数学模型课件1mm

数学模型 第一章： 数学模型的概念 1．数学模型与现实世界的关系 2．怎样建立数学模型 3．数学模型的分类 1．E.A.本德的提法：数学模型是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、 简化的数学结构”，总之，数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数 学式子、程序、图形等刻划客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的 简化而又本质的描述。 2．一个实例：用开普勒三定律和牛顿第二定律推导万有引力定律（牛顿在力学 上的重要贡献之一）。 （一）开普勒三定律就是： (1) 行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。 (2) 行星在单位时间内扫过的面积不变。 (3) 行星运动周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星 而改变。 （二） 牛顿第二定律： rf &&µ 这示太阳和行星间的作用力 f 与加速度 r&& 的方向一致，与 r&&的大小成正比。 （三）万有引力定律： 太阳与行星间作用力的方向是太阳和行星连线方 向，指向太阳；大小与太阳－行星间的距离的平方成反比，比例系数是绝对常 数。 由（一）和（二）：得 qq && 22121 rrrA =××= A：常数 ， dt dq q =& 引入单位向量： ïî ï í ì +-= += jiu jiu r qq qq q cossin sincos 得 rurr ×= sin cosru i j uqq q q q q ¢ = - × × + × × = × uur r r uur& & & cos sin ru i j uq q q q q q ¢ = - × × - × × = - × uur r r uur& & & 而行星运动得速度和加速度 qq ururururr rrr ××+×= ¢ ×+×= ¢ &&& qqqq urrurrr r ×++×-= ² )2()( 2 &&&&&&& Q 2 2 r A =q& \ 3 4 r rA &&& -=q Þ 02 =+× qq &&&& rr \ rurrr ×-= ² )( 2q&&& 说明 r ¢¢ // r 现将椭圆方程改写成： ïî ï í ì -=-= + = )1(,)1( cos1 2222 eabeap e pr q ，其中 a，b为椭圆的两个半轴，e为离心率 qqq q qqqq q q q q sin2sin2sinsin cos1)cos1( cos 2 2 2 p Ae p eA p er p e e p e per ==××=×÷ ø ö ç è æ + = + = &&&&& )(22cos12cos2 rp pr A p A p eA p Aer -=-÷÷ ø ö çç è æ + =×= qqq qqq &&&&&& 将q&用 2 2 r A =q& 替换，得 )()2()(22 3 2 2 rppr Arp r A pr Ar -=-××=&& 计算 2 2 3 2 2 2 3 22 23 2 2 )2()2()2()2(2)()2( pr A r A pr A r A r Arrp pr Arr -=--=÷ ø ö ç è æ--=- q&&& Þ rupr Ar r&&r ×-= 2 2)2( 可知作用力与 2r 成反比。 现在证明 p A 2)2( 是一个与哪一颗行星无关，是绝对常数。 由（一）（2）：记行星运行周期为 T ，则 pabTA = （3）： 32 aKT ×= ， K是绝对常数。 考察 ( ) K a baKa ba paK ab p T ab p A 2 2 2 3 222 3 2 2 2 ppp p = ×× = ×× = ÷ ø ö ç è æ = 是一个绝对常数。 万有引力得到证明。 建模的一般步骤: (1). 模型准备； (2).模型假设； (3).模型建立； (4).模型求解； (5).模型分析； (6)..模型检验（若模型不合理，则转 2，调整假设）； (7). 模型应用。 观察力和想象力的培养： 例 1：某人平时下班总是乘坐下午 5：30分的火车回去。他的儿子准时在车站 接他。有一天，此人乘 5：00的火车回去，提前半小时下车然后步行回去。路 上，他遇到了开车来接他的儿子，因此比平时早 10分钟到家。问：此人一共步 行了多少时间？ z：到站时间; t：汽车耗时; x：步行时间 î í ì -=-++- =+ 10530 utxz utz Þ 25=x 3. 模型分类： 1．认识程度： 白箱 （如：力学、电路理论，研究对象的优化设计和控制问题）； 灰箱 （化工、水文、地质、交通、经济，尚不完全清楚）； 黑箱 （生态、生理、医学、社会等领域中一些机理（指数量关系方面）更 不清楚的现象） 2．按照变量的情况 离散 ，连续 ； 或 确定，随机 ； 或 线性，非线性 ；或 单变量，多变量 3．按照时间变化对模型的影响 静态，动态； 或 参数定常，参数时变 4．