武大本科课件-洛朗级数

null第四节 洛朗级数第四节 洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题一、问题的引入一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛null收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分Rnull结论:常见的特殊圆环域:null例如，2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?null所以也可以展开成级数：二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理为洛朗系数.null证对于第一个积分:null对于第二个积分:null其中null下面证明null则null[证毕]null说明:1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法然后写出缺点: 计算往往很麻烦.null根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点 : 简捷 , 快速 .2. 间接展开法四、典型例题四、典型例题例1解由定理知:其中null故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:null另解本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,null例2 内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.解nullnull且仍有nullnull仍有null说明:null回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛null解 例3null例4解 null例5内的洛朗展开式. 解 nullnull五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函 数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级 数是本节的重点和难点.null洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题null 洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数; 思考题是一般与特殊的关系. 洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按Esc退出.