第一章_乐高积木的几何原理

第一章 乐高积木的几何原理 乐高积木的几何原理：我看到过很多同学刚刚设计机器人小车，他们首先会选择最有用的少 许积木把小车搭好，兴致勃勃地编写好程序、下载，可是一松手，小车散了„„但这并不影 响他们的热情，他们会不停地改进，直到小车能轻松跑完全程„„在这个过程中，他们已经 开始根据乐高积木的各种特点，运用结构、机械原理来完善模型的结构，虽然他们并不是很 清楚乐高积木的何学原理，也没有被指导过怎么做。 乐高积木为什么能够很紧密地接合在一起？能完美地实现实验仿真？这不仅在于它有 两千多个各种形状的积木组件，有足够的零件让你完成你的设想，更重要的是，这些积木组 件都按同一严格设计、生产，所有积木都是可兼容的。它依据的标准就是乐高单位，而 且积木有严格的质量保持，乐高积木模具公差仅为 0.000005米。怎样巧妙地利用乐高积木 的特点——梁、块、板和孔之间的关系——完善你的结构，完成你独一无二的设计？ 本章包含的内容: 尺寸和单位的表示 方形的乐高世界 垂直支撑 倾斜的乐高世界 斜支撑 水平方向的尺寸和单位的表示 铰链的支撑 1.1 简介 在你进入乐高机器人世界之前，希望你能先掌握那些乐高积木中涉及的基本几何学原 理。不用担心，我们并不是要对你进行复杂的方程式和三角法则的测试，仅讨论一些非常简 单的概念和解释一些常用的术语，这样，在入门阶段就可以更容易地搭建出实际的模型。在 本章，你将会发现乐高爱好者使用什么单位来表示尺寸，如何来表示积木的面积，如何将积 木从不同的方位连接组合起来。 我们鼓励你使用手里的乐高组件对照本章的例子自己搭建一遍。把机器人套装放在手边，以 便随时挑选必要的积木，不过这一章节中的例子多数都只用到一些块和板。 如果由于某种原因，这部分材料对你来说过于复杂，你不必强求自己掌握，可以跳过这一章 直接进入到其它部分。在你需要的时候，你都可以回过来将这一章节当作术语表来使用。 1.2 尺寸和单位 乐高爱好者通常按顺序用 3个数字表示乐高积木的尺寸：宽度、长度和厚度。使用乐 高积木的一般方法是：“嵌入式“，当表示积木的尺寸时，都要考虑这种方位，不论是将积 木颠倒还是在 3 维空间旋转。 高度是识别积木的最基本的属性，它是指积木的底部到顶部之间的距离。宽度按照我们 习惯指的是水平方向上的两个尺寸中较短的一个（长度就是另外一个）。长度和宽度的表示 单位是用 “凸点” 来表述的，也叫作“乐高单位”。这样，我们可以描述绝大多数积木的 尺寸。乐高单位在 1949年第一次被使用，是一个 2??的积木块（如图 1所示）。 也可以不用乐高单位来表示乐高积木的尺寸，而采用公制（米制）单位，两个突点圆心 间的宽度相当于 8mm，一块积木的厚度（不包括突点的高度）相当于 9.6mm。能否记住这些 数据并不重要——重要的是要知道它们有不同的数值，也就是说你需要两个不同的单位来标 注高度和长度。它们之间的数值比就相当重要了：9.6除 8得 1.2（垂直方向的单位长度是 水平方向的单位长度的 1.2 倍。这个比值很容易记住，如果换算成整数比就是 6:5。在下一 章节我们将会研究这一比值的关联。 图 1.1一块乐高积木砖的尺寸 图 1.2显示的是最小的乐高积木砖，用乐高单位来表示是 1??。实际上这个乐高“立方 体”根本不是立方体。 图 1.2尺寸为1Í1Í1 的乐高积木砖的比例关系 在乐高组件中，有一类积木的厚度是块状积木厚度 1/3。