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5 等参元

2012-03-30 21页 ppt 2MB 16阅读

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5 等参元nullnull5.1坐标变换与平面四结点等参元 第五章 等参元 5.2平面八结点等参单元 5.3单元刚度矩阵 5.4 ANSYS等参元计算示例 null5.1 坐标变换与平面四结点等参元 图5-1(a)为一个任意四边形单元,称为实际单元。在实际单元内以对边的中点连线建立起一个局部坐标系,通过坐标转换把实际单元“映射”为如图5-1(b)所示的一个正方形,此坐标系称为单元的自然坐标系或等参数坐标系,正方形称为基本单元,基本单元内任一 点P( , )与实际单元内的一点P(x,y)唯一对应。(a) 直角坐标系与实际...
5 等参元
nullnull5.1坐标变换与平面四结点等参元 第五章 等参元 5.2平面八结点等参单元 5.3单元刚度矩阵 5.4 ANSYS等参元计算示例 null5.1 坐标变换与平面四结点等参元 图5-1(a)为一个任意四边形单元,称为实际单元。在实际单元内以对边的中点连线建立起一个局部坐标系,通过坐标转换把实际单元“映射”为如图5-1(b)所示的一个正方形,此坐标系称为单元的自然坐标系或等参数坐标系,正方形称为基本单元,基本单元内任一 点P( , )与实际单元内的一点P(x,y)唯一对应。(a) 直角坐标系与实际单元 (b) 自然坐标系与基本单元图5-1 四结点等参单元 第五章 等参元 null 实际单元与基本单元的对应关系可写为或 其中 用同样的形状函数来插值单元内任意一点(x, y)的位移(5-1)(5-2)第五章 等参元 null 为此单元的结点位移列向量, 为形状函数矩阵。这里采用了同样的形状函数式(5-2),用同样的结点插值函数示出单元的几何坐标x、y与u、v,这种单元称为等参单元。(5-3)即:第五章 等参元 null5.2 平面八结点等参元类似地可以推广到具有更多结点的单元,如图5-2所示(a) 直角坐标系与实际单元 (b) 自然坐标系与基本单元 图5-2 八结点等参单元该基本单元的位移函数可取为 (5-4)第五章 等参元 null其中在顶角结点与边中点上的形函数分别为(5-6)(5-5)第五章 等参元 null5.3 单元刚度矩阵首先给出单元内的应变列向量,对平面问,应有 (5-7)按坐标变换关系式(5-1),有 第五章 等参元 null写成矩阵表达式为:(5-8)由式(5-8)可解出其中称为坐标变换的雅可比(Jacabian)矩阵,其中(5-9)第五章 等参元 null合写成矩阵形式有(5-10)将式(5-3)代入式(5-7)中,则有为应变转换矩阵,按结点分块表示,有 第五章 等参元 null而 i=1,2,3,4(5-11) 将式(5-9)代入式(5-11),即可得出此单元的应变转换 矩阵 ,进而求出 。 同上,单元内的应力可表示为单元刚度矩阵由虚功原理求得,即第五章 等参元 null(5-12)上述积分在自然坐标系内进行,得 刚度矩阵 (5-13) 一般参数单元的计算都采用数值积分求式(5-13)的近似值,同时,为了减少计算点的数目和便于编写程序,多采用高斯数值积分。二维积分法的高斯求积公式为(5-14)第五章 等参元 null 式中, 为对应的坐标位置 、 值, 、 为权重系数,L、M为沿 、 方向的积分点数目。5.4 ANSYS平面结构计算示例5.4.1 问题描述 一个长方形面板,如图5-3所示,其高AB=1m,宽BC=1.5m,板厚b=0.04,孔半径R=0.2m,长方形面板的弹性模量E=210GPa,泊松比μ=0.3,约束条件:在长方形底边约束全部自由度。载荷:BC边施加垂直向下均布载荷F=10000000N/m。图5-3 长方形板结构 第五章 等参元 null5.4.2 ANSYS求解操作过程 打开Ansys软件,在Ansys环境下做如下操作。 (1)选择单元类型 运行Preprocessor>Element Type> Add/Edit/Delete,弹出Element Type对话框,如图5-4所示。单击Add,弹出 Library of Element Type窗口,如图5-5所 示,选择PLANE82。