数学理解：数学理解与理解记忆

理解与理解记忆 皮　磊 1 ,崔宏宇 2 (11新乡学院 ,河南 新乡 　453000; 21安阳工学院 ,河南 安阳 　455000) 3 摘 　要 : 数学学习强调理解 ,理解是数学学习的关键。理解记忆是学习数学的一种很重要的方法。文章就 数学理解的作用与理解记忆的重要性作一简要论述。 关键词 : 数学 ;理解 ;记忆 M a thema tics Understand ing and Understand ing M em or iza tion Abstract: Understanding is emphasized in mathematical learning and it is the key to mathematics learning. Understanding memoriza2 tion is a very important method in learning mathematics. This paper makes a general discussion on the effects of mathematics and the im2 portance of understanding memorization. Key words: mathematics; understanding; memorization 中图分类号 : G424　　　文献标志码 : A　　　文章编号 : 100025757 (2008) 0520109202 　　在数学教育界 ,最被广泛接受的一种思想是学生应该 要理解数学。在数学教育中有许多研究的目标是推行理解 地学习。专家认为 ,任何知识只有通过理解才能被人建构 意义 ,进入个体的经验中 ,成为其中的一部分 ,已有的知识 也才能真正地成为个人的知识 ( Personal Knowledge) ,才是 活的知识 ,学习者才能对其应用自如。 1. 理解是数学学习的关键 1. 1理解的含义 理解过程包含了一系列的认识活动。各学派的心理学 家对学习过程中的理解持有不同的观点。 ( 1 )经验与联 想。桑代克认为 ,理解是由于早先形成的习惯 ,要使学习者 领悟一个新问题 ,最好的办法是交给他们与此问题有关的 许多联结。巴甫洛夫认为 :人们是通过联想获得有关事物 关系的知识 ,理解就是利用旧联想形成新联想 ,即联想的联 想。 (2)顿悟。格式塔学派认为 :理解就是“顿悟 ”,是头脑 中知觉“完形 ”的出现 ,理解就是对事物间的关系突然贯通 与领悟。 (3)认知结构。以皮亚杰为代的日内瓦学派认 为 :个体对新事物的理解 ,就是新刺激被个体已有的知识结 构同化或顺应的过程。现代认知心理学认为理解的实质是 学习者以信息的传输、编码为基础 ,根据已有信息建构内部 的心理表征 ,并进而获得心理意义的过程。以上种种观点 都各自在一定程度中解释了理解的含义。我们认为 ,理解 (Understanding)就是个体运用已有知识、经验 ,认识事物的 联系、关系直至其本质规律的思维活动。不管是联想 ,还是 顿悟 ,最终的目的都必须达到对事物的本质规律的认识 ,从 而达到对新知识的理解。 1. 2数学理解的含义 我国学者李士锜认为 :“学习一个数学概念、原理、法 则 ,如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构 ,并使之 成为个人内部的知识网络的一部分 ,那么才说明是理解 了 ”。H iebert和 Carpenter认为 :“一个数学的概念或方法 或事实被理解了 ,如果它成为个人内部网络的一个部 分 ”。[ 1 ]英国的 S. Pirie和加拿大 T. Kieren (1994)提出了一 个数学理解发展的理论模型 ,强调理解是一个进行中的、动 态的、分水平的、非线性的发展 ,是反反复复的建构组织过 程。[ 2 ] 英国数学教育学家 R. 