索洛模型

null索洛简介**索洛简介1956年,麻省理工学院(MIT)的教授罗伯特•索洛写了一篇有关经济均衡增长路径的文章，这篇文章第一次引入了长期经济增长模型，又被称做“新古典增长模型”（建立在凯恩斯以前的经济学家所使用的古典模型基础上的）。 为此，索洛获得了1987年的诺贝尔经济学奖。 索洛对经济增长考察是从资本积累开始的。 索洛模型基本思路：先让劳动力和技术保持不变，然后逐步放宽假设（劳动力的变化和技术进步）研究经济增长。经济增长理论——索罗模型**经济增长理论——索罗模型第一节 资本积累 一. 基本假设条件 （1）劳动力和技术水平保持不变。 （2）两部门经济（居民和生产者）： Y=C+I 。 （3）生产函数规模不变 Y= F（K，L） 规模收益不变：λY= F（λK,λL） （4）储蓄函数S = sY，s----储蓄率, 0≤s ≤1二. 资本积累和稳态**二. 资本积累和稳态1. 人均生产函数（供给角度） 索洛生产函数为 Y=F（K，L ） 由于规模报酬不变，λY= F（λK,λL） 为简化分析：我们把上述变量都变成人均量 令λ=1/L，得 Y/L= F（K/L,1） 用y=Y/L代人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得： y=F（k，1）= f（k） 即人均产出只与人均资本有关。null**f(k)生产函数示意图二. 资本积累和稳态**二. 资本积累和稳态2. 人均消费函数（需求角度） 假设: 个人可支配收入DPI即为国民收入(Y) 自发消费a为零。 C = a+bY = bY 人均消费函数的推导 由Y=C+I 两边同除以L得：Y/L=C/L+I/L 令C/L=c，称人均消费；I/L=i，称人均投资。 y=c+i ①null**由S=sY, DPI=C+S， DPI=Y 得： C=(1-s)Y 两边同除以L得到人均量，用小写字母代替有：c=（1-s）y 代入①式得： y= （1 - s）y + i i = s y 该式表明投资与产出成正比。二. 资本积累和稳态**二. 资本积累和稳态3.投资函数 前面的分析得到i = s y 和 y=f(k)，整理得： i = s f(k) 从式中可以看出： (1) 人均资本k 越高，产出f（k）和人均投资i就越大。 (2) 投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时消费越少。null**0kyyicsf(k)f(k)产出、消费和投资的关系s1f(k)i1二. 资本积累和稳态**二. 资本积累和稳态4. 折旧 (1) 含义: 折旧是资本随着使用和时间的变化而受到的损耗和减少。 为简单起见，假设一个经济中所有的资本都以一个固定的比例δ折损减少。（δ称平均折旧率） 这样，如果年初资本数为k, 当年折旧掉的资本数量就是δk，与k成正比。null**折旧0kδkδk二. 资本积累和稳态**二. 资本积累和稳态5. 资本积累和稳态 综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影响能够用下列方程反映： Δk = i －δk= s f（k）－δk 其中，Δk是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。 当s f（k）>δk， 则Δk>0，资本存量增加； 当s f（k）<δk， 则Δk<0，资本存量减少; 当 s f（k）=δk， 则Δk=0，资本存量不变。null**k1k2k*i*=δk*δk*sf(k)投资、折旧和稳态f(k)说 明*说 明（1） 资本存量的不断增加反映了经济的增长，因为人均产出与人均资本成正比 y=f(k) （2） 当Δk=0时，资本存量会保持稳定不变的水平。我们称这个资本存量水平为资本存量水平的“稳定状态”，简称“稳态”，记为k*。 （3） 稳定状态是一个经济的长期均衡，具有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。null**s2f(k)k2*三、储蓄率变化对稳定状态影响三、储蓄率变化的影响**三、储蓄率变化的影响1. 储蓄率变化，形成新的稳态。 和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有较高的资本存量水平和较高的产出。降低储蓄率，则结果相反。 2. 储蓄率对经济增长速度的影响 储蓄率对一个经济稳定状态的影响，在一定程上了储蓄率的高低对经济增长速度的影响。 (1) 较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。 当一个经济的当前资本存量水平一定时，储蓄率提高就意味着与稳定状态之间存在着更大的差距，这样经济增长就会有较大的空间和速度。但这仅仅是暂时的。 (2) 经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增长。资本积累的黄金律**资本积累的黄金律尽管高的储蓄率可带来高的经济增长速度，但高的资本数量和高产出，其实并不是一个经济所追求的目标。人们的目标是长期中的消费福利。 高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该以高消费作为选定稳态的。 一. 假设条件 1. 索洛模型成立 2. 储蓄率s可以调整； 3. 目标：未来消费水平最高。黄金律**黄金律 1. 含义: 长期中消费水平最高的稳定状态，被称为资本积累的“黄金律”水平。 2. 数学表达 我们知道： c = y – i 假定稳定状态的人均资本为k*，则有： i* =sf（k*）=δk* 由c = y－i 可得, c*=f（k*）－δk* 。表明：稳定状态资本水平的提高，对稳定状态的人均消费有对立的影响，它通过使产出增加提高消费，但又因为需要有更多的产出去替代折旧掉的资本而使消费减少 消费最大化即求c的最大值 黄金律的基本条件**黄金律的基本条件1. 