大学数学公式总结大全

- 1 - 高等数学公式 导数公式：导数公式：导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表：基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x + == + − = + = ，　，　，　 ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 =′ =′ ⋅−=′ ⋅=′ −=′ =′ 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x + −=′ + =′ − −=′ − =′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +±+= ± += += += +−=⋅ +=⋅ +−== +== Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx += − + − + = − + + − = − += + +−= ++= += +−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 ∫ ∫ ∫ ∫∫ ++−=− +−+−−=− +++++=+ − === − C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 ππ - 2 - 一些初等函数：一些初等函数：一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限：两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式：三角函数公式：三角函数公式： ····诱导公式：诱导公式：诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ····和差角公式：和差角公式：和差角公式：和差角公式： ····和差化积公式：和差化积公式：和差化积公式：和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin βαβα βα βαβα βα βαβα βα βαβα βα −+ =− −+ =+ −+ =− −+ =+ αβ βα βα βα βα βα βαβαβα βαβαβα ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg ± ⋅ =± ⋅ ± =± =± ±=± 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( µ µ µ x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx − + = −+±= ++= + − == + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ...590457182818284.2) 1 1(lim 1 sin lim 0 ==+ = ∞→ → e x x x x x x - 3 - ····倍角公式：倍角公式：倍角公式：倍角公式： ····半角公式：半角公式：半角公式：半角公式： α α α α α αα α α α α α αα αααα cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin − = + = − + ±= + = − = + − ±= + ±= − ±= ctgtg 　　 　　　　　　　　　　　　 ····正弦定理：正弦定理：正弦定理：正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin === ····余弦定理：余弦定理：余弦定理：余弦定理： Cabbac cos2222 −+= ····反三角函数性质：反三角函数性质：反三角函数性质：反三角函数性质： arcctgxarctgxxx −=−= 2 arccos 2 arcsin ππ 　　　 高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式————————莱布尼兹（莱布尼兹（莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibnizLeibnizLeibniz）公式：）公式：）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv ++ +−− ++′′ − +′+= = −−− = −∑ Λ Λ Λ 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf = ′ ′ = − − −′=− )(F )( )( )()( )()( ))(()()( ξ ξ ξ 曲率：曲率：曲率：曲率： . 1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s = = ′+ ′′ == ∆ ∆ = ′∆′∆ ∆ ∆ = =′′+= →∆ 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： αα α α α α αα α ααα ααα 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg − − = −= −= α α α α α α ααααα ααα 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg − = − = −=−=−= = - 4 - 定积分的近似计算：定积分的近似计算：定积分的近似计算：定积分的近似计算： ∫ ∫ ∫ −− − − +++++++++ − ≈ ++++ − ≈ +++ − ≈ b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )](4)(2)[( 3 )( ])( 2 1 [)( )()( 1312420 110 110 ΛΛ Λ Λ 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式： ∫ ∫ − − = = ⋅= ⋅= b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 αα θ θ θ ϕϕ ,cos)(][ ..sin, cos ,,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ ϖϖϖϖ ϖϖϖϖ ⋅×==⋅×= ×=⋅==×= ++⋅++ ++ = ++=⋅=⋅ +=+ ⋅= −+−+−== - 5 - （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 ,, 22 2 11 };,,{, 13 02 ),,(},,,{0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 =+− =−+ =+ =++ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += == − = − = − ++ +++ = =++ =+++ ==−+−+− c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA ϖ ϖ 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F x dx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ⋅− ∂ ∂ − ∂ ∂ =−== ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = == ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ == ∆+∆=≈∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ，　　，　隐函数 ＋，　　，　　隐函数 隐函数的求导公式： 　　　　 时，，当 　　　　 　　　　 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 　　　全微分： 0),,( )()(0),( ),(),( )],(),,([ )](),([ ),(),( 2 2 - 6 - ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎩ ⎨ ⎧ = = 　　　　 　　　　 　　　隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 )},,(),,,(),,,({1 ),,(0),,( },,{, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy − = − = − =−+−+− = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = =−′+−′+−′ ′ − = ′ − = ′ − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 ϖ ϖ ωψϕ ωψϕ ω ψ ϕ 方向导数与梯度：方向导数与梯度：方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( ∂ ∂ ∴ ⋅+⋅=⋅= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ϖϖϖϖ ϖϖ ϕϕ ϕ ϕϕ 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− <− ⎩ ⎨ ⎧ > < >− ===== 　　　　　　　不确定时 值时，　　　　　　无极 为极小值 为极大值 时， 则： 　　，令：设 ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx - 7 - 重积分及其应用：重积分及其应用：重积分及其应用：重积分及其应用： ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ++ −= ++ = ++ = => == ==== ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +== = ′ D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 2222 3 2222 3 222 22 D 22 )( ),( )( ),( )( ),( },,{)0(),,0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( σρσρσρ σρσρ σρ σρ σρ σρ θθθ ，　　，　　 ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量： 　　平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ΩΩΩ ΩΩΩΩ Ω Ω Ω Ω +=+=+= ===== == =⋅⋅⋅= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r ρρρ ρρρρ ϕθϕϕθθϕϕθϕ θϕϕθϕϕ ϕ θϕ θϕ θθθ θθθ θ π π θϕ )()()( 1 , 1 , 1 sin),,(sin),,(),,( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),,( ,),,(),,(,sin cos 222222 2 0 0 ),( 0 22 2 ，　　，　　转动惯量： ，　　其中　　　　重心： ，　　球面坐标： 其中： 　　　柱面坐标： 曲线积分：曲线积分：曲线积分：曲线积分： ⎩ ⎨ ⎧ = = <′+′= ≤≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ )()()()()](),([),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L ϕ βαψϕψϕ βα ψ ϕ β α 　　特殊情况：　　 则：　　的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 - 8 - 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，＝在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( · )0,0(),(),(2 1 · 2 1 2, )()( )coscos( )}()](),([)()](),([{),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 ==+= + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −=== ∂ ∂ − ∂ ∂ =−= += ∂ ∂ − ∂ ∂ += ∂ ∂ − ∂ ∂ +=+ ′+′=+ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx D L D LD L L L L βαβα ψψϕϕψϕ ψ ϕ β α 曲面积分：曲面积分：曲面积分：曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ++=++ ±= ±= ±= ++ ++= dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ]),,(,[),,( ],),,([),,( )],(,,[),,( ),,(),,(),,( ),(),(1)],(,,[),,( 22 γβα系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式：高斯公式：高斯公式： - 9 - ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ ∑ ∑∑ ∑Ω ∑ = ++==⋅ < ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ++=++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n ϖ ϖϖ ϖϖ div )coscoscos( ...,0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： —通量与散度：—高斯公式的物理意义 γβα νν γβα 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式————————曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系： ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ Γ Γ ∑∑ ∑ Γ ⋅=++Γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ++= ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ϖϖϖ ϖ 的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( γβα 常数项级数：常数项级数：常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 )1( 321 1 1 1 12 ++++ + =++++ − − =++++ − Λ Λ Λ 级数审敛法：级数审敛法：级数审敛法：级数审敛法： - 10 - 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u ∞→ + ∞→ ∞→ +++= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < = lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 Λ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 —莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( + ∞→ + ≤≤ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ >+−+−+−+− nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu ΛΛ 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： ∑ ∑ ∑ ∑ > ≤ − +++++ ++++ 时收敛 １时发散ｐ 　　级数：　　 收敛；　　级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 )1(1 )1()1()2( )1()2( )2( )1( 2 321 21 p n p n nn uuuu uuuu p n n nn ΛΛ ΛΛ 幂级数：幂级数：幂级数：幂级数： - 11 - 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 =+∞= +∞== =≠ = = > < +++++ ≥ − < ++++++ + + ∞→ R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数 时，发散 时，收敛于 　　 ρ ρ ρ ρ ρ ΛΛ ΛΛ 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： ΛΛ ΛΛ +++ ′′ +′+== =− + = +−++− ′′ +−= ∞→ + + n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( !2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( !2 )( ))(()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： ξ 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( )1( !5!3 sin )11( ! )1()1( !2 )1( 1)1( 12 1 53 2 +∞<<−∞+ − −+−+−= <<−+ +−− ++ − ++=+ − − x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 　　　 　　　 ΛΛ Λ Λ Λ 欧拉公式：欧拉公式：欧拉公式：欧拉公式： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = + = += − − 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 　　　或 三角级数：三角级数：三角级数：三角级数： 。上的积分＝ 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，，，其中， 0 ],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 ππ ωϕϕ ϕω − ==== ++=++= ∑∑ ∞ = ∞ = ΛΛ nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数：傅立叶级数：傅立叶级数：傅立叶级数： - 12 - 是偶函数　　　，余弦级数： 是奇函数　　　，正弦级数： （相减） （相加） 　 　　　 　　　 其中 ，周期 ∑∫ ∑∫ ∫ ∫ ∑ +==== ==== =+−+− =++++ =+++ =+++ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == == =++= − − ∞ = nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2,1,0cos)( 2 0 sin)(3,2,1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3,2,1(sin)( 1 )2,1,0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ π π π π π π π π π π π π π π π 周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数： - 13 - ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == == =++= ∫ ∫ ∑ − − ∞ = l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3,2,1(sin)( 1 )2,1,0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 Λ Λ 　　　 　　　 其中 ，周期 π π ππ 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。　　得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 　或　一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy − =∴=++== == +== = =+=′ ∫∫ )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( ϕ ϕ ϕ 一阶线性微分方程： )1,0()()(2 ))((0)( ,0)( )()(1 )()( )( ≠=+ ∫+∫=≠ ∫== =+ ∫ − − nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP =∴ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =+= =+ ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 ≠ ≡ =++ xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 ∆ ′′′=++∆ =+′+′′ - 14 - 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2 >− qp xrxr ececy 21 21 += 两个相等实根 )04( 2 =− qp xrexccy 1)( 21 += 一对共轭复根 )04( 2 <− qp 2 4 2 2 21 pq p irir − =−= −=+= βα βαβα ， ， )sincos( 21 xcxcey x ββ α += 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， ]sin)(cos)([)( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x ωω λ λ λ += = =+′+′′ 概率公式整理 1．随机事件及其概率 吸收律： AABA AA A =∪ =∅∪ Ω=Ω∪ )( ABAA A AA =∪∩ ∅=∅∩ =Ω∩ )( )(ABABABA −==− 反演律： BABA =∪ BAAB ∪= ΙΥ n i i n i i AA 11 == = ΥΙ n i i n i i AA 11 == = 2．概率的定义及其计算 )(1)( APAP −= 若 BA⊂ )()()( APBPABP −=−⇒ - 15 - 对任意两个事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP −=− 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ )()()( BPAPBAP +≤∪ )()1()()()()( 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP ΛΛΥ − ≤<<≤≤<≤== −+++−= ∑∑∑ 3．条件概率 ( )=ABP )( )( AP ABP 乘法公式 ( ) )0)(()()( >= APABPAPABP ( ) ( ) )0)(( )()( 121 12112121 > = − − n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP Λ ΛΛΛ 全概率公式 ∑ = = n i i ABPAP 1 )()( )()( 1 i n i i BAPBP ⋅=∑ = Bayes 公式 )( ABP k )( )( AP ABP k= ∑ = = n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 )()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP −= ≤−≤=≤< 5．