其中最重要的组件就是“板”， 这些板中大多数是矩形，少数具有特殊形状。将 3块板叠在一起，它的厚度就相当于一块标 准的积木块的厚度（见图 1.3）。 图 1.3 三块板的高度等于一块砖的高度 1.3 方形的乐高世界：垂直的支撑 我们为什么要关心这些关系呢？要回答这个问，就要追溯到 70 多年前，乐高 TECHNIC 生产线刚刚诞生的时候。从那时起，就设计和使用乐高来搭建由水平层组成的物体：把积木 砖和板恰当的组合到一起。每个孩子都会很快知道 3块板的厚度等于 1 块砖的厚度，这也是 他们所需要知道的全部东西。但是在 1977年，乐高决定以年龄更大的顾客为对象，引进一 系列新的生产线：LEGO TECHNIC。它们共同的特点是带孔的 1蚇的积木块，我们称之为 TECHNIC积木块，或者叫作梁（图 1.4）。这些孔可以让轴穿过，也可以通过销子将梁互相 连接起来，这样就创造了一个完美的乐高世界。 图 1.4乐高 LEGO TECHNIC 梁 假设你要在垂直位置装一根梁，用来支撑两层或者更多层的水平位置的梁：这里我们必 须记住 6：5这个比值。梁上的孔与凸点一样都以相同的间距排列，但它们与凸点是以半个 凸点间距交错排列的。这样，当我们把两根梁嵌在一起，水平方向两孔的间距不等于垂直方 向两孔的间距，从而，不同层面上的孔就不能与之配合。换句话说，由于 6:5的尺寸关系， 一根垂直的梁上的孔不能够与一叠嵌在一起的梁上的孔相配合。至少不是所有的孔都能吻 合。但让我们仔细观察一下：用 6的倍数（6、12、18、24、30„„）来计算垂直方向的单 位，并用 5 的倍数（5、10、15、20、25„„）来统计水平方向的单位。不要数开始的积木 和开始的孔，因为它们是你的参照点；你测量的就是距离这个点的长度。当你数到 5 个垂直 单位的长度达到了 30，当你数到 6个水平方向单位，长度也达到了相同的数值（见图 1.5）。 从中我们得到了一个定理：在叠嵌在一起的梁中，第 5根梁的孔是和与之正交的垂直的梁上 的孔重合的。 图 1.5水平的梁与垂直的梁的配合 现在你可以用梁搭建一堵墙，然后用一根长的梁来固定它，从而实际验证这个规则。如 果你把一根轴放进第一个连通的孔中，然后试图将第二根轴放进接下去的孔里，你会发现在 开始的积木上加上 5 根梁和 10根梁，交叉的梁上的孔才是连通的（见图 1.6）。 这种交叉的梁的技巧是非常重要的。它可以使我们搭建出坚固的模型，垂直的梁将与之 连接的两根水平梁之间的积木锁住。遗憾的是需要将 6 根梁搭建在一起，才能用一根横贯的 梁将它们锁住。是否可以采用其它更好的方法呢？记得垂直单位有一个子单位——乐高板的 高度。3 块板组成一块砖，我们可以这样计算板的高度。高度以 2个单位的倍数而不是 6个 单位（2是 6的 1/3）。高度的级数就变为 2、4、6、8、10。5 块垂直的板的高度就为 10。 这个高度值刚好等于水平方向上孔的间距，因此我们的最后得出的结论是：每 5 块板的高度， 垂直梁的孔刚好可以配合。 图 1.6 5 块梁的高度刚好与孔配合 不幸的是，板不能用于连接垂直梁，原因十分简单，板没有孔！但是一根梁与 3 块板的高度 是一样的，知道这些，我们就可以在计算上做如下：从梁的底部开始，每加一块板就增 加一个单位，每加一块梁增加 3个单位，并要保证至少一根梁在顶部，如果结果是 5的倍数， 孔就能与垂直梁配合。 最简洁的设计如图 1.17所示用一根垂直梁固定水平层：一根梁和两块板的高度相当于 5块 板。