按照精密程度 集中参数－系统的输入能立刻到达系统内各点（常微分方程）； 分布参数－系统的输入要经过一段时间才能传播到系统内各点（偏微分方 程） 5．按照研究方法和对象的数学方法特征 初等模型、优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型 6．按照研究对象的实际领域 人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型 第二章 初等模型 第一节．稳定的椅子（4个一样长的脚） 注：4个脚一样长的方桌一定能放平稳 假设：（1）椅子的四条腿一样长，四脚的连线成正方形 （2）地面是数学上的连续曲面 记 A、C两脚与地面距离之和为 )(qg B、D两脚与地面距离之和为 )(qf 不妨设 0)0( =g 。我们注意到，椅子在任何位置，总有三只脚可以着地，即 对任意q， )(qf 和 )(qg 中总有一个为零，则稳定的椅子可归结为下面的数学问 题： 假设 )(qf 和 )(qg 是q的连续函数， 0)0( =g ， 0)0( >f ，且对任意q， 0)()( =× qq gf 。求证：存在 0q ，使 0)()( 00 == qq gf 。 将椅子转动 o90 ，对角线互换，由 0)0( =g 和 0)0( >f ，可得 0) 2 ( =pf 和 0) 2 ( >pg . 令 )()()( qqq gfh -= ，则 0)0( >h ， 0) 2 ( 0）。事实上，无 论 r多么大，（ rxy = 的意义即乙方弹头数为甲方的 r倍 ）。由于乙方的 打击不可能摧毁甲方的所有弹头，设甲方每枚弹头的幸存率为 )0)(( >rp ， Þ甲方只需不少于 })(min{ 0xrxpxxr ³= 存在，即可认为自己时安全的， 故 rxy = 必与 )( yfx = 相交而进入甲方的安全区，同理， rxy = 也与 )(xgy = 相交而进入乙方的安全区。 从草图上可以看出：（1） 乙方提高弹头数，可导致甲方亦提高弹头数； （2）提高甲的幸存率 )0)(( >rp ，可减少甲的弹头数及乙的弹头数。 可以预料，核军备竞赛将进一步升级。 第三节. 量纲分析 量纲：一种表示不同物理特性的量，人们称之为“量纲”，常常记为 ][× 。 其中基本的量纲通常是质量(M)，长度（L）和时间（T），其余物理量的量纲 可以用基本量纲来表示。如速度的量纲是 1-LT ，加速度的量纲是 2-LT ，从而力 的量纲是 2-MLT 。 量纲分析：根据当度量量纲的基本单位改变时，物理公式本身并不改变， 等号的两端必须保持量纲的一致，同时要求两端量纲的单位也保持一致。 量纲齐次：当量纲的各项具有相同量纲时，这个方程被称为是“量纲齐 次”的。物理定律中出现的各项必须具有相同的量纲。 例 1：万有引力定律中，出现的量纲量有：G， 1 2,m m ，r和 F。 考察 edcba FrmmG 21=p p 的量纲： ( ) ( ) )(232231 eaedaaecbedcba TLMMLTLMMTLM +-++-++--- = 欲使p 为无量纲，Û ï î ï í ì =+ =++ =-++ 0 03 0 ea eda aecb 0 10001 11003 10111 = ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é- e d c b a （*） 行满，所以秩 r＝3，所以解空间二维。 取 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 b a ，Þ [ ] [ ]TTedcba 1,2,2,0,1,,,, --= ; 取 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 0 b a ，Þ [ ] [ ]TTedcba 0,0,1,1,0,,,, -= ; 得 2 1 22 2 2 1 , m m Fr Gm == pp . 由于（*）式的任一解均可用基线性表示，而 G， 1 2,m m ，r和 F的一切无量 纲乘积均可用 1p 与 2p 的乘积和商来表示。 万有引力定律： 0121 =-pp 。 定理（Buckingham p定理）：方程当且仅当可以表示为 0),,( 21 =Lppf 时，它 才是量纲齐次的，其中 f是某一函数， L,, 21 pp 为问题包含的变量与常数的无 量纲积。 例 2：（理想单摆周期）考察一个质量集中于距离支点为 l的质点上的无 阻尼单摆，其运动为某周期 t的左右摆动。试分析 t与其它变量之间的关系。 解：包含的量有： ,),(),(),(),( 2 qLlLTgMmTt - 考察 edcba ltgm qp = ，量纲为 dcdba TLM 2-+ ，e可任取。 