2009年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷(解析)

www.zgxzw.com 中国校长网 绝密★考试结束前 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 互斥，那么 棱柱的体积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 棱台的体积公式 球的表面积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， 球的体积公式 h表示棱台的高 其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，则 ( ) A． B． C． D． 答案：B 【解析】 对于 ，因此 EMBED Equation.DSMT4 ． 2．已知 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 【解析】对于“ 且 ”可以推出“ 且 ”，反之也是成立的 3．设 （ 是虚数单位），则 ( ) A． B． C． D． 答案：D 【解析】对于 4．在二项式 的展开式中，含 的项的系数是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B． C． D． 答案：B 【解析】对于 ，对于 ，则 的项的系数是 5．在三棱柱 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是 ( ) A． B． C． D． 答案：C 【解析】取BC的中点E，则 面 ， ，因此 与平面 所成角即为 ，设 ，则 ， ，即有 ． 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 ( ) A． B． C． D． 答案：A 【解析】对于 ，而对于 ，则 ，后面是 ，不符合条件时输出的 ． 7．设向量 ， 满足： ， ， ．以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B． C． D． 答案：C 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 8．已知 是实数，则函数 的图象不可能是 ( ) 答案：D 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 ，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 ． 9．过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B． C． D． 答案：C 【解析】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为B，C， ，则有 ，因 ． 10．对于正实数 ，记 为满足下述条件的函数 构成的集合： 且 ，有 ．下列结论中正确的是 ( ) A．若 ， ，则 B．若 ， ，且 ，则 C．若 ， ，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D．若 ， ，且 ，则 答案：C 【解析】对于 ，即有 ，令 ，有 ，不妨设 ， ，即有 EMBED Equation.DSMT4 ，因此有 ，因此有 ． 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11．设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ． 答案：15 【解析】对于 12．若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是 ． 答案：18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体积为 ，因此其几何体的体积为18 13．若实数 满足不等式组 则 的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时， 14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时） 低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价 （单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案： 【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对于低峰部分为 ，二部分之和为 15．观察下列等式： ， ， ， ， ……… 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于 ， ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案： 用 体现奇偶性 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 ，二项指数分别为 ，因此对于 ， 16．甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有 种，因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ． 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点到C点时，因 平面 ，即有 ，对于 ，又 ，因此有 ，则有 ，因此 的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， EQ \O(￣,AB) · EQ \O(￣,AC) ＝3． （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值． 解析：（I）因为 ， ，又由 EQ \O(￣,AB) · EQ \O(￣,AC) ＝3，得 EMBED Equation.DSMT4 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a b= · cos ★ （II）对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本题满分14分）在 这 个自然数中，任取 个数． （I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率； （II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的数 和 ，此时 的值是 ）．求随机变量 的分布列及其数学期望 ． 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）随机变量 的取值为 的分布列为 0 1 2 P 所以 的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本题满分15分）如图，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 分别为 ， ， 的中点， ， ． （I）设 是 的中点，证明： 平面 ； （II）证明：在 内存在一点 ，使 平面 ，并求点 到 ， 的距离． 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系O ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，由题意得， 因 ，因此平面BOE的法向量为 ， 得 ，又直线 不在平面 内，因此有 平面 （II）设点M的坐标为 ，则 ，因为 平面BOE，所以有 ，因此有 ，即点M的坐标为 ，在平面直角坐标系 中， 的内部区域满足不等式组 ，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 内存在一点 ，使 平面 ，由点M的坐标得点 到 ， 的距离为 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21．（本题满分15分）已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦长为 ． （I）求椭圆 的方程； （II）设点 在抛物线 ： 上， 在点 处 的切线与 交于点 ．当线段 的中点与 的中 点的横坐标相等时，求 的最小值． 解析：（I）由题意得 所求的椭圆方程为 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨设 则抛物线 在点P处的切线斜率为 ，直线MN的方程为 ，将上式代入椭圆 的方程中，得 ，即 ，因为直线MN与椭圆 有两个不同的交点，所以有 ， 设线段MN的中点的横坐标是 ，则 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设线段PA的中点的横坐标是 ，则 ，由题意得 ，即有 ，其中的 或 ； 当 时有 ，因此不等式 不成立；因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入不等式 成立，因此 的最小值为1． 22．（本题满分14分）已知函数 ， ， 其中 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）设函数 ．若 在区间 上不单调，求 的取值范围； （II）设函数 是否存在 ，对任意给定的非零实数 ，存在惟一 的非零实数 （ ），使得 成立？若存在，求 的值；若不存 在，请说明理由． 解析：（I）因 ， ，因 在区间 上不单调，所以 在 上有实数解，且无重根，由 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，令 有 ，记 则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以有 ，于是 ，得 ，而当 时有 在 上有两个相等的实根 ，故舍去，所以 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）当 时有 ； 当 时有 ，因为当 时不合题意，因此 ， 下面讨论 的情形，记A ，B= （ⅰ）当 时， 在 上单调递增，所以要使 成立，只能 且 ，因此有 ，（ⅱ）当 时， 在 上单调递减，所以要使 成立，只能 且 ，因此 ，综合（ⅰ）（ⅱ） ； 当 时A=B，则 ，即 使得 成立，因为 在 上单调递增，所以 的值是唯一的； 同理， ，即存在唯一的非零实数 ，要使 成立，所以 满足题意．