线面垂直习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧 · 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体 中， 为 的中点，AC交BD于点O，求证： 平面MBD． 证明：连结MO， ，∵DB⊥ ，DB⊥AC， ， ∴DB⊥平面 ，而 平面 ∴DB⊥ ． 设正方体棱长为 ，则 ， ． 　　 在Rt△ 中， ．∵ ，∴ ． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． · 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2， 是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 　 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D． 因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， 平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵ 平面PBC，∴AD⊥BC． ∵PA⊥平面ABC， 平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直． 　　一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来解决，其关系为：线线垂直 线面垂直 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD为正方形， ⊥平面ABCD，过 且垂直于 的平面分别交 于 ．求证： ， ． 　　证明：∵ 平面ABCD， 　　∴ ．∵ ，∴ 平面SAB．又∵ 平面SAB，∴ ．∵ 平面AEFG，∴ ．∴ 平面SBC．∴ ．同理可证 ． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ． 又 ，∴ 平面CDF． ∵ 平面CDF，∴ ． 又 ， ，　 ∴ 平面ABE， ． ∵ ， ， ， ∴ 平面BCD． 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 5 如图３， 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点， 平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ ． ∵ 平面ABC， 平面ABC， ∴ ．∴ 平面APC． ∵ 平面PBC，　 ∴平面APC⊥平面PBC． ∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC． ∵ 平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC． 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系． 10如图, 在空间四边形SABC中, SA(平面ABC, (ABC = 90(, AN(SB于N, AM(SC于M。求证: ①AN(BC; ②SC(平面ANM 分析: ①要证AN(BC, 转证, BC(平面SAB。 ②要证SC(平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC(AM, SC(AN。要证SC(AN, 转证AN(平面SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA(平面ABC ∴SA(BC 又∵BC(AB, 且AB SA = A ∴BC(平面SAB ∵AN 平面SAB ∴AN(BC ②∵AN(BC, AN(SB, 且SB BC = B ∴AN(平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN(SC 又∵AM(SC, 且AM AN = A ∴SC(平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． 图9—40 （1）求证：AB⊥BC； （1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC， 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S， ∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB． ［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点． （1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD （1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD， ∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD， ∴∠PDA=45° （2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN． ∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD． 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围． ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点． 图9—42 （1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值． （1）【证明】∵M、N、E是中点，∴∴ ∴即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF， ∴平面MNF⊥平面ENF． （2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影， ∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=a，NH=a， ∴tan∠MHN=，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为． 4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB． 图9—45 （1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离． （1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影， 又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角， ∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF， 又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD， ∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC， ∴平面PEC⊥平面PCD． （2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角， 而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴，设AD=2，∴PF=，PC=， ∴FH=∴A到平面PEC的距离为．   【拓展练习】 一、备选题 1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC． （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． （1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC； 又PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC． （2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD． 2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝a，EC＝a． （1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′； （2）求截面△ADE的面积． （1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN， 则MN∥A′A∥B′B， ∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P， ∵CE＝AC，∴PN＝NA＝． 又DB＝a，∴PN＝BD． ∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M， ∴PD∥B′M． ∵B′M⊥平面ACC′A′， ∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACC′A′． （2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′， ∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝a， AE＝a． ∴S△ADE＝×AE×PD ＝×． � � � � � _1226857897.unknown _1226857913.unknown _1226857921.unknown _1226857925.unknown _1226857929.unknown _1226857931.unknown _1226857933.unknown _1226857934.unknown _1226857935.unknown _1226857932.unknown _1226857930.unknown _1226857927.unknown _1226857928.unknown _1226857926.unknown _1226857923.unknown _1226857924.unknown _1226857922.unknown _1226857917.unknown _1226857919.unknown _1226857920.unknown _1226857918.unknown _1226857915.unknown _1226857916.unknown _1226857914.unknown _1226857905.unknown _1226857909.unknown _1226857911.unknown _1226857912.unknown _1226857910.unknown _1226857907.unknown _1226857908.unknown _1226857906.unknown _1226857901.unknown _1226857903.unknown _1226857904.unknown _1226857902.unknown _1226857899.unknown _1226857900.unknown _1226857898.unknown _1226857874.unknown _1226857882.unknown _1226857893.unknown _1226857895.unknown _1226857896.unknown _1226857894.unknown _1226857891.unknown _1226857892.unknown _1226857883.unknown _1226857878.unknown _1226857880.unknown _1226857881.unknown _1226857879.unknown _1226857876.unknown _1226857877.unknown _1226857875.unknown _1226857866.unknown _1226857870.unknown _1226857872.unknown _1226857873.unknown _1226857871.unknown _1226857868.unknown _1226857869.unknown _1226857867.unknown _1226857862.unknown _1226857864.unknown _1226857865.unknown _1226857863.unknown _1226857860.unknown _1226857861.unknown _611810931.unknown _611811097.unknown _1226857859.unknown _611811001.unknown _611810855.unknown