应用随机过程7-布朗运动

2010-7-30 理学院施三支 第7章 布朗运动 7.1 基本概念与性质 7.2 Gauss过程 7.3 布朗运动的鞅性质 7.4 布朗运动的Markov性 7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律 7.6 布朗运动的几种变化 2010-7-30 理学院施三支 7.1 基本概念与性质 定义7.1.1 随机过程 }0),({ ttX 如果满足 0)0().1( X 则称{ )(tX , 0t }为布朗运动，也称维纳过程。常记为 )(tB , 0t 或 )(tW , 0t 。 (2). { )(tX , 0t }有独立的平稳增量 (3). 对每个 0t ， )(tX 服从正态分布 ),0( 2tN  如果 1 ，称之为布朗运动，如果 1 ，则 }0,/)({ ttX  为标准布朗运动。不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。 注： 2010-7-30 理学院施三支 性质7.1.1 布朗运动 }0),({ ttB 具有如下性质： (1). 增量具有正态性。即 ),0(~)()( stNsBtB  ， ts  如果没有假定 0)0( B ，即 xB )0( ，称之为始于 x的布朗运动， 记为 )(tBx ，显然 )()( 0 tBxtBx  。 注： (2). 增量是独立的。即 )()( sBtB  与 )(uB 独立，这里 tsu  (3). 路径的连续性。 0),( ttB 是 t的连续函数。 2010-7-30 理学院施三支 设 }0),({ ttX 是随机过程，如果它的有限维分布时 空间平移不变的，即 注： }0)0(|)(,,)(,)({ 2211  XxtXxtXxtXP nn })0(|)(,,)(,)({ 2211 xXxxtXxxtXxxtXP nn   设 0),( ttB 是标准布朗运动，计算 }0)2({ BP ， }2,1,0,0)({  ttBP 。 例7.1.1 则称此过程为空间齐次的。 布朗运动过程具有空间齐次性。 定义7.1.2 2010-7-30 理学院施三支 7.2 高斯过程 定义7.2.1 有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。 设 ),(~ 211 NX ， ),(~ 222 NY 相互独立，则 ),(~  NYX 。其中 ),( 211   ，      222121 2 1 2 1   引理7.2.1 )(tB 是布朗运动，求：(1) )4()3()2()1( BBBB  的 分 布 ； (2) )1() 4 3() 2 1() 4 1( BBBB  的 分 布 ； (3) } 3 2)({ 1 0  dttBP 。 例7.2.1 布朗运动过程是均值为 0)( tm ，协方差函数为 ),min(),( stts  的高斯过程。 定理7.2.1 2010-7-30 理学院施三支 7.3 布朗运动的鞅性质 设 )(tB 是布朗运动，则 (1) )(tB 是鞅； (2) ttB 2))(( 是鞅；； (3) 对任何实数 u， } 2 )(exp{ 2 tutuB  是鞅。 定理7.3.1 2010-7-30 理学院施三支 7.4 布朗运动的马尔科夫性 定义7.4.1 设 0),( ttX 是一个连续随机过程，如果对任何 0, st ，有 ..)},(|)({}|)({ satXystXPFystXP t  则称为Markov过程。这里 }0),({ tuuXFt  布朗运动过程是马尔科夫过程。 定理7.4.1 2010-7-30 理学院施三支 7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律 记 xT 为布朗运动首次击中 x的时刻，即 })(:0inf{ xtBtTx  ，我们 可以计算出 从而 1}{lim}{   tTPTP xtx ，但是      0 0 20 222}{ dtdyedttTPET tx y xx        0 22 2 0 0 2 2 22 2 1 2 2 2 2 dye y xdtdye y yxy    10 2 212 1 2 2 dy y ex  0x 时   tx yx dyextBPtTP 2222})({2}{  2010-7-30 理学院施三支 则 xT 为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。