平面向量：理清平面向量考点，把握高考复习脉络

第 3O卷第 8期 2011年 8月 数学教学研究 33 理清平面向量考点，把握高考复习脉络 严循跃 (江苏省如皋中学 226500) 向量是重要而基本的数学概念之一，向量 作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的 特征，可以通过构造向量来处理代数问题，使 问题简单化；又具备数的特性，可以将几何问 题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为 运算．是联系数和形的纽带，数量积是实现向 量的形数转换的关键．向量是高考必考内容． 它的高考要求是：理解平面向量的概念、向量 的加法和减法及数乘运算、向量的坐标表示、 平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应 用；掌握平面向量的数量积．本文试图从高考 的视角谈一谈这部分内容高考怎么考． 考查题型 1 向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中， 在复习中要充分理解平面向量的相关概念， 熟练掌握向量的坐标运算 、数量积运算． 事实上，刻划每一种运算都可以有 3种 表现形式：图形、符号、坐言．列表如下： m。< ． 定理2 若双曲线C．xA 。 一 yA6 一 1(n> o， 6>O)上存在两点关于 Z：y=kx+m(k≠O)对 称，则满足 。> ． 定理 3 若抛物线 C：Y 一2px(p>O)上 存在两点关于 l：y=kx+m(k≠0)对称，则满 足 2户+ + 忌。O)上存在 两点A( ， )，13(z2， )关于直皱l：y一志 +m(忌≠O)对称，A，B的中点为M (xo，Yo)， 那么直线AB的方程可设为 —T--Iz+ ，代 入 Y 一2px得 X。一 (2kt+2pk。)z+忌 t =O， △=(2kt+2pk。)。--4k。t。 =4k p(2kt+pk。)>O， 即 (2kt+pk )>O． 由韦达定理有 Xl十 X2— 2kt十 2pk ， 即 。一TXl-df-X2一忌 +pk ， 3，。一 一 。+ ￡一 一p忌． 因为 M(xo，Yo)在直线 Z：Y—kx+m上 ， 得 -- pk= k(kt+ pk。)+ m． 所 以 —--p k-- 一 m 一 地 (2) 把 (2)代入(1)得 2p+-~+p愚。<。． 略解 (I)x而z T yZ 一 1； (Ⅱ)2x--y--1—0 (Ⅲ)由定理 1知，若椭圆E：而x2 T y2 — 1 存在两 点关于 Z：2x—v一1—0对称，则需 (1) 满足 l< 一1，这是不可能的． · (收稿日期：2011—03—23) 34 数学教学研究 第 3O卷第 8期 2011年 8月 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 + 一 记 一( 。， )，魂 (z ， 。) 贝0 + i荟=(z + 。， 。+ 。) 魂 一 = 魂 一 =(z 一 ， 。一 ) o 蕊 + 一葫 实数与向 ． 旦 ． 一 记 口一(z， ) 矗 n 量的乘积 ⋯ a ∈R 则 2a=(,Ix，A ) 两个向量 口·b-----I口1．IbI cos 记 n一( 1，Y1)，6一(x2，y2) 的数量积 则 口·6一z1 2+YlY2 例 1 (2010全 国卷 2改编)／XABC中， 点 D在AB上，CD平分／ACB．若C百一口， c-Ti一6， 一1，I bI一2，则面 一 ． 