欲使p 为无量纲的量，令 0 0 2 0 a b d c b =ì ï + =í ï - =î ， 0 0120 1010 0001 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é - d c b a 取 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 e b ，Þ [ ] [ ]TTedcba 0,1,2,1,0,,,, -= 取 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 0 e b ，Þ [ ] [ ]TTedcba 1,0,0,0,0,,,, = qpp == 2 2 1 ,l gt 由p定理，存在 f，使 0),( 21 =ppf ，或 )( 21 pp h= ，即 )( 2 qh l gt = ， g lkaswrite g lht )()( qq=Þ . 可以证明，当q很小时， pq 2)( »k ，即 g lt p2= 。 量纲分析的一般步骤如下： I. 将与问题有关的有量纲的物理量（变量和常数）记做 1 2, , , nx x xL 。按照物 理意义确定这个问题的基本量纲，记做 1 2[ ],[ ], ,[ ]mX X XL 。 II. 记 p a =Õ = n i i ix 1 ，这是物理量之间的关系式，其中 ia 待定，p 为无量纲 量，将 ix 的量纲用基本量纲表示为： [ ] 1 ( 1, 2, ) ijm i j j x X i n b = é ù= =ë ûÕ L （*） 利用已有的物理知识定出 ijb 。 III. 利用（*）式得到Ⅱ式的量纲表达式： 1 1 [ ] n i im ij jj X a b p = Õ = æ öé ùÕ =ç ÷ë ûè ø 即 ( )1 1 [ ] m j n ij i ji X b a p = × Õ = é ùÕ =ë û 1 0 1 1 [ ] [ ] m j n mij i i j j j X X b a p= ×å Þ = = Õ é ù= =Õ ë û IV. 解线性方程组 ),,2,1(,0 1 mj n i iij L==å = ab 02 1 21 22212 12111 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é nnmmm n n a a a bbb bbb bbb M L LL L L ; 若方程组秩为 r，则有 n－r个基本解，记做 ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , ( 1, 2, , ) Ts s s s n s n ra a a a= = -L L ; 于是得到， nxxx ,,, 21 L 之间的 n－r个关系式： ( ) 1 ( 1, 2, )i n s i s i x s n ra p = = = -Õ L ，其中 sp 是无量纲的量。 第四节. 比例方法 例 1．四足动物的身材. 问题：四足动物的躯干（不包括头、尾）的长度和 它的比重有什么关系？ 实际意义：比如：一个在生猪收购站或屠宰场工作的人，往往希望能从生 猪的身长估计它的重量。 根据弹性理论知： 2 3 sd fl µd 又Q 2 3 2 4 , d l ld lslmmf µÞµÞµµ dd ； ~~ 动物的相对下垂度 进化 l d ®常数， 23 dl µ\ 又Q 2, dsslf µµ 44 klflf =Þµ\ ，由统计数据定出 k，即得 f与 l之间得关系式。 例 2. 雨中行走问题: 走多快才能少淋雨呢？ 解： 用 )0,0,(u 表示人的速度， ( )zyx vvv ,, 表示雨速， l表示行走的距离，则行走 的时间为 u l 。假定人体为长方体，则前、侧、顶的面积之比为 TL ::1 ， 则单位时间淋雨量为： ( ) ( ) TvLvvuTLvvvu zyxzyx ×+×+-=×--- ,,10,0, 总淋雨量为： ( )avuu luR x +-=)( ， 其中 0>×+×= TvLva zy 数学问题，已知 avl x ,, ，求 u为何值时， ( )R u 最小？ 分两种情况讨论： (1) 0>xv 时 ; 当 avx > 时，Þ取 xvu = 使 ( )R u 取最小值， minR\ xv la = ； 当 xv a< 时， 无最值； 当 xv a= 时， ïî ï í ì > £- = )( )(2 )( aul aul u al uR ，故当u a³ 时 ( )R u 达最小. (12) 0> avx 时，应取 xvu = 可以使前后不淋雨，则淋雨量最小；其它 情况下都应使 u尽可能地大。 第五节. 最短路径与最速

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的几个问题 1. 最短路径问题 例 1 .今有一个半径为 1公里的圆形湖，湖心在连接 A，B两点的线段上。 有一个步行者想从 A处步行到 B处去，除不能涉水过湖外，他不受其他限制， 问怎样的路径对他来说是最近的。 假设：路径是空间中的连续曲线。 猜测：过 A作圆的切线 AE，切圆于 E点，过 B作圆的切线 BF，切圆于 F 点。最短路径为由曲线 AE、弧 EF和线段 FB组成的连续曲线（隐含着平面中 两点间的最短路径为连接两点的线段）。 现证之：不妨设此人从湖的“上”方通过而到达 B处，显然，由射线 EA，弧 EF和射线 FB围成的平面区域是平面中的凸集，不难得到，最短路径 不能经过此凸集外的任意一点。否则，设其过凸集外的某点M，则由分离定 理，必存在一直线 H，将M与凸集严格分离开来。 