学案4：特殊的平行四边形性质和判定

矩形的性质 例1：如图 ，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB = 60(，AB = 4cm，求：矩形对角线的长及BC 例2：在矩形ABCD中，（AD＞DC）点M在AD上，且BM = BC，CE⊥BM，垂足为E. 求证：CD = CE. 例3：如图，E在矩形的边AD上，若BC=BE=2CD， 求∠ECD的度数 例4 ：如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， ，垂足为 若 ，求 的度数 例5：已知，在ΔABC中，AB = AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于E. 求证：CD = BE. 解：如图，∠ADB = 3 菱形性质 例1．如图，菱形 的周长为40 ，对角线 长为10 ，试求此菱形相邻两内角的度数． 例2．菱形花坛 的边长为 ， ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 和 ，求两条小路的长和花坛的面积 例3、如图，在菱形ABCD中，∠B ＝∠EAF ＝60°，求证：∠BAE ＝∠CEF． 练习 1． 菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是 ，求菱形的各角． 2． 四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,求DH的长 3．已知：在菱形 中， 分别是 上的点， ． 求 的度数． 4．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB = 3，则BC的长为 正方形性质 例1．如图，正方形 中， EMBED Equation.DSMT4 是 延长线上一点，且 ， 交 于点 ．试求 的度数． 例2.如图，一边长25cm的正方形纸片，AD上有一点P，且AP=6 ，折这纸片使点B落到点P上，求折痕EF的长. 例3．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，CF=AE，∠A=45°，求证：四边形BECF是正方形. 例4．如图，△AMN内接于正方形ABCD，若∠MAN=45º，AB=10，MN=9， (1)求证：DN+BM=MN. (2)求△CMN的面积. 例5、已知：如图边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长。 例6．如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，E为AD上一点，AE=2,请在对角线BD上找一点F,使AF+EF最小，并求其最小值. 矩形 菱形 正方形 定义 性质 边 角 对角线 矩形的判定 练习：下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； 例 1：□ABCD的对角线相交于 ，且△ABO是边长为5的等边三角形 求：□ABCD的面积 例2、已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上的点，且AE=CF=CG=AH。 求证：四边形EFGH是矩形。 例3.如图，E是 □ABCD外的一点，且AE⊥EC，BE⊥ED 求证：□ABCD是矩形 例4、如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？ 菱形的判定: 练习:判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形； （2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形； (3）邻角相等的四边形是菱形； （4）有一组邻边相等的四边形是菱形； （5）两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形； （6）对角线互相垂直的四边形是菱形； （7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形； （8）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 例1如图，□ABCD的对角线 交于点 ， 求证：□ABCD是菱形 例2.已知：如图□ABCD的对角线 的垂直平分线与边 分别交于 ． 求证：四边形 是菱形． 例3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, EH⊥AC于H, FG⊥AB于G.GF,EH相交于P. 求证：四边形PEDF是菱形。 例4如图，在□ABCD中，AD＝2AB，E、F在直线AB上，且AE＝AB＝BF， 求证：CE⊥DF。 例5．已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q。 ⑴求四边形AQMP的周长； ⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由。 正方形判定: 判断下列语句是否正确 1.有一组邻边相等的菱形是正方形; 2.有一个角是直角的菱形是正方形; 3.对角线相等的菱形是正方形; 4.对角线互相垂直的矩形是正方形; 5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; 6.一个角是直角且对角线互相平分且相等的四边形是正方形; 例1、已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么? 例2、求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形． 例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E,F在直线DE上，并且AF=CE. （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？ 例4、如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 （1）求证：EO=FO； (2）当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，且 ,求∠B的大小。 矩形 菱形 正方形 定义 判定 边 角 对角线 思考 已知，如图，正方形 的边长为6，菱形 的三个顶点 分别在正方形 边 上， ，连接 ． （1）当 时，求证：菱形 是正方形； （2）设 ，用含 的代数式示 的面积； （3）判断 的面积能否等于 ，并说明理由． F E � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� H A E F D B C G � EMBED Word.Picture.8 ��� A B E D C G H F P D D B C E C D B A A � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� D E F A C B C D F C B E A B A O A _1205317168.unknown _1205567096.unknown _1244297195.unknown _1244297232.unknown _1244354956.unknown _1394727562.unknown _1395475724.unknown _1334640131.unknown _1394551343.doc F E D C B A _1244354958.unknown _1244354959.unknown _1244354957.unknown _1244297250.unknown _1244354837.unknown _1244354955.unknown _1244354814.unknown _1244354826.unknown _1244297260.unknown _1244297239.unknown _1244297208.unknown _1244297225.unknown _1244297201.unknown _1244297164.unknown _1244297182.unknown _1244297187.unknown _1244297171.unknown _1205567098.unknown _1244297155.unknown _1205567097.unknown _1205566883.unknown _1205567094.unknown _1205567095.unknown _1205566890.unknown _1205567093.unknown _1205566871.unknown _1205566876.unknown _1205566866.unknown _1205328394.unknown _1200558492.unknown _1203162042.unknown _1203162173.unknown _1205317139.unknown _1205317144.unknown _1203494159.unknown _1203162123.unknown _1200559291.unknown _1203158747.unknown _1203161374.unknown _1203158410.unknown _1200558512.unknown _1200558539.unknown _1200558549.unknown _1200558502.unknown _1199267111.unknown _1200558489.unknown _1200558490.unknown _1199272068.unknown _1199272237.unknown _1200558488.unknown _1199272140.unknown _1199267128.unknown _1198954564.unknown _1199267061.unknown _1172920713.unknown