解析 因为CD平分ZACB，由角平分线 定理得 一 ===旱，所以D为AB的三 等分点，且 一 一 (c-c-~一 )，所以 c--5一C--'A+A---5一 + 一 2Ⅱ+ 6 ． 点评 利用三角形的内角平分线定理找 出 D为AB的三等分点，然后借助于图形进 行 向量的基本运算． 例 2 (2010天津文 数)如 图 1，在 ／XABC 中，AD 上 AB， 一 4gB---~，I l一 1，则 ． 一 ( )． 图 1 (A)2,／g (B) (c) (D)~f-ff 解析 ． = l I·l l cos／DAC = l 1．cos／DAC — I I sin／BAC=BCsin B = 4g． 点评 本题考查了平面向量的数量积运 算与解三角形的基本问题，向量是载体，解三 角形是关键． 例 3 已知 a是以点 A(3，一1)为起点 ， 且与向量 6一(一3，4)平行的单位向量，则向 量 口的终点坐标是 — — ． 思路分析 与 口平 行 的单位 向量 e：== ± ． 解析 1 设 向量 a的终点坐标是 (z， )， 则 12一(z一3， +1)，则 由题意可知 f4( 一3)+3( +1)=0， 【(x--3) +( +1) 一1， r 12 r 18 }z一 ， Iz— ， 解得1 1或1 9 【 一 一 ， 【Y一一-g-· 故填 ( ，一i1 J或I 18，一詈)． 解析2 与向量6一(一3，4)平行的单位向 量是±÷(一3，4)，故可得口一±(一i3，詈)， 从而向量 口的终点坐标是(z，Y)一口一(3， 一 1)，便可得结果． 点评 向量的概念较多，且容易混淆，在 学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分 共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单 位向量等概念． 第 3O卷第 8期 2011年 8月 数学教学研究 35 考查题型2 向量共线与垂直条件的考查 两个向量平行的充要条件：符号语言：口 ／／bVCa：Ab(6≠0)；坐标语言为：设非零向量 a一( 1，Y1)，6一( 2，Y2)，贝0口／／bc=v(zl，Y1) l 】===Ax2， 一 (z2，Y2)，即 ‘ 或 z1Y2一z2Yl= [Yl—Ay2· 0，在这里，实数 是唯一存在的，当口与b同 向时， >0；当 Ⅱ与 6异向时，．：【<0．I 『一 而 [a l ， 的大小由 及6的大小确定．因此，当 a，b确定时，|：l的符号与大小就确定了．这就 是实数乘向量中 的几何意义． 两个向量垂直 的充要条件 ：符号语 言：口 上bV=~a·b一0；坐标 语言 ：设非零 向量 n一 ( 1，Y1)，6一( 2， 2)，贝0 n_上_6∞z1 2+ 1 z 一 0． 例 4 已知平面向量a一(√3，一1)，b一 (专， )．若存在实数忌和 ，便得 一口+( 2 — 3)b， 一一 +曲，且 X-l-Y，试求函数的关 系式 k一，( )． 解析 由题意知 = ( 、 tz--2 2 V~--3 ， 2 )， 一 ( 1 一 忌， m)． 又 z上Y，故 ·Y一 ×(丢t--4 ) ‘一———寺一 I百 忠I + ×( 2 ) ’ 2 一＼ ／ 整理得 ～ 3 ， t--4k：O，即 一 1 ‘ 3 一 3 ． 解析2 因为 ， ，6一(专， )， 所以 I口I一2，『b『一l且 a上b． 又 X上Y，X·y=0， 即 一是laI。+t(t。一3)IbI。=0， 1 所以t。一3t--4k一0，即忌一÷ 一÷ ． ‘士 ‘士 点评 两种解法是解决向量垂直的两种 常见的

