高等数学课件（解析几何）

nullnull 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离空间直角坐标系坐标面、卦限、点的坐标距离公式一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标O 过空间一个定点 O，作三条互相垂直 的数轴，它们都以 O为原点且一般具有 相同的长度单位．它 们的正向通常符合右 手规则．这样的三条 坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系．null 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标 面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.坐标面：null 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标 面．x轴及y轴所确定的坐标 面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.坐标面：null第一卦限卦 限： 三个坐标面把 空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限．null第二卦限卦 限：null第三卦限卦 限：null第四卦限卦 限：null第五卦限卦 限：null第六卦限卦 限：null第七卦限卦 限：null第八卦限卦 限：null点的坐标： 设 M 为空间一已知点．过 点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x 轴、y 轴和 z 轴的交点依次为 P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标依次为x、y、z，我们 称这组数为点M的坐标，并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、 纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、 z 的点M 记为M(x，y，z)．PRx z yMQ二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．PQx 2x 1二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， y 2 y 1 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．二、空间两点间的距离与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．z 2z 1与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．二、空间两点间的距离因为| M1M2 | 2= | M1Q | 2 + | M2Q | 2= | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．d = | M1M2 | =所以与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．null 特殊地，点M (x，y，z )与原点O(0，0，0)的距离为d| OM | 例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点 为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 | M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214， | M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26， 所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角形．null 例2 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点． 解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有 |MA| 2|MB| 2， 即 (04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2． 解之得null 曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．与三元方程 F(x，y，z)0F(x，y，z )0有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都 满足方程F(x，y，z)0； 在这样的意义下，如果曲面 S (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程F(x，y，z)0， 那么，方程F(x，y，z)0就叫做 曲面S的方程，而曲面S就叫做方 程F(x，y，z)0的图形．null 例1 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么 |M 0M|R．由于| M 0M|所以 R，或 (xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2． 这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、 半径为R的球面的方程． 特殊地，球心在原点O(0，0，0)、 半径为R的球面的方程为 x 2y 2z 2R 2．null 例2 设有点A(1，2，3)和B(2，1，4)，求线段AB的垂直平 分面的方程． 解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何 轨迹． 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，由于| AM||BM|，所以等式两边平方，然后化简得 2x6y2z70． 这就是线段AB的垂直平分面的方程．null 解 通过配方，原方程可以改写成 (x1) 2(y2) 2z 25．研究这方程所表示的 曲面的形状．研究曲面的两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程； (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时， 例3 方程x 2y 2z 22x4y0表示怎样的曲面？这是一个球面方程，球心在点M 0(1，2，0)、比较：球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程 (xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2．，null 一般地，设有三元二次方程 A x 2A y 2A z 2D x E yF zG0， 这个方程的特点是缺x y ，y z ，z x 各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方就可以化成方程 (xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2． 的形式，它的图形就是一个球面．二、旋转曲面二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴．null 设M 1(0，y 1，z 1)为曲线C上的任一点， 设在yOz 坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f (y，z)0，把这曲线绕 z 轴旋转一周，就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面．它的方程可以求得如下：这时zz 1保持不变，且点M到 z 轴 的距离为 f (y 1，z 1)0．当曲线C绕z轴旋转时，点M 1也绕 z 轴转到另一点M (x，y，z) ，这就是所求旋转曲面的方程．那么有null便得曲线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程． 同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为null所以只要将方程zy cot  中的y 改成 例4 试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为的圆 锥面的方程． 解 在yO z 坐标面点，直线L的方程为zy cot  ， 因为旋转轴为 z 轴，就得到所要求的圆锥面的方程或其中acot  ．z 2a 2(x 2y 2)，null 解 绕 x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 例5 将xOy 坐标面上的双曲线分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．null这两种曲面都叫做旋转双曲面．绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为三、柱面三、柱面 例6 方程x 2y 2R 2表示怎样的曲面？ 解 方程x 2y 2R 2在xOy 面上表 示圆心在原点O、半径为R的圆． 在空间直角坐标系中，这方程不 含竖坐标 z，即不论空间点的竖坐标 z 怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y 能满足这方程，那么这些点就在这曲 面上． 因此，过xOy 面上的圆x 2y 2R 2，且平行于 z 轴的直线 一定在x 2y 2R 2表示的曲面上．所以这个曲面可以看成是由平行 于 z 轴的直线 l 沿xOy 面上的圆x 2y 2R 2移动而形成的．lnull柱面： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱 面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线．CLnull其准线是xOy 面上的曲线C： F(x，y)0． 上面我们看到，不含z的方程x 2y 2R 2在空间直角坐标系中 表示圆柱面，它的母线平行于 z 轴，它的准线是xOy 面上的圆 x 2y 2R 2． 一般地，只含x、y而缺z的方程F(x，y)0，在空间直角坐标 系中表示母线平行于z 轴的柱面，null它的准线是 xOy 面上的抛物线 y 22x，该柱面叫做抛物柱面． 又如，方程xy0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面 的直线xy0，所以它是过z 轴的平面．xy0 y 22x 例如，方程 y 22x 表示母线平行于z轴的柱面，null 类似地，只含x、z而缺y的方程G(x，z)0和只含y、z而缺x的 方程程H(y，z)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面． 例如，方程xz0表示母线平行于y轴的柱面，其准线是zOx 面上的直线 xz0．所以它是过y轴的平面．null 二次曲面一、椭球面二、抛物面三、双曲面二次曲面、截痕法椭球面、椭球面与平面的交线、特殊的椭球面椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线旋转抛物面、双曲抛物面单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线双叶双曲面一、椭球面一、椭球面 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．二次曲面： 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．截痕法：null椭球面： 由椭球面方程知 | x | a，| y | b，| z | c．程为xa ，y b，zc，这说明椭球面完全包含在一个以原点O为中心的长方体内，这长方体的六个面的方其中a、b、c叫做椭球面 的半轴．null 椭球面与三个坐标面的交线分别为椭球面与平面的交线：这些交线都是椭圆．null 椭球面与平面zz 1(| z 1|0，q>0，我们用截痕法来考察它的形状． 当z1>0时，截痕为椭圆 用 zz1作截面： 当z1<0时，无截痕； 当z10时，截痕为原点；原点叫做这椭圆抛物面的顶 点．二、抛物面二、抛物面 设p>0，q>0，我们用截痕法来考察它的形状．它的轴平行于z轴，顶点为 用 y0作截面：截痕为 用 yy1作截面：截痕为二、抛物面二、抛物面 设p>0，q>0，我们用截痕法来考察它的形状．它的轴平行于z轴，顶点为 用 x0作截面：截痕为 用 xx1作截面：截痕为null 如果pq，那么椭圆抛物面的方程变为这方程可看成是由坐标面xOz平面上的抛物线x 22pz绕这的轴旋 转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面． 旋转抛物面被平行于坐标面xOy 的平面zz 1(z 1>0)所截得的 截痕是圆null所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．双曲抛物面： 由方程三、双曲面三、双曲面单叶双曲面： 用 z0作截面：截痕为 用 zz1作截面：截痕为三、双曲面三、双曲面单叶双曲面： 用 x0作截面：截痕为 用 y0作截面：截痕为null 用平行于坐标面xOz 的平面 yy 1(|y 1|b)截双曲面所得截痕 是中心在y轴上的双曲线 如果y12b2，那么双曲线的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴．null双叶双曲面：null空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线．一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线．一、空间曲线的一般方程null所以应满足方程组 设F (x，y，z) 0和G (x，y，z) 0是两个曲面方程，它们的交 线为C．因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程， 反过来，如果点 M 不在曲线C上，那么它不可能同时在两个 曲面上，所以它的坐标不满足此 方程组．因此， 曲线C可以用上 述方程组来表示．上述方程组叫 做空间曲线C的一般方程．F (x, y, z)0G (x, y, z)0Cnull 解 方程组中第一个方程表示 母线平行于 z 轴的圆柱面，准线是 xOy 面上的圆，圆心在原点O， 半行为1．方程组中第二个方程表 示一个母线平行于 y 轴的柱面， 由于它的准线是zOx 面上的直线， 因此它是一个平面．方程组就表 示上述平面与圆柱面的交线．null表示上述半球面与圆柱面的交线． 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O，半行为a的 上半球面．第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy 面上的圆，方程组就二、平面的一般方程二、平面的一般方程所以任一三元一次方程A xB yC zD0的图形总是一个平面． 任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0 )及它的法线向量方程的一组数x0，y0，z0，即A x0 B y0C z0D0． 反过来，设有三元一次方程A xB yC zD0．任取满足该由于方程A xB yC zD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，n{A，B，C} 来确定，平面的点法式方程是三元一次方程A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0．则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，这是平面的点法式方程．方程A xB yC zD0称为平面的一般方程．null 考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关 系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线．讨论：D=0：A xB yC z0． A=0：B yC zD0． B=0：A xC zD0． C=0：A xB y D0． A=B=0：C zD0． B=C=0：A xD0． A=C=0：B y D0．null将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0． 例3 求通过 x 轴和点(4，3，1)的平面的方程． 解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴，于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0． 又由于平面通过x轴，它必通过原点，于是D0． 因此可设这平面的方程为 ByCz0． 又因为这平面通过点(4，3，1)，所以有 3BC0， 或 C3B．null 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．null 解 设所求平面的方程为 A x B yC zD0．因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、 Q、R的坐标都满足所设方程；即有解得将其代入所设方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程为此方程称为截距式方程． 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．null 多元函数的基本概念一、区域二．多元函数概念三．多元函数的极限四．多元函数的连续性邻域、内点、开集、边界点、边界连通性、区域、闭区域n维空间、点的坐标、两点间的距离二元函数的定义、值域、二元函数的图形二元函数连续性定义、函数的间断点多元连续函数的性质、多元初等函数一、区域一、区域 设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数．与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即邻域:U(P0，d ){P | |P P0|