连接垂直梁的唯一方法就是使用 5块板产生两孔的距离。在乐高工程师设计的模型中都 使用这种方法。 图 1.17 最紧凑的固定结构 随着连接距离的增加，连接的方式也增多了，下一步就是连接 10块板/4孔的间距，但连接 同样 10块板的高度，可以有许多方法。如图 1.18 图 1.8 标准栅格结构 图 1.18 c 中所示的连接是比较常用的，它是基于图 1.7 中的设计结构的。因为在中间位置 固定了梁，当你搭建模型时，1块梁+2 块板+1 块梁+2块板的连接方式可以让你搭建更牢固： 间隔一个孔连接，在 Eric Brok 的网站上称它为标准结构（见附录 A），它可以使连接最优 化。 你一定要局限于使用这种连接方式吗？不要约束自己的想象力！这只是一些小技巧，在许多 情况下，特别是当你不知道如何去做时，这些技巧对你很有用。在很多应用中我们使用了不 同的设计结构，对你同样也同样有帮助。 1.4 倾斜乐高世界——斜支撑 乐高梁是不是只能垂直连接呢？乐高最大的特点是搭建方形的物体，但斜连接同样可 以，它可以使我们的世界更加丰富多彩，同时又提供了一个有力的解决问题的工具。 你现在知道如何用一根垂直梁去连接一堆梁和板，而且你也知道了它们的数字关系。但如何 用一根斜梁支撑水平梁？这根斜梁看起来就像直角三角形的斜边。搭建一个如图 1.9 所示的 模型，现在测量它们的各边，记住不要去计算第一个孔，因为我们是根据孔之间的距离来测 量长度的，三角形的底边有 6个孔，高度有 8 个孔：记住在标准结构中它们间的距离为底部 的梁到上面的梁两孔间的距离（在图中我们放置了一根垂直梁，帮助你计算孔的数量。直角 三角形的斜边长度为 10个孔）。 在这里我们介绍一下由古希腊哲学家、数学家毕达哥加斯加创建的勾股定理，这是一个非常 著名的数学定理。定理了直角三角形的直角边与斜边的数学关系，假设组成直角的两边 称为 A、B ，三角形斜边为 C。它们间的关系就是： A2+B2=C2 现在我们将数字代入上面的公式得到： 62+82=10 2 将上式展开： (6 x 6) + (8 x 8) = (10 x 10) 36 + 64 = 100 100 = 100 图 1.9 勾股定理的应用 值得肯定的是，这个例子不是偶然的，而是应用了勾股定理，逆用这个定理，如果知道底边 和高度的值，就可以算出斜边的值。只有当两个数字的平方和刚好等于另一个数字的平方时， 公式才成立，如表 1.1 所示： A(底边) B（高） A*A B*B A2+B2 说明 5 3 6 8 25 9 36 64 61 73 不成立 不成立 3 4 9 16 25 成立，25=5×5 15 8 225 64 289 也成立，虽然 289=17×17，它可以 得出一个大的三角形 9 8 81 64 145 145 不是整数的平方，但它接近 144 （12x12），因为梁的配合允许有 1% 的误差，所以斜梁也可以配合。 现在，你可能会问，在玩积木时，是否要在桌上放一个小计算器，而且还需要重心温习一下 高中数学？其实你不必担心。因为：你不会经常使用斜梁。而最常用的三角形连接都是基于 3-4-5三条边长的（如表 1.1 第三行），如果将三角形各边长同时扩大一个整数倍，又会得 到一个有效的 3 边长。如扩大 2倍得到：6-8-10，扩大 3倍得到：9-12-15等等。这些都是 有用并且是很容易记住的边长。 