数学推导 消费的最大化表现为一阶导数为0。 dc / dk = df / dk – δ= 0 MPk -δ= 0 MPk = δ 因此， MPk= δ就是消费最大化的基本条件，即：资本的边际产出等于折旧率。 null*中国矿业大学管理学院 徐建博*Cg*kg*2.资本积累的黄金律水平null*中国矿业大学管理学院 徐建博*通过储蓄率选择黄金律稳态sgf(k)第三节 人口增长与技术进步**第三节 人口增长与技术进步前面的分析表明，高储蓄能提高一个经济的稳态资本存量和产出。在原来资本水平较低时，有更多的发展空间，促进经济增长。但资本积累本身不能带来持续的经济增长。 要解释一个经济的持续增长就必须扩展基本的索洛模型，即把原来没有考虑的两个因素：人口增长和技术进步引入模型。因为现实当中，一个国家的人口或技术总是在不断变化的。一、 人口增长的影响**一、 人口增长的影响1. 基本假设： （1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n. 2. 人口增长的影响 假设劳动力人口以固定速率n增长, 则y=Y/L，k=K/L两个变量都会随着人口增长而下降。假设下降速度为x。当总资本量不变时： K=k×L=（1-x）k ×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L 由于x、n都很小，xn则更小，可以忽略不计，因此，可得x=n 也就是说，当人口以n的速度增加时，人均产出y和人均资本k均以n的速度下降。null**仍然从资本积累的角度来研究。 则一年中资本的变化量（新增的资本量）为 Δk = i-δk- nk=i-（δ+n）k = s f（k）-（δ+n）k3. 人口增长后稳态的变化*中国矿业大学管理学院 徐建博*3. 人口增长后稳态的变化现在，考虑了人口的变动，稳态点就会有变化。 稳态时， s f（k）=（δ+n）k （δ+n）k称为“平衡投资”，即存在折旧和人口增长的情况下，新增投资必须至少等于它，才能使资本存量保持不变，达到稳态。 说明：经济处于稳态时， “平衡投资”投资一部分用于对现有资本折旧的弥补δk ，一部分给新劳动力提供稳态水平的资本nk 。null**k*(δ+n)k有人口增长时的稳态3. 人口增长对索洛模型的影响中国矿业大学管理学院 徐建博*3. 人口增长对索洛模型的影响人口增长的引入改变了索洛模型。从三个角度： (1) 它能在一定程度上解释持续的经济增长。因为人口的增长，尽管人均资本和产出不变，导致总资本和总产出也以速度n增长。 (2) 人口增长率高的国家，稳态人均资本低，产出低，所以生活水平也低。(比较) (3) 人口增长对黄金率稳态的影响：引进人口增长率会改变资本积累黄金律水平。 稳态时: i = sf(k) =（δ+n）k* c=y-i=f（k*）- （δ+n）k* 消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk= δ+n 即在黄金律稳态：资本的边际产量 = 折旧率+人口增长率 null*中国矿业大学管理学院 徐建博*人口增长率对稳态的影响k*2(δ+n2)kk*1(δ+n1)k二、 技术进步的影响*中国矿业大学管理学院 徐建博*二、 技术进步的影响 前面的研究一直基于一个假定，即技术水平不变，在此条件下考虑资本、劳动的变化对经济增长的影响。 事实上，现实中技术的发展日新月异，对劳动生产率的提高起到了积极的推动作用。所以，我们有必要把技术进步引入索洛模型。 基本假设： （1）索洛模型成立； （2）人口增长率为n： （3）技术进步使劳动效率增长率为g。1. 效率工人/效率劳动力**1. 效率工人/效率劳动力把技术进步引起的劳动生产率的提高用“E”来表示，原来L个单位的劳动力由于技术进步的作用，现在相当于L×E个劳动力，称“效率工人”或“效率劳动力”。 则生产函数变为： Y=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E） null**技术进步使E 以一个固定速率g增长，由于L以n增长， 所以L’以（n+g）的速率增长。 令Y/（L×E）=y ’ （每效率工人人均产出存量） 令K/（L×E）=k ’ （每效率工人人均资本存量） 则有技术进步的生产函数（效率工人的人均生产函数）仍为： y’=f（k’）2. 技术进步对稳态的影响**2. 技术进步对稳态的影响通过转换，我们仍然可以从资本积累的角度来研究。 存在人口增长和技术进步时，每年的资本损耗会更多。新增资本为: Δk ’ = i ’ - δk ’ –(n+g）k’ = s f（k’）-（δ+n+g）k’ 稳态时，Δk’=0，即： s f（k’）=（δ+ n+g）k’null**有技术进步的稳定状态k’*(δ+n+g)k’3. 技术进步对经济增长的影响**3. 技术进步对经济增长的影响引入技术进步后，虽然在稳定状态每效率工人的资本k’=K/（L×E），y’=Y/（L×E）都不变，但人均产出 Y/L=y’×E 和总产出 Y=y’×E×L 却分别以g和n+g的速度增长。 这样，索洛模型才能够解释我们所观察到的经济增长。（生活水平的增长、福利的增长） 索洛模型表明技术进步是一个经济长期持续增长的源泉。三、索罗模型的缺陷**三、索罗模型的缺陷1. 模型可以推论：当资本存量增长时，由于边际报酬递减，经济增长会减慢，最终停止。事实上，过去的100年间，许多国家的人均产出保持了正的增长率，没有长期下降的趋势； 2. 另一个结论是穷国应该比富国增长更快。然而实际情况是穷国经济增长往往更缓慢； 3. 模型没有对技术进步的原因和机制进行分析，只把它作为一种外生因素； 4. 模型没有区分物质资本的具体类型，不同的资本投资对技术进步的作用是有差异的； 5. 模型只考虑了物质资本，没有考虑经济中的另外一种重要资本，即“人力资本”。null索洛模型表明技术进步是一个经济长期持续增长的源泉。 *中国矿业大学管理学院 徐建博*