由路径 是连续曲线，故必在路径中有一段包含M的弧 21MMM 与凸集分 离。这样，弧 21MM 比弧 21MMM 短，从而证得 AE，弧 EF，FB为最短路线。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , x x x x x x l v al v u a l u v u uR u l a vl u v a l u v u u +ì - + = - £ïï= í -ï - + = + >ïî 结论：若可行区域得边界是光滑曲面，则最短路径必由下列弧组成，(1) 空间中 的自然最短曲线，或者(2) 可行区域的边界弧。而且组成最短路径的各 段弧在连接点处必定相切。 例 2.一辆汽车停于 A处并垂直于 AB方向，此汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由 A到 B的最短路。 解：（情况 1）若 RAB 2> ，最短路线由弧 AC和切线 BC组成； （情况 2）若 RAB 2< ，则最短路线必居于(a)、(b)两曲线之中。可以证 明，(b)中的曲线弧 ACB更短。 2．最速方案问题 例 3．将一辆急待修理的汽车由静止（A点）开始沿一直线方向推至相隔 s米的修理处（B点），设阻力不计，请给出推车人能使车快速到达修理处的方 案。 解： 这种问题不易控制 v（速度）及 s（位移），但可以控制 a（加速度）；设 1 2( ) 0, ( ) 0, ;v A v B f f f= = - £ £ m fa m f 21 ££-Þ 。 第六节. 状态转移问题 问题 1 (人、狗、鸡、米过河问题). 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另 外，至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人、 狗、鸡、米怎样过河？ 解：过河状态为 1，未过为 0；则有 10个可取状态：(1,1,1,1,), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0), (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,0,1)； 运算向量：(1,0,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0); 定义加法： 0+0=0， 1+0=0+1=1， 1+1=0； 问题转化为 ：对(1,1,1,1) 如何进行奇数次的运算，使之化为 (0,0,0,0)。 方法 1： 编写程序（包含有多个条件和判断语句）用计算机计算，但此方 法较烦，可能会出现重复； 方法 2：（图论方法）用简单的计算，给出可取状态“人在此岸”与“人 在对岸”之间的对应关系，可得两个等优的解： 一条是(1,1,1,1)→(0,1,0,1) →(1,1,0,1) →(0,0,0,1) →(1,0,1,1) → (0,0,1,0) →(1,0,1,0) →(0,0,0,0); 另一条是 (1,1,1,1)→(0,1,0,1) →(1,1,0,1) →(0,1,0,0) →(1,1,1,0) → (0,0,1,0) →(1,0,1,0) →(0,0,0,0). 问题 2 ( 夫妻过河问题). 有三对夫妻要过河，船最多能载两人，由于封建意识 严重，要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起。如何安 排三对夫妻过河？（阿拉伯早期的一道趣味数学题） 一：把问题化为状态转移问题 用向量（H,W）表示有 H个男子，W个女子在南岸，其中 3,0 ££ WH ， 共有 10 个可取状态：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(3,0)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(1,1) 和(2,2)。 运算向量为 ( ),)1(,)1( nm jj -- 其中 2,1,0, =nm 且 L3,2,1,21 =£+£ jnm 在以上假设下，问题可转化为： 求由状态(3,3)经奇数次可取运算转移到(0,0)的转移过程。 步骤如下： j=1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LL ï ï ï î ïï ï í ì ´ ´ ® ï ï ï î ï ï ï í ì ×-×- ×-×- ×-×- ×-×- ×-×- + )3,1( )3,2( )2,2( )1,3( )2,3( 0)1(,2)1( 0)1(,1)1( 1)1(,1)1( 2)1(,0)1( 1)1(,0)1( )3,3( 11 11 11 11 11 二： 用图解法求解 运动规则为： (1) 第奇数次需向左或下运动 1～2格 (2) 第偶数次需向右或上运动 1～2格 (3) 每次运动必须落在可取状态，即点“o”上 Ex：有三名商人各带一名仆人，现需过河，小船过河能载三人，商人已获得仆 人的阴谋，在河的另一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取 货物。