在r附近小体积dV中出现微观粒子的概率为实物粒子的德布罗意波是一种概率波波函数(x,t)本身无物理解释. 但| |2=  *有物理意义.波函数的平方表征了t 时刻，粒子在空间r处出现的概率（密度）null物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。结论几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个 粒子的单次过程.null波函数的性质粒子在整个空间出现的几率：1）波函数具有归一性 2）单值性： 3）连续性 4）有限性 波函数的标准化条件波函数的统计解释（波恩诠释）波函数本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻t、在空间 r点处，微观粒子出现的几率，（玻恩把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起来）null (r,t)……称为“几率振幅” 或“状态”(r,t) 2……称为“几率密度”或“几率”(r,t) 2 = (r,t)*(r,t)若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2···， 则它们的线性组合=C11,+C22+··· 也是该体系的一个可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。 5）状态叠加原理：理解：波函数和微粒的波粒二象性弱电子流衍射实验 电子双缝衍射实验null电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，衍射图样是大量电子出现几率的统计结果。1）1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验．null2）电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性（进一步理解波函数）。当双缝同时打开时， 一个电子同时处在 1态和2态。双缝 同时诱导的状态是 它们的线性组合态。单缝1使通过它的电子处于1态；单缝2使其处于2态。处于两态的几率分别为：null只开缝1---强度分布为I1 (状态为1，几率分布为  12 )只开缝2---强度分布为I2 (状态为2，几率分布为  22 )电子有粒子性，一个电子只能从一个缝通过； 电子有波动性，其状态服从叠加原理.状态为 1 + 2, 几率分布为  1 + 22 同时开缝1,2---分布不是I1+ I2,而是双缝干涉分布。null因为状态叠加第三项称为相干项。量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。它是由微观粒子波粒二象性所决定的。处于两态的几率分别为：双缝同时打开时，电子的几率分布为：态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律. （而不是几率的相加律）null1926年，奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961）得出的方程称为薛定格方程。贡献：量子力学找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。1933年薛定格获诺贝尔物理奖。二 薛定谔方程null对于非相对论粒子一维自由粒子的波函数（1）一维自由粒子的薛定谔方程（2）粒子处在外场中的薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为：null薛定谔方程拉普拉斯算符 哈密顿量算符势场中的薛定谔方程null如果势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：用分离变量法将波函数写为：(3) 定态薛定谔方程null粒子在空间出现的几率密度几率密度与时间无关，波函数描述的是定态定态薛定谔方程粒子在一维势场中A 是待定复常数， E 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量null定态微观粒子的势能函数 U 与时间t无关的稳定的势场问，例如 自由运动粒子…………U = 0  氢原子中的电子……这时波函数 （r，t）可以用分离变量法分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。null 自由粒子的定态薛定格方程为二阶常系数常微分方程最简单的例子：介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。自由运动区 U = 0null所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解:沿 + x 方向的平面单色波沿 - x 方向的平面单色波null13-7 一维无限深方势阱一.一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为:分析： 这种势场表示粒子可以在势阱中运动，但不能越出势阱，因为x  0 ,x  a 区域的势能为无穷大。 （这是一个理想化的模型）null（定态问题）null式中 A、 B、 k可用边界条件、归一化条件确定根据边界条件由（1）可得：由（2）可得：null‘ k ’是什么？