方法

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：一是先利用向量的坐标运算分 别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的 充要条件 ；二是直接利用 向量垂直的充要条 件，其过程要用到向量的数量积公式及求模 公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大 简化 ，值得注意)． 考查题型 3：向量 的坐标运算与三角 函 数的考查 向量与三角函数结合 ，题 目新颖而 又精 巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了 对双基的考查． 例 5 (2010山东理数)定义平面向量之 间的一种运算“口”如下 ，对任意的a=：=( ， ) 6一( ，q)，令 a口6一 q—np，下面说法错误 的是( )． (A)若n与b共线，则 Ⅱ口6—0 (B)n口6=：=b口口 (C)对任意的 ∈R，有 口b=A(n口6) (D)(口口6) +(ab) 一 laI。l bI 解析 若 a与b共线，则有 口口6一 g一 一0，故 A正确；因为 b口n—pn—qm，而口 口6一 q— p，所以有 口口6≠b口a，故选项 B 错误，故选 B． 点评 本题是一道创新

试题

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，试题新颖 ， 有一定难度．考查同学们对新事物的接受能 力和认知能力 ，同时也考查了同学们应用所 学平面向量的基础知识以及分析问题、解决 问题的能力． 例 6 已知n一(cos a，sin a)，6一(cos ， sin )(06>。)的左 右焦 点 分别 为 F ，F ， 离心率 一譬'右准线 J F 图 1 为 z，M，N是 z上的两个动点， · 一 0． (I)若I F I—I I=2 ，求 n，6 的值； (II)证明：当I MN I取最小值时， + 与 共线． 解析 由口z一6z C2与 ：一a： 9，得 扣2 F (一 )，F2 )，z的方 程为z一 n，设 M(dSa， )，N( a，此)， 则 商( 。)，莉( 。)． 由 F ·莉 一0，得 由 ·F2N一 ，得 3， ：= 一号口 <0． 一 (1) (I)由l l—l I-----2,／g，得 √( n)。 =2,g-， 第 3O卷第 8期 2011年 8月 数学教学研究 37 —2 ． (3) PA·PB==：fPAl·IPBI cos2口 由(1)，(2)，(3)三式，消去 Y ， 。，并求 得 口z一4．故 a=2，6一 = ． √Z (Ⅱ)iMNI 一( 1一 2)。 一 j+ 2--2yl 2≥--2ylY2--2yl 3，2 一 一 4y1Y2= 6a ， 当且仅当 1一一 2一 口或 2一一3，l 一 口时’lMNI取最／J、值 砒 时， F f+ I 一 ( )+( ：) 一 (2√2口，Y1+ 2) 一 (2√2n，0)一2 Fl ． 故 l+I 与瓦 共线． 点评 本题着重考察了椭圆的基本量关 系，熟悉椭圆各基本量问的关系，数形结合， 利用向量的坐标运算，求出椭圆的待定常数， 是向量的一个综合应用类型． 例 8 (2010年全国卷 1文数 11)已知 圆 。的半 径为 1，PA，PB为该 圆 的两条 切 线，A，B为两切点，那么PA·PB的最小值 为( )． (A)一4+√2 (C)一4+2√2 解析 1 如图 2所 示 ，设 PA=PB— ( > 0)， APO= 口，则 APB 一 2a，PO 一 ~／1+ 。，，sin a 一 1 干 (B)一3+√ (D)一3+2 图 2 一 。(1--2sin2a) 令 ·蔬=Y，则 一并 ， 令PA·PB=，则 一 午， 即z 一(1-~y)x 一y=0，由 。是实数，所以 △=[一(1-+-y)-]。--4×1×(一 )≥0， 。 +6 +l≥o，解得 ≤一3—2 或 ≥一3+ 2 ．故( ．P—B) ：一3+2 ． 此时 一 一 1． 解析 2 设 APB=O，O< < ， P— A． 吾一(PA)(PB)cos 0 一 cos 萋 1--2sin导) 一 ( _sin2一o(1 in 导) 2 inz昙 ’ 换元-．2：~Sin2昙，ox1X0=1． PA·PB=x}--2xl o+X 一 i —zi一2+ 3一(1一 i) 38 数学教学研究 第 3O卷第 8期 2Ol1年 8月 =2xi+ 3—3≥2 一3． 点评 利用向量的数量积运算及圆的切 线长定理这样的载体，运用最值的求法—— 判别式法．同时也考查了综合运用数学知识 解题的能力及运算能力． 例 9 已知点 G是／kABC的重心，A(O， -- 1)，B(0，1)，在z轴上有一点 M，满足{ I — I M--~I， 一 ( ∈R)． (I)求点 C的轨迹方程 ； (Ⅱ)若斜率为 k的直线 Z与点C的轨迹 交于不同两点P，Q，且满足I A--P I—I I， 试求k的取值范围． 解析(I)设C(x， )，则G(号，詈)． 因为 一 ( ∈R)，所 以 GM／／AB，又 M是z轴上一点，则M(詈，0)．又I M---~I— I M---~I，所以 一 i 。 整理得 + 。=1( ≠o)，即为曲线 C的方 程 ． (Ⅱ)(i)当 一0时，l和椭圆C有不同 两交点P，Q，根据椭圆对称性有I A----P I— l I． ii当 最≠0时，可设 Z的方程为 y=kx+ m，联立方程组 妇 ' } X+3，。一1， 消去 y，整理得 (1+3k。)z。+6kmx+3(m 一1)----0．(4) 因为直线 Z和椭圆C交于不同两点，所 以 A---- (6kin)。--4(1+3k )×( 一1)>O， 即 l+3忌。一m。> 0． (5) 设 P(x1，Y1)，Q( 2，Y2)，贝0 z1， 2是方 程 (4)的两相异实根 ，所以 ． 6kin 1十 2一一研 ’ 则 PQ的中点N( 。，y。)的坐标是 z 。一 一 ， yo kx0十 一—1+—3k2’ 即N(一讦3k in， )． 又I J—I I，所以 上商 ， 一- 忌·忌AN--k· 一 1， ‘ — — ‘ l。。‘。~‘。。。。。。3。。。k。——2 1+ 3足 —T 。 将 m一 代人(5)式，得 1 一( ) > ≠O)， 即 k <1，k∈(一1，0)U(O，1)． 综合(i)(ii)得，k的取值范围是(一l， 1)． 点评 本题依托向量给出等量关系，既 考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点 的轨迹，直线与椭圆的位置关系．通过向量和 解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识 和基本方法．按照求轨迹方程的方法步骤，把 向量问题坐标化，几何问题代数化． 总之，平面向量与解析几何的结合通常 涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的 处理，解决此类问题基本思想是将几何问题 坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为 运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其 几何意义解决有关问题． (收稿 日期 ：2 一 。．Oll 03 26)