安排如何乘船的权利掌握在商人手中，试为商人制定一个安全过河方 案。 第七节. 铺瓷砖问题 要用 40块方形瓷砖铺设如图 7.1所示图形的地面，但当时商店只有长方形 瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了 20块方形瓷砖，试试看铺地面，结 果弄来弄去始终无法完整铺好。 黑格 21 白格 19 用 19块长方形，而 2个黑格无法用一块长方形盖住，必须断一为二。 这种方法称为“奇偶校验”，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称具有 相同的奇偶性。如果一个数是奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶 性。 在铺瓷砖问题中，同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的两个格子具 有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格。因此 19块长方形瓷砖在地面上铺好后，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性 时，才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有具有相同 的奇偶性，因此无法铺上最后一块长方形瓷砖，这就从理论上证明了用 20块长 方形瓷砖铺好图 7.1所示的地面是不可能的。 欧氏证明 2是无理数就用了“奇偶校验”；在物理学中也有着重要的证 明，如 1957年美籍华人杨振宁和李政道推翻著名的“宇称守恒定律”，以其卓 越的成就而获得诺贝尔奖金，其中就用了奇偶校验方法。 第三章 微分方程模型 第一节 发射卫星为什么用三级火箭 火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统及整体 结构上分析，并假定引擎是足够强大的。 1．为什么不能用一级火箭发射人造卫星 （1） 卫星能在轨道上运动的最低速度 2 2 gRKR mKmg =Þ×= 2 2 2 2 ÷ø ö ç è æ= ×× = × =\ r Rmg r mRg r mKF 向心力 使卫星作匀速圆周运动，故 r mvF 2 = 从而， r gRv = 现设 81.9=g 米/秒 2 离地面高度(公里) 100 200 400 600 800 1000 v 7.86 7.80 7.69 7.58 7.47 7.37(公里/秒) （2） 火箭推进力及速度的分析 假设：火箭重力及空气阻力均不计 考虑： ( )2)()()( tOtdt dmtmttm D+D×=-D+ 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u(常数)，由动量守恒定理： [ ]utvtOt dt dmttvttm utvtmttvttmtvtm -×úû ù êë é D+D×-D+×D+= -×D-D+D+= )()()()( ))(()()()()()( 2 )()()( 2tOt dt dmtmttm D+D+=D+ )()()()()()( 2tOt dt dmttvttvtmttvttm D+DD++D+=D+D+\ [ ] )()()()()()()( 2tOutvt dt dmt dt dmttvttvtmtvtm D+-×÷ ø ö ç è æ D-DD++D+=Þ [ ] [ ] )()()()()()( 2tOutvt dt dmt dt dmttvtvttvtm D+-×D+DD+-=-D+ 两边同除 tD ，并令 0®Dt ，得： dt dmu dt dvm dt dmutv dt dm dt dmtv dt dvm -=Þ -×÷ ø ö ç è æ+-= )()( 由此解得， ÷÷ ø ö çç è æ += )( ln)( 00 tm muvtv ， 0m 是火箭初始质量。 提高 u，或提高 )( 0 tm m 之比，® ­)(tv （3） 目前技术条件下一级火箭末速度得上限 火箭－卫星系统得质量分成三部分： I. pm （有效负载，如卫星） II. Fm （燃料质量） III. sm （结构质量－如外壳、燃料容器及推进器） ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = sp mm muv 0ln 一般来说，结构质量 sm 在 Fs mm + 中应占有一定得比例，在现有技术 下，要使燃料仓与发动机得质量和小于所载燃料的 8 1 或 10 1 是很难做到的。 设 )()( 0 psFs mmmmm -=+= ll ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -+ =Þ pmm muv )1( ln 0 0 ll 对于给定的 u值，当 0=pm 时，火箭所能达到的速度为 ÷ ø ö ç è æ= l 1lnuv 。 已知目前火箭燃料的 skmu /3= ，如果取 1.0=l ，则 skmv /7» . 