我们在附录 B中提供了包含许多实用的边长列表，还有一些等式虽不成立但非常接近正确的 数值，可以配合得很好，而不会对积木块引起任何的损坏。 我们建议你花一些时间研究三角形，试着使用一下使用不同边长的连接方式来检验它的刚 度。这些知识对你以后搭建复杂的模型是非常有用的。 1.5 水平尺寸和单位的表示 到现在为止，我们一直都在讨论垂直平面，因为使用垂直梁来固定层的技术对搭建出 坚固的模型是非常重要的，当然坚固的模型是塑料的。在水平方向上使用积木还有非常有效 的方法，那就是：连接凸点。 前面介绍过，测量长度的单位是凸点，也就是说，只要数出积木的凸点数，就能计算 积木的长度。梁上的孔都以相同间距排列，实际上，3个凸点的长度与 3个孔的长度是相等 的。观察梁，会注意到孔与凸点是交错排列的，每个梁上的孔总比凸点少一个。但也有两种 例外：带 1 孔的 1×1 梁，带两孔的 1×2 的梁（如图 1.10），机器人套装中没有这两种积 木，但它们是很有用的。 图 1.11带 1孔的 1×1 梁和带两孔的1×2的梁 在这些短梁中，孔刚好排列在凸点下，而不在它们之间，而且当与标准梁一起使用时， 可以得到半个孔的增量（如图 1.11）。在下一章讲到齿轮时将会看到这两种梁的实际应用。 图 1.11 得到半个孔的间距 还有一种可以实现同样功能的积木，即带一个凸点的 1×2 的板。在机器人套装中也没 有这个积木块，但也很容易找到。如图 1.12 所示，调整半个凸点的距离时是很有用的。在 模型中，这有助于调整触动传感器的位置，我们在这本书中将会看到一些这方面的实例。 图 1.12 单凸点 1×2 的板 1.6 铰链支撑 在结束本章之前，我们再回到三角形支撑，你现在拥有了可以轻易解决问题的全部工 具了。这里也没有新的内容，只是前面理论的不同应用。这项技术你可能用不到，但为了完 善起见，我们这里合仍介绍一下。 首先需要介绍一个特殊的部件：铰链（如图 1.13）。使用这种铰链能搭建许多不同的 三角形，但还是针对直角三角形的，因为它们是到目前为止最有用的三角形连接部件。铰链 的两端可以与板或梁的上下层连接，同时提供了许多与其它结构整合的方法。 图 1.13 乐高铰链 乐高铰链可以旋转连接的梁，保证它们的内角始终接触。因此，使用 3个铰链，就能得到一 个三角形，它的垂直边集中在铰链的旋转中心上，内部边长就等于梁的长度（如图 1.14）。 关于直角三角形，你已对勾股定理比较熟悉了，它也同样可以应用在这里，我们已经看到的 相同的连接在这里也成立：3-4-5，6-8-10等等。 图 1.14 使用铰链组成直角三角形 小结： 你学过几何学吗？假如对基础熟悉，学起来就不会困难了。首先，它有助于根据它们 之间的比例去确定积木块，通过凸点计算它们的长度和宽度。并认识了垂直单位与水平单位 的比例是 6：5。有了这个简单的比例，你可以试着去将轴或销插入垂直梁的孔中来固定结 构；你知道了每 5 块积木砖的高度，垂直梁的孔刚好与之相配合；同样，由于 3 块板的高度 刚好等于一块积木砖，最紧凑的固定结构就是使用 2片板和 1块砖加起来的高度，因为它刚 好是 5的倍数，如果对此你能灵活应用，每一件事都会变的很容易：1 块砖，2 块板，1 块 砖，2块板„„ 为了配合一根斜梁，使用了勾股定理。基于 3-4-5 边长的连接可以组成一类容易记住 的边长来做成一个三角形。但也有其他方法，有的也是基于这个原理，还是去看一下附录 B 提供的表吧。