直观地看，布朗运 动以概率 1击中 x，但它的平均时间是无穷的。 同样 0x 时   tx yx dyetTP 2222}{  故有       0,0 0, 2 || )( 22 3 2 u ueuxuf u x Tx  2010-7-30 理学院施三支 记 )(tM 为布朗运动在[0,t]中达到的最大值，即 )(max)( 0 sBtM ts  ，我 们可以计算出当 0x ，有   tx yx dyetTPxtMP 2222}{})({  记 )(tm 为布朗运动在[0,t]中达到的最小值，即 )(min)( 0 sBtm ts ，我们 可以计算出当 0x ，有     tx yx dyetTPxtmP 2222}{})({  设 )}({ tBx 为始于 x的布朗运动，则 )}({ tBx 在 ),0( t 中至少有一个零点的概率为  t ux dueux 0 22 3 2 2 ||  。 定理7.5.1 如果时间 使得 0)( B ，则称 为布朗运动的零点。 2010-7-30 理学院施三支 设 }0),({ ttB y 是布朗运动，则 b abatBP y arcsin2}),()({ 中没有零点在 。 定理7.5.3 )(tB y 在区间 ),( ba 中至少有一个零点的概率为 b aarccos2 。 定理7.5.2 2010-7-30 理学院施三支 7.6 布朗运动的几种变化 一、布朗桥 设 0),( ttB 是一个布朗运动，令 )1()()(* tBtBtB  ， 10  t 则称随机过程 }10),({ **  ttBB 为布朗桥(Brown Bridge) 定义7.6.1 注： 0)(* tEB )1()()( ** tstBsEB  布朗桥是高斯过程。且对任何 ，有10  ts 由定义可知， 0)1()0( **  BB 2010-7-30 理学院施三支 二、有吸收值的布朗运动 设 }0),({ ttB 是一个布朗运动， xT 为 )(tB 首次击中 x的时刻，令     x x Ttx TttX tZ , ),( )( 则 }0),({ ttZ 是击中 x 后，永远停留在那里的布朗运动，即带有 吸收值 x的布朗运动。 注：   x t y dye t xtZP 2 2 2 2})({  0),( ttZ 的分布：离散部分和连续部分分别是    y xy t u due t ytZP 2 2 2 2 2})({  2010-7-30 理学院施三支 三、在原点反射的布朗运动 设 }0),({ ttB 是一个布朗运动，令 0|,)(|)(  ttBtY 则称 }0),({ ttY 是在原点反射的布朗运动。 注： 0),( ttY 的分布 01 2 2})({ 2 2     yduetytYP y t u ， 2010-7-30 理学院施三支 四、几何布朗运动 设 }0),({ ttB 是一个布朗运动，令 0,)( )(  tetX tB 则称 }0),({ ttX 为几何布朗运动。 注： 0),( ttX 的均值函数和方差函数分别为 2)( tetEX  tt eetXVar  2))(( 设某人拥有某种股票的交割时刻为 T，交割价格为 K的欧式看涨期 权，即他具有在时刻 T固定的价格 K购买一股这种股票的权利。假 定这种股票目前的价格为 y，并按几何布朗运动变化，计算拥有这 个期权的平均价值。 例7.6.1 （股票期权的价值） 2010-7-30 理学院施三支 五、有漂移的布朗运动 设 }0),({ ttB 是一个标准布朗运动， ttBtX  )()( ， 我 们称 }0),({ ttX 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。 注： ba aabP }{ 之前上升布朗运动在下降 利用有漂移的布朗运动 0),( ttX 可以算出 作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结 幻灯片编号 1 幻灯片编号 2 幻灯片编号 3 幻灯片编号 4 幻灯片编号 5 幻灯片编号 6 幻灯片编号 7 幻灯片编号 8 幻灯片编号 9 幻灯片编号 10 幻灯片编号 11 幻灯片编号 12 幻灯片编号 13 幻灯片编号 14 幻灯片编号 15 幻灯片编号 16