又 vQ 末 r gR= ，取 kmrkmRsmg 70006006400,6400,/81.9 2 =+=== ， skmv /6.7»Þ 而由前面推出卫星要进入圆形轨道，火箭末速度应为 skm /6.7 ，（是在假 定忽略空气阻力、重力，不携带任何东西的情况下），由此得出，如上的 单级火箭是不能用于发射卫星的。 缺陷：在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底，但当燃料耗尽时，发 动机加速的仅仅是一个空的燃料仓。因此，有待改进火箭的设计。 改进：不断丢弃无用部分。 t dt dm D×- l 表示丢弃的结构质量， tdt dm D×-- )1( l 表示燃烧掉的燃料喷 出的气体质量。 理想连续丢弃： 建模：由动量守恒定律， )()1()()()()()( uvt dt dmtvt dt dmttvttmtvtm -×D--×D-D+D+= ll ¯＝ )()()()( 2tOt dt dmttvttvtm D+DD++D+× 整理，并令 0®Dt ，得 ÷÷ ø ö çç è æ -=Þ--= )( ln)1()()1( 0 tm mutv dt dmu dt dvm ll vÞ 末 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -= pm mu 0ln)1( l 考虑空气阻力、重力，理想要达到： v 末＝10.5km/s, 而不是 7.6km/s. 如果取 50,/3,1.0 0 =Þ== pm mskmul ，即 1(t)重的卫星需要造一个 50(t)重 的火箭。 （4） 理想过程的实际化： 连续丢弃用逐级丢弃近似 令 im ＝第 I级质量（燃料＋结构）， iml 为结构质量， im)1( l- 为燃料质 量。假设 u一样，以分析三级为例： pmmmmm +++= 3210 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +++ = 321 0 1 ln mmmm muv p l ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ ++ += 32 32 12 ln mmm mmm uvv p p l ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + += 3 3 23 ln mm mm uvv p p l ï î ï í ì ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ++ ++ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +++ = +++= Þ 3 3 32 32 321 03 3210 ln mm mm mmm mmm mmmm m u v mmmmm p p p p p p lll 选取 321 ,, mmm 使 pm 最大。 令 ,,, 33 3 32 2 32 0 1 p p p p p m mm a mm mmm a mmm ma + = + ++ = ++ = （*）式则变为： 3 31 2 1 2 3 ln 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) v aa a u a a al l l æ öæ öæ ö = ç ÷ç ÷ç ÷+ - + - + -è øè øè ø 由于 321 ,, aaa 是对称的，故当 321 aaa == 时， 1 2 3a a a× × 取最小值，即 pm 最大， 令 ÷ ø öç è æ = -+÷ ÷ ø ö çç è æ -+ =Þ=== u v e a a a a u vaaaa 3 3 321 )1(1 , )1(1 ln ll ， 记 3 03 1, ÷÷ ø ö çç è æ - - =Þ= ÷ ø ö ç è æ- l l pm mep p u v 设 v=10.5km/s，u=3km/s, 77,1.0 0 »Þ= pm m l . 二级，n级同理： 级数(n) 1 2 3 4 5 … ¥ 质量(t) - 149 77 65 60 … 50 §2 传染病传播的数学模型 生物医学中的数学模型 :（1）传染病传播的数学模型 （2）疾病的数学模型 人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某以民族或地区，某种传染 病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数，这一现象如何解释呢？ 分析：传染病传播涉及的因素：人口多少；易受传染的人有多少；传染率 的大小；排除率的大小，人员的迁入或迁出；潜伏期。 先考虑最简单的情形： 模型一： 假设（1）每个病人在单位时间内传染的人数是常数 K； （2）一人得病后，经久不愈，人在传染期间不会死亡。 记 )(ti 表示 t时刻病人数， 0K 表示每个病人单位时间内传染得人数， 0)0( ii = ，即最初有 0i 个传染病人。