——能量本征值 已知： 式中的A 可由归一化条件确定：而方程的解为：即：null薛定谔方程的解：势阱中粒子的波函数：——本征函数——能量本征值 null（1）能量是量子化的相邻两能级的间隔：当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著， 可把能量看成连续，回到了经典理论2. 一维无限深方势阱中粒子运动特点：这是解薛定谔方程得到的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设。量子数每一能量值对应一个能级null对不同的 n可得粒子的能级图在高能级上可看成能级连续分布经典量子等价玻尔的对应原理null势阱内的粒子只能处于这些能量本征态或这些态的线性叠加态一维无限深势阱中各处出现的几率（2）粒子只能处于能量本征态nullon+1个节点稳定的驻波能级！null（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。（3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点. 节点处找到粒子的几率为零.例：n=8（1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。（4）当 n，粒子在各处出现的几率相同——量子化消失(3) 要注意的几个问题null48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.nullnull（2）隧道效应（3）扫描隧道显微镜(STM)图象放大：108倍分辨本领：10-10mnull13-8 氢原子的量子力学处理1.氢原子的薛定谔方程 氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，（U是 r的函数，不随时间变化，是定态问题，但不是一维问题） 按一般的定态薛定谔方程： 势能函数具有球对称性，故用球坐标表示：其波函数:设 U =0, 则 r 处：null分离变量可得：解氢原子方程，可得电子的波函数及氢原子的一些量子化特征：（1）能量量子化：玻尔理论与量子力学结果一致。（2）角动量量子化：微观粒子具有动量，此动量对坐标原点（核）就有角动量null[玻尔理论中角动量量子化的表式： ]玻尔理论与量子理论在此问题上的异同：相同处： 对应着轨道 无轨道可言 L的取值与 En的取值 都由主量子数n决定L的取值与En的取值分别由角量子数 l 和主量子数n决定n 取值不限n一定时可取n个值 不同之处：电子运动的能量、角动量是量子化的。null（3）角动量的空间量子化（轨道平面取向的量子化）玻尔和量子理论都认为：氢原子中角动量L在空间的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空间量子化），LLLLLzLzLL这个特征是以角动量在空间某一特定方向（例如 外磁场 方向）Z 轴上的投影来表示的。null2 氢原子的定态（用一组量子数来描述） a. n主量子数：氢原子能量状态主要取决于 n 。 c. m（轨道）磁量子数：决定角动量空间量子化 n个值 （2）无外场时，电子的状态用 n , l 表示。n 个值称为电子null在无外场时，氢原子内电子的状态有：null解： n=4 , 可取 0,1,2,3 四个值，依题意 = 2注意：量子力学中虽没有轨道的概念，但有电子的空间 几率 分布的概念。null13-9 电子自旋 四个量子数 原子光谱的双线结构问题:一条谱线分裂成两条！1. 斯特恩—盖拉赫实验：null2. 电子自旋1925年,乌伦贝克,高斯密特提出‘电子自旋’的半经典假设:（1）电子是带电小球,除绕原子核旋转有轨道角动量以外，还绕自身的轴旋转有自旋角动量和自旋磁矩。（2）自旋角动量S的取值是量子化的null（3）自旋角动量取向量子化的表示： null前面的讨论，原子中电子的状态应由四个量子数来 决定：13-10 原子的中电子壳层结构 13-10 原子的中电子壳层结构 1. 原子的电子壳层结构：1916年，Kossel提出了电子壳层分布模型：n相同的电子处于同一壳层，n大则距离原子核越远，能量越高；同一壳层内，l不同分为不同支壳层，l越大，相应支壳层能量越高。原子核外电子的运动状态由四个量子数描述：副量子数l = 0, 1, 2, 3, 4, 5 支壳层符号 s p d f g h 主量子数n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 壳层符号 K L M N O Pnull K L M 电 子 组 态 N核外电子数null在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的状态（量子态）－ (不可能有相同的四个量子数n,l,ml,ms)1个值3个值5个值(2l+1) 个值n 给定时原子中 n 相同的电子数目最多为n=1 的电子，最多 2 个 n=2 的电子，最多 8 个 n=3 的电子，最多 18 个2. 泡利不相容原理:null是否‘ P 房间’ 有 6 个状态相同的电子？否！相当于“一个房间、三张床、上下铺” 6 个电子状态是不同的其他以此类推6个 P 电子2个 S 电子10个 d 电子null3. 能量最小原理原子系统处于稳定状态时每个电子趋向占有可能的最低能级.（1）主量子数n 越低，离核越近的壳层首先被电子填满.（2）能级也与副量子数有关，有时n 较小的壳层未满， n 较大的壳层上却有电子填入.能级高低由半经验公式决定 n+0.7 l例：4S 和 3d 状态先填 4S 态