斯根普 (R ichard R. Skemp)将数 学理解分为工具性 ( Instrumental)理解和关系性 ( Relation2 al)理解。[ 3 ]工具性理解是一种语义性理解或一种程序性理 解 ,即符号 A所指代的事物是什么 ,规则 R所指定的每一 个步骤是什么及如何操作。关系性理解则还需要加上对符 号意义和替代物本身结构上的认识 ,获得符号指代物意义 的途径 ,以及规则本身有效性的逻辑依据等的深刻认识。 简单地说 ,工具性理解就是知道如何求答 ,关系性理解则是 除了知道求外 ,还要知道为什么这样做。就数学知识 的学习而言 ,斯根普明确指出 ,更多的理解应当定位于关系 性理解。因为按照工具性理解 ,学生要记住的知识很多 ,而 关系性理解能使学生理解知识间的本质联系 ,进而能整体 地把握所学的知识 ,这样不仅减轻记忆负担 ,而且容易记 牢。同时 ,学生通过关系性理解知识 ,可以提高知识的迁移 901 第 24卷 　第 5期 Vol. 24 　　　　　　　　四川教育学院学报 JOURNAL OF SICHUAN COLLEGE OF EDUCATION 2008年 5月 May. 2008 3 收稿日期 : 2008202221 　作者简介 :皮　磊 (1969—) ,男 ,广西梧州人 ,讲师 ,硕士 ,研究方向 :数学与数学教育研究 ; 崔宏宇 (1968—) ,女 ,河南濮阳人 ,副教授 ,硕士 ,研究方向 :数学与数学教育研究。 能力 ,更易于发展他们的创新思维。 1. 3数学理解在数学学习中的作用 由于数学知识具有较强的抽象性和概括性 ,因而数学 理解较之一般的理解有更高的。就对概念或法则的学 习过程而言 ,“工具性理解 ”应当是其中一个重要的 ,甚至 是不可缺少的环节。学生在学习新的数学概念或数学公式 时 ,首先是把该对象与代表它的符号视为等同的 ,随后对符 号本身的操作 ,包括对它的替代物 ———学习对象的识别 ,以 及对符号本身的运算等都属于工具性理解的学习活动。传 统的“定义 (定理 ) —实例 —练习 —习题 ”的数学教学模式 所表现出来的对于理解的定位就是“工具性理解 ”。 我们的教学活动的最终目的是让学生达到“关系性理 解 ”。斯根普给出了关系性理解的 4个优势 :关系性理解更 有利于学习者解决新的问题 ;关系性理解更易于记忆 ;关系 性理解本身就是一个数学学习的目的 ;关系性理解有助于 形成高质量的知识结构。数学的理解是一个动态的、组织 的过程 ,数学的理解不能一步到位 ,需要经历一定的过程才 可以达到 ,只有从工具性理解达到关系性理解 ,学生才能把 握数学对象的本质。教师的教学不应仅仅局限于学生的工 具性理解 ,更应关注学生的关系性理解。 能用语言表述是衡量学生对数学知识理解的标志 ;能 否进行实际操作是衡量学生是否达到对数学知识确切理解 的主要标志 ;能否进行具体运用是衡量学生是否达到对数 学知识深刻理解的重要标志。[ 4 ]学生在进行数学学习时 , 能用自己的语言来正确表述数学概念、公式、法则等数学知 识 ,依据自身已有的数学知识和经验去对教师所讲的内容 做出解释 ,根据数学内容来提出问题和回答问题 ,能进行判 断、运算、推理、证明等 ,并能综合运用所学的数学知识解决 相关的数学问题 ,这样才是达到对数学知识的真正理解。 2. 数学学习中要重视理解记忆 2. 1数学学习中理解记忆的重要性 一提到数学学习 ,大家自然而然想到的是推理、演算 等 ,似乎学习数学与记忆不相关 ,认为数学是一门不需要记 忆的学科 ,即使死记硬背记住一些公式、定理、法则 ,也不能 很好的应用。其实不然 ,记忆在数学学习中具有相当重要 的作用 ,只是数学学习中的记忆与其它学科中的记忆有很 大差别。在数学学习中如果只是“死记 ”住一些定义、公 式、法则等是毫无用处的。因此 ,理解记忆在数学学习中的 地位举足轻重。只有对数学中的定义、公式、法则等达到了 理解记忆 ,才能灵活应用。 