图5-4 单元类型 对话框 图5-5单元类型库对话框 第五章 等参元 null 在Element Types对话框中单击Options对话框,弹出如图5-6所示对话框,设置K3选项栏为Plane strs w/thk,设置K5选项栏为Nodal stress,设置K6选项栏为No extra output。表示单元是应用于平面应力问题,且单元是有 厚度的。 图5-6 PLANE82 单元类型选项对话框 运行Preprocessor>Real Constants> Add/Edit/Delete。弹出如图5-7所示对话框,点击Add,弹出如图5-8所示对话框,点击OK,弹出如图5-9所示对话框。在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮完 成设置。第五章 等参元 null (2)设置属性 运行Preprocessor>Material Props> Material Models,弹出如图5-10所示对话框,双击Isotropic,弹出图5-11所示对话框,在EX选项栏中设置数值2.1e11,在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。第五章 等参元 null图5-10选择材料属性对话框 图5-11 设置材料属性对话框 (3)建立模型 选择Preprocessor >Modeling >Create >Area > Rectangle>By 2 Corners;弹出如图5-12所示对话框,设置参数,WP X选项栏中填写0,WP Y选项栏中填写0,Width选项栏中填写1.5,Height选项栏中填写1,单击OK,设置完毕。第五章 等参元 null 继续运行Preprocessor >Modeling > Create > Area > Circle>Solid Circle;得到如图5-13所示对话框,在WP X选项栏中填写0.75,WP Y选项栏中填写0.5,在Radius选项栏中填写0.2,设置完毕点击OK按钮。得到如图5-14所示图形。图5-14 长方形板模型 第五章 等参元 null (4)划分网格 运行Meshing>Size Cntrls> ManualSize>Areas>All Areas,弹出如图5-15所示对话框,在SIZE选项栏中填写0.05,点击OK按钮;运行Mesh>Areas>Free划分网格, 网格划分如图5-16所示。图5-15 设置网格尺寸对话框 图5-16划分网格后板的有限元 模型 (5)施加约束 选择菜单Solution>Define Loads>Apply>Structure>Displacement>On Lines,选择长方形底边,弹出图5-17所示对话框,选择All DOF,单击OK。 第五章 等参元 null图5-17 对线施加全约束 (6)施加载荷 选择菜单Solution>Define Loads>Apply >Structure> Pressure>On Lines,弹出如图5-18所示对话框。拾取长方形上边,单击OK按钮。弹出如图5-19所示对话框。在VALUE选项栏中填写10000000。设置完 毕点击OK完成设置。图5-18 选取要施加载荷的边 图5-19 施加载荷对话框 第五章 等参元 null (7)求解 选择Solution>Solve> Current LS,弹出如图 5-20所示对话框。单击 OK按钮,开始计算,计算结束会弹出计算完毕对话框,单击Close。关闭对 话框计算完毕。图5-20 求解对话框 (8)后处理 运行General Postproc> Plot Results >Contour Plot>Nodal Solu。弹出如图5-21所示对话框,运行DOF Solution>Displacement vector sum和Stress>von Mises stress,分别显示长方形面板的位移云图和应力云图。图5-21 云图显示对话框 第五章 等参元 null结果显示如图5-22和图5-23所示。图5-22 位移变形云图 图5-23 等效应力云图 5.4.3 结论 从图5-22长方形面板的位移云图可知,最大位移发生在圆孔的上部,最大位移为0.757×10-4m。 从图5-23长方形面板的应力云图可知,最大应力发生在圆孔的两侧,最大应力为34.6MPa。第五章 等参元
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