2012高考数学 冲刺必考专题解析 立体几何怎么解-高考必考

www.shuxue1618.com 立体几何题怎么解 高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 高中数学下载平台 ：数学1618 （http://www.shuxue1618.com） 为您分享 例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° 讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°. 而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a, . （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°. 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题. 例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB​1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角. 战略合作伙伴：有机蔬菜专卖网：http://www.like-green.com 讲解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD= ∴； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1, ∴∠B1AC=600 ∴， ∴, ∴ , ∴. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例3 如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I） 求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 讲解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角a—l—的平面角.. 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO= （2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctg 比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看. 例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值． 图① 图② 讲解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当 . 故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为 对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是: 某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例5 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比． 讲解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则 h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误. 例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离） 为p的抛物线. （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积． 讲解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l， 由题意得：, 即, 所以母线和底面所成的角为 （2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与 AC的交点，则OO1//AB且 在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得 R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题: 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的 长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母 线长为1，则该几何体的体积等于 ． 例7 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD； (3) 求二面角B—FC—G的正切值. 讲解: ∵F、G分别为EB、AB的中点， ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC， ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求. 例8 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ∥平面CDD1C1； (2) 求证PQ⊥AD； (3) 求线段PQ的长. 讲解: （1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作 QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1. ∵ , ∴PP1QQ1 . 由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1  而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1 （2）AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1， 又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ. （3）由（1）知P1Q1 PQ, ，而棱长CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=. 在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得 P1Q1=. 做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,上的动点,试求的最小值, 你能够应用函数计算吗? 试试看. 并与如下2002年全国高做以对照, 你会得到什么启示? 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN= （1） 求MN的长； （2） 当为何值时，MN的长最小； （3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。 立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关. � �EMBED PBrush��� � EMBED PBrush ��� �EMBED PBrush��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� 分享 互助 传播 _1105177766.doc