则在 tD 时间内增加的病人数为 ttiKtitti D×=-D+ )()()( 0 ïî ï í ì = ×= Þ 0 0 )0( )()( ii tiK dt tdi 其解为 tKeiti 00)( ×= 表明：传染病的传播是按指数函数增加的。初期吻合较好，但 ¥®¥® )(, tit ，这是不符合实际的，假设（1）有问题。 模型二：用 )(),( tsti 表示 t时刻传染病人数和未被传染人数， 0)0( ii = ； 假设（1），每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正 比，即 )(0 tKsK = ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 假设（3），总人数为 n，即 ntits =+ )()( ï ï î ï ï í ì = =+ ×= Þ 0 0 )0( )()( )()( ii ntits tiK dt tdi ，得 inKe i n nti ××- ÷÷ ø ö çç è æ -+ = 11 )( 0 . 可以用来预报传染较快得疾病前期传染病高峰到来的时间 2 0 0 2 11 1 ú û ù ê ë é ÷÷ ø ö çç è æ -+ ÷÷ ø ö çç è æ - = ××- ××- tnK tnK e i n e i nkn dt di 此函数称为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系。 令 0 )( 2 2 = dt tid ，得极大点为 nK i n t × ÷÷ ø ö çç è æ - = 1ln 0 1 . 由此可见，当 ­nK , 时， ¯1t ，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合；该 公式对于防治传染病是有益处的；但当 +¥®t 时， nti ®)( ，这是不符合实际 的，问题出在假设（2），即假设了人得病后经久不愈。 模型三：把居民分成三类 第一类：是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。用 I(t)表示 t 时刻第一类人数； 第二类：是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用 S(t) 表示 t时刻第二类人数； 第三类：包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并 出现长期免疫力以前被隔离起来的人。用 R(t)表示。 假设疾病传染服从下列法则： （1） 人口总数保持固定水平 N； （2） dt tdS )( 正比于 )(),( tStI ； （3） )()( tRtI ® 的速率正比于 )(tI 。 dS r S I dt dI r S I rI dt dR r I dt ì = - × ×ï ï ïÞ = × × -í ï ï = ×ïî r：排除率，r：传染率 )(),(,0)( tStI dt RISd = ++ 解出， R亦解出。 =++Þ RIS 常数 ,ln)( 0 00 S SSSIsI r+-+=Þ 其中 r r =r ， ï î ï í ì <> == >< +-=¢ r r r r S S S S sI ,0 ,0 ,0 1)( 0)(,)0( 0 >=-¥= IsII ,¥$\ S 使 000)( SSSI <<= ¥¥ 从 ¯Þ+¥® )(,0 tSt ， 如 r<0S ，则 ¥®¯ StStI )(,0)( ，所以这种情况疾病会很快被消灭。 如 rr ®> )(,0 tSS 时，则 ),()( +¥®­ ttI 且 r=S 时， )(tI 达到最大值。 这说明仅当传染病开始时健康者人数超过 r的情况下，传染病才会蔓延， r 是一个阀值（俗称门槛）。通常 0I 很小，可近似认为 0S n» ，在总人数 n不变 的情况下，提高门槛 r的值，无疑是对制止传染病蔓延有利于使 r提高，现使 ¯­ rr , ，即提高医疗水平和健康水平。 当 r<)(tS 时， ¯)(tI 。 下面估计在一次传染病的流行过程中，被传染的总人数 ¥-= SSxx 0: . 0 0 0 ( ) ln SI t I S S S r= + - +Q 0 0 0 ( ) 0 ln 0SI S I S S S r ¥¥ ¥= Þ + - + = 0IQ 很小， 0ln 0 0 »+-Þ ¥ ¥ SS S S r 0ln 0 »+Þ ¥ S Sx r 而 01ln 0 0 »÷÷ ø ö çç è æ -+\-=¥ S xxxSS r 利用对数函数的泰勒展开式，（因 0 S x <1）, 0 2 1 2 0 2 0 »÷ ÷ ø ö ç ç è æ +×+-\ L S x S xx r 0 2 1 2 00 »÷ ÷ ø ö ç ç è æ × --Þ S x S x rr r r 00 )(2 SSx -»Þ 记 dr +=0S ， 当 rd << 时， d2»x 生物数学家 Kermack 和Mekendrick在 1927年证明了 定理（传染病学中的阈值定理） . 设 0 ,S r d= + 且假设 d r 同 1相比是小 量。 并设最初传染人数 0I 很小，则最终患病人数为 2d 。