记忆方法各种各样 ,但基本的是两种 :机械记忆或者说 “死记 ”,无联系的记忆 ;另一种为有联系的记忆 ,即把各记 忆对象联系起来记忆 ,或把记忆对象与已记住的对象联系 起来记忆。理解记忆是联系记忆中的一种 ,是建立在一种 特殊联系基础上的 ,通常是因果联系或逻辑联系 ,这种联系 十分紧密、有力 ,所以是联系记忆中特别被重视的。 数学记忆从形式上可分为机械记忆、理解记忆和概括 记忆。机械记忆是指学生按照数学事实 ,根据定理、概念、 法则等所表现的形式进行记忆 ,这是最低层次的数学记忆 , 它在数学学习中也是必要的。如初等算术中“九九乘法 表 ”总要牢记 ;学代数 ,一元二次方程的求根公式总应记 得 ;学几何 ,最基本的一些定理总要记熟。当然 ,机械记忆 还必须发展 ,必须上升到理解记忆。理解记忆是指学生根 据对数学材料的理解 ,运用有关知识、经验进行记忆 ,理解 记忆必须要理解所学数学知识的意义 ,才能记得快、记得 牢。理解记忆对于数学学习来说是非常重要而必要的 ,就 象一颗零散的珍珠容易丢失 ,串在一起的一串珍珠不易丢 失 ,而理解记忆就象串起珍珠的链条 ,把所记忆的东西依据 不同的性质将它们串起来 ,就不易被遗忘 ,如等差数列的通 项公式 ,只是机械记忆它并不难 ,但如果理解到它是基于 “等差数列从第二项起 ,每一项是前一项加一个公差 ”这一 简单思想的 ,那就会记得更好。比理解记忆更高层次的记 忆是概括记忆 ,概括记忆是指在理解了所学的数学材料后 , 进一步把所学的数学知识与原有的数学知识、经验相联系 , 概括成一般的模式 ,并加以概括的记忆。 理解与记忆是相互渗透、相互促进的。李超教授在 《应从实际出发去强调理解 》一文中写到 :“就广义的‘理 解’而言 , ⋯⋯‘理解 ’伴随记忆而发生 ,‘理解 ’和记忆互相 渗透 ,‘理解 ’的过程中有记忆的过程 ,记忆的过程中也有 ‘理解 ’的过程 ,就狭义的‘理解 ’而言 ,既有‘理解 ’基础上 的记忆 ,也有记忆基础上的‘理解 ’。”李超教授又说 :“对于 学习中的记忆 ,教师应指导学生根据各种不同的具体情况 , 结合自身的特点 ,综合应用各种记忆方法。对于那些不难 知其然或知其所以然的知识 ,就应当让学生在知其然或知 其所以然的基础上进行记忆。要指导学生尽可能恰到好处 地联系自己很熟悉的事物来进行记忆 ”。 2. 2数学记忆的培养 数学记忆和其它记忆一样 ,可应用记忆规律进行培养。 第一 ,要注意理解所记忆的内容并加以系统化。数学记忆 一定要理解所要记忆的数学内容 ,使记忆内容与原有的数 学认知结构建立密切的多方面的联系 ,即充分利用已有的 知识经验 ,使新联系在旧联系的基础上建立起来 ,并把新知 识纳入相应的旧的知识系统之中 ,成为旧知识系统的组成 部分 ,就是“将新问题转化为老问题 ,用已学知识探索新知 识 ”。这样记忆的同化过程就可顺利进行 ,记忆就会全面、 精确、快速而牢固。第二 ,把握数学本身特点 ,增强记忆效 果。第三 ,加强练习和复习 ,以增加记忆的牢固性。第四 , 掌握记忆方法 ,提高记忆的效率。 参考文献 : [ 1 ]　黄燕玲 ,喻平. 对数学理解的再认识 [ J ]. 数学教育学 报 , 2002, 11 (3) : 40 - 431 [ 2 ]　李士锜. PME:数学教育心理 [M ]. 上海 :华东师范大 学出版社 , 2001: 64 - 871 [ 3 ]　马复 .试论数学理解的两种类型 [ J ]. 数学教育学报 , 2001, 10 (3) : 50 - 531 [ 4 ]　陈琼 ,翁凯庆. 试论数学学习中的理解学习 [ J ]. 数学 教育学报 , 2003, 12 (1) : 17 - 191 (责任编辑 :刘春林 　责任校对 :林 　子 ) 011 四川教育学院学报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年 5月 Administrator 高亮