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20090423 20090423 20090423 20090423 20090423 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com _1305958753.unknown _1306006566.unknown _1306087234.unknown _1306089765.unknown _1306090886.unknown _1306091256.unknown _1306091453.unknown _1306091604.unknown _1306091752.unknown _1306091805.unknown _1306091890.unknown _1306091952.unknown _1306091829.unknown _1306091629.unknown _1306091683.unknown _1306091705.unknown _1306091617.unknown _1306091476.unknown _1306091551.unknown _1306091570.unknown _1306091516.unknown _1306091462.unknown _1306091332.unknown _1306091370.unknown _1306091406.unknown _1306091361.unknown _1306091286.unknown _1306091301.unknown _1306091270.unknown _1306091051.unknown _1306091157.unknown _1306091210.unknown _1306091243.unknown _1306091202.unknown _1306091128.unknown _1306091148.unknown _1306091094.unknown _1306091115.unknown _1306091070.unknown _1306090977.unknown _1306091030.unknown _1306091039.unknown _1306091005.unknown _1306090912.unknown _1306090932.unknown _1306090896.unknown _1306090362.unknown _1306090607.unknown _1306090743.unknown _1306090839.unknown _1306090869.unknown _1306090823.unknown _1306090711.unknown _1306090722.unknown _1306090647.unknown _1306090481.unknown _1306090535.unknown _1306090545.unknown _1306090496.unknown _1306090418.unknown _1306090427.unknown _1306090389.unknown _1306090096.unknown _1306090277.unknown _1306090314.unknown _1306090329.unknown _1306090289.unknown _1306090214.unknown _1306090220.unknown _1306090134.unknown _1306089947.unknown _1306090000.unknown _1306090031.unknown _1306089977.unknown _1306089844.unknown _1306089865.unknown _1306089804.unknown _1306088414.unknown _1306088839.unknown _1306089062.unknown _1306089243.unknown _1306089350.unknown _1306089725.unknown _1306089263.unknown _1306089111.unknown _1306089231.unknown _1306089086.unknown _1306088935.unknown _1306089012.unknown _1306089045.unknown _1306088997.unknown _1306088893.unknown _1306088920.unknown _1306088857.unknown _1306088640.unknown _1306088752.unknown _1306088783.unknown _1306088798.unknown _1306088761.unknown _1306088663.unknown _1306088736.unknown _1306088647.unknown _1306088486.unknown _1306088520.unknown _1306088633.unknown _1306088508.unknown _1306088471.unknown _1306088479.unknown _1306088467.unknown _1306087745.unknown _1306087988.unknown _1306088091.unknown _1306088353.unknown _1306088397.unknown _1306088118.unknown _1306088062.unknown _1306088074.unknown _1306088041.unknown _1306087820.unknown _1306087959.unknown _1306087978.unknown _1306087908.unknown _1306087793.unknown _1306087806.unknown _1306087759.unknown _1306087453.unknown _1306087644.unknown _1306087722.unknown _1306087736.unknown _1306087522.unknown _1306087557.unknown _1306087601.unknown _1306087483.unknown _1306087420.unknown _1306087435.unknown _1306087250.unknown _1306064608.unknown _1306086824.unknown _1306087064.unknown _1306087177.unknown _1306087213.unknown _1306087167.unknown _1306086908.unknown _1306086985.unknown _1306086861.unknown _1306064698.unknown _1306064734.unknown _1306086799.unknown _1306064715.unknown _1306064656.unknown _1306064667.unknown _1306064628.unknown _1306007860.unknown _1306008286.unknown _1306064533.unknown _1306064555.unknown _1306008394.unknown _1306064471.unknown _1306008423.unknown _1306008300.unknown _1306008227.unknown _1306008265.unknown _1306008207.unknown _1306008110.unknown _1306007255.unknown _1306007618.unknown _1306007676.unknown _1306007281.unknown _1306007212.unknown _1306007234.unknown _1306007193.unknown _1305960251.unknown _1305960358.unknown _1305960658.unknown _1305961476.unknown _1305961958.unknown _1305962730.unknown _1305962805.unknown _1305963957.unknown _1305964022.unknown _1305964120.unknown _1305962930.unknown _1305962977.unknown _1305962993.unknown _1305963879.unknown _1305962969.unknown _1305962909.unknown _1305962922.unknown _1305962825.unknown _1305962838.unknown _1305962757.unknown _1305962795.unknown _1305962742.unknown _1305962336.unknown _1305962665.unknown _1305962707.unknown _1305962720.unknown _1305962694.unknown _1305962639.unknown _1305962648.unknown _1305962371.unknown _1305962626.unknown _1305962424.unknown _1305962359.unknown _1305962092.unknown _1305962151.unknown _1305962325.unknown _1305962065.unknown _1305962076.unknown _1305962016.unknown _1305961982.unknown _1305961790.unknown _1305961866.unknown _1305961896.unknown _1305961924.unknown _1305961875.unknown _1305961831.unknown _1305961853.unknown 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