离散型随机变量 - 16 - (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()( 1 =−== − kppkXP kk (2) 二项分布 ),( pnB 若 P ( A ) = p nkppCkXP knkk n ,,1,0,)1()( Λ=−== − * Possion 定理 0lim >= ∞→ λ n n np 有 Λ,2,1,0 ! )1(lim = =− −− ∞→ k k eppC k kn n k n k n n λ λ (3) Poisson 分布 )(λP Λ,2,1,0, ! )( === − k k ekXP k λ λ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),( baU ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ << −= 其他,0 , 1 )( bxa ab xf ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = 1 , ,0 )( ab ax xF (2) 指数分布 )(λE ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − 其他,0 0, )( xe xf xλ λ - 17 - ⎩ ⎨ ⎧ ≥− < = − 0,1 0,0 )( xe x xF xλ (3) 正态分布 N (µ , σ 2 ) +∞<<∞−= − − xexf x 2 2 2 )( 2 1 )( σ µ σπ ∫ ∞− − − = x t texF d 2 1 )( 2 2 2 )( σ µ σπ * N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞−= − xex x 2 2 2 1 )( π ϕ +∞<<∞−=Φ ∫ ∞− − xtex x t d 2 1 )( 2 2 π 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ∫ ∫∞− ∞−= x y dvduvufyxF ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 ∫ ∫∞− +∞ ∞− = x X dvduvufxF ),()( ∫ +∞ ∞− = dvvxfxf X ),()( ∫ ∫∞− +∞ ∞− = y Y dudvvufyF ),()( ∫ +∞ ∞− = duyufyf Y ),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈= 其他,0 ),(, 1 ),( Gyx A yxf (2) 二维正态分布 - 18 - +∞<<−∞+∞<<∞− × − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + −− − − − − yx eyxf yyxx , 12 1 ),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )())(( 2 )( )1(2 1 2 21 σ µ σσ µµ ρ σ µ ρ ρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),( >= xfxyfxfyxf X XY X 0)()()( >= yfyxfyf Y YX Y ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dyyfyxfdyyxfxf Y YX X )()(),()( ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dxxfxyfdxyxfyf X XY Y )()(),()( )( yxf YX )( ),( yf yxf Y = )( )()( yf xfxyf Y X XY = )( xyf XY )( ),( xf yxf X = )( )()( xf yfyxf X Y YX = 10. 随机变量的数字特征 数学期望 ∑ +∞ = = 1 )( k kk pxXE ∫ +∞ ∞− = dxxxfXE )()( 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )( kXE X 的 k 阶绝对原点矩 )|(| kXE - 19 - X 的 k 阶中心矩 )))((( kXEXE − X 的 方差 )()))((( 2 XDXEXE =− X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )( lkYXE X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ( )lk YEYXEXE ))(())(( −− X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XYE X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ( )))())((( YEYXEXE −− X ,Y 的相关系数 XY YDXD YEYXEX E ρ=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− )()( ))())((( X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) )()()( 22 XEXEXD −= 协方差 ( )))())(((),cov( YEYXEXEYX −−= )()()( YEXEXYE −= ( ))()()( 2 1 YDXDYXD −−±±= 相关系数 )()( ),cov( YDXD YX XY =ρ - 20 - 线性代数部分 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各部分间的联系。 充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷 的方法。 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不 知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。 基本运算 ① ABBA +=+ ② ( ) ( ) CBACBA ++=++ ③ ( ) cBcABAc +=+ ( ) dAcAAdc +=+ ④ ( ) ( ) AcddAc = ⑤ 00 =⇔= ccA 或 0=A 。 ( ) AA TT = ( ) TTT BABA ±=± ( ) ( )TT AccA = 。 ( ) TTT ABAB = ( )( ) ( ) 2 1 211 2 − ==− nn Cnn n Λτ nn AaAaAaD 2222222121 +++= Λ 转置值不变 AAT = 逆值变 A A 11 =− AccA n= γβαγβαγββα ,,,,,, 2121 +=+ ( )321 ,, ααα=A ，3 阶矩阵 ( )321 ,, βββ=B - 21 - BABA +≠+ ( )332211 ,, βαβαβα +++=+ BA 332211 ,, βαβαβα +++=+ BA BA B A B A = ∗ = ∗ 0 0 ( )( ) 1, =cjiE 有关乘法的基本运算 njinjijiij bababaC +++= Λ2211 线性性质 ( ) BABABAA 2121 +=+ ， ( ) 2121 ABABBBA +=+ ( ) ( ) ( ) cBAABcBcA == 结合律 ( ) ( ) BCACAB = ( ) TTT ABAB = BAAB = lklk AAA += ( ) kllk AA = ( ) kkk BAAB = 不一定成立！ AAE = ， AEA = ( ) kAkEA = ， ( ) kAAkE = EBAEAB =⇔= 与数的乘法的不同之处 ( ) kkk BAAB = 不一定成立！ 无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如 ( )( )EAEAEAA +−=−− 3322 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当 0=AB 时 0=⇒/ A 或 0=B 由 0≠A 和 00 =⇒/= BAB - 22 - 由 0≠A 时 CBACAB =⇒/= （无左消去律） 特别的 设 A 可逆，则 A 有消去律。 左消去律： CBACAB =⇒= 。 右消去律： CBCABA =⇒= 。 如果 A 列满秩，则 A 有左消去律，即 ① 00 =⇒= BAB ② CBACAB =⇒= 可逆矩阵的性质 i）当 A 可逆时， T A 也可逆，且 ( ) ( )TT AA 11 −− = 。 k A 也可逆，且 ( ) ( )kk AA 11 −− = 。 数 0≠c ， cA也可逆， ( ) 11 1 −− = A c cA 。 ii） A ， B 是