三角形平行四边形动点问题

平行四边形和三角形问 一、选择题 1. (2010年四川眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（  ） A．90°      B．60°       C．45°      D．30° 2.（2010福建龙岩）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ） A. 正三角形     B. 正方形           C. 正五边形         D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是 A．9             B．8               C．6              D．4 . 二、填空题 1（2010年福建福州）14.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为           . 2.（2010年福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2， 则FC等于_____． 3（2010年福建宁德）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为___________. 三、解答题 1. (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可） 关系：①∥，②，③，④． 已知：在四边形中，　　　　　，　　　　　； 求证：四边形是平行四边形． 2. (2010年浙江衢州)已知：如图，E，F分别是□ABCD的边AD，BC的中点． 求证：AF=CE． 3．（2010浙江省嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE＝CF． （1）求证：DE＝BF；（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明） 4. (2010年山东滨州)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. (1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么. (2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？ 5.（2010年贵州毕节地区）如图，已知：   ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：． 6．（2010年重庆市潼南县）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长. 7.（2010年江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF． 求证：∠EBF=∠FDE． 【】 一．选择1.C 2.C 3.C 二.填空1.21 2.4 3.4 三．1解：已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以. （解法一） 已知：在四边形中，①∥，③.） 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵ ∥∴， ∵，∴∴四边形是平行四边形 （解法二） 已知：在四边形中，①∥，④.求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴∥又∵∥∴四边形是平行四边形． （解法三） 已知：在四边形中，②，④. 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴∥ 又∵∴四边形是平行四边形． （解法四） 已知：在四边形中，③，④. 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴∥∴ 又∵∴ ∴四边形是平行四边形． 2． 证明：1：∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点， ∴　AE = CF． 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，　∴　AD∥BC，即AE∥CF． ∴　四边形AFCE是平行四边形．                 ∴　AF=CE．                                                 方法2： ∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点， ∴  BF=DE．                                                                                          又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴　∠B=∠D，AB=CD． ∴　△ABF≌△CDE．                                                                                 ∴　AF=CE．                                                                                           3．（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF． ∴四边形BFDE是平行四边形．∴．    （2）连结BD，如图，图中有三对全等三角形： △ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB．    4. 解：(1) 四边形EFGH为平行四边形，连接AC ∵E、F分别是AB、BC的中点，EF∥AC，EF=AC.同理HG∥AC，HG=AC.∴EF∥HG, EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形  (2) 四边形ABCD的对角线垂直且相等. 5.证明：∵ 四边形是平行四边形（已知）， ，（平行四边形的对边平行，对边相等）                                   ，（两直线平行，内错角相等）                            又∵ BG平分，平分（已知） ，（角平分线定义）                                             ，．                                                                      ，（在同一个三角形中，等角对等边）                                                                                                                                                         ，即．                6. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形      ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ∴△ABE≌△DAF （2）∵四边形ABCD是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4 ∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900 在正方形ABCD中， AD∥BC∴∠1=∠AGB=300 在Rt△ADF中，∠AFD=900    AD=2   ∴AF=   DF =1 由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1∴EF=AF-AE= 7.证明： 连接BD交AC于O点   ……  1分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD   又∵AE=CF ∴OE=OF ∴四边形BEDF是平行四边形  ∴∠EBF=∠EDF       二动点问题答案： 1．如图 ，点 ， 的坐标分别为（2，0）和（0， ），将 绕点 按逆时针方向旋转 后得 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ． （1）写出 ， 两点的坐标，并求出直线 的解析式； （2）将 沿着垂直于 轴的线段 折叠，（点 在 轴上，点 在 上，点 不与 ， 重合）如图 ，使点 落在 轴上，点 的对应点为点 ．设点 的坐标为（ ）， 与 重叠部分的面积为 ． i）试求出 与 之间的函数关系式（包括自变量 的取值范围）； ii）当 为何值时， 的面积最大？最大值是多少？ iii）是否存在这样的点 ，使得 为直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．答案 解：（1） （2分） 设直线 的解析式 ，则有 解得 直线 的解析式为 （3分） （2）i）①点 在原点和 轴正半轴上时，重叠部分是 ． 则 当 与 重合时， （4分） ②当 在 轴的负半轴上时，设 与 轴交于点 ，则重叠部分为梯形 . 又 （5分） 当点 与点 重合时，点 的坐标为 （6分） 综合 得 （7分） ii） 当 时， 对称轴是 抛物线开口向上， 在 中， 随 的增大而减小 当 时， 的最大值＝ （8分） 当 时， 对称轴是 , 抛物线开口向下 当 时， 有最大值为 （9分） 综合 当 时， 有最大值为 （10分） iii）存在，点 的坐标为 和 （14分） 附：详解： 当 以点 为直角顶点时，作 交 轴负半轴于点 ， , ; , 点 坐标为（ ，0） 点 的坐标为 当 以点 为直角顶点时,同样有 , , 点 的坐标 ,综合①②知满足条件的坐标有 和 ． 3．直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止． （1）直接写出、两点的坐标； （2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3题答案 (1) ……………………….各1分 (2)∵，，∴ 当点 在上运动时，， ；..............1分 当点 在上运动时，作于点， 有 ∵，∴………………………1分 ∴……………………1分 （3）当时，，，………………………………1分 此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；……………………………………………………………………………1分 当时，，，……………………1分 此时，、………………………………………各1分 4． 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 5．（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒. (1)填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ； (2)探究下列问题： ①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值。 ②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边 形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值. 5题解 （1）5 , 24, （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE,∴, ∴QG=, ∴(≤t≤5). ……1分 ∵(≤t≤5). ∴当t=时，S最大值为6 ② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可. 当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP= 以下分两种情况讨论: 第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P. 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点 F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 , ∴, ∴. ∴CQ1==.则, ∴ 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3. ①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则,∴.……1分 ②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N， 由△ANP∽△AEB,得. ∵AE= , ∴AN＝. ∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10- 则.∴. 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或. 6（2009年浙江宁波）．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形的形状是 ，当α=90°时，的值是 ． （2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值; ②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （2009年浙江宁波26题解析）解：（1）矩形（长方形） （2）①，， ． ，即， ，． 同理， ，即， ，． ． ②在和中， [来源 ． ． 设，[来源:学科网] 在中， ，解得． ． （3）存在这样的点和点，使． 点的坐标是，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点画于，连结，则， ，， ． 设， ， ， 如图1，当点P在点B左侧时， ， 在中，，[来源:学科网ZXXK] 解得，（不符实际，舍去）． ， ． ②如图2，当点P在点B右侧时， ，． 在中，，解得． ， ． 综上可知，存在点，，使． 7． 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标； (3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标． 附加题：（如果有时间，还可以继续 解答下面问题，祝你成功！） 如果点P、Q保持原速度速度不 变，当点P沿A→B→C→D匀 速运动时，OP与PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的t的 值；若不能，请说明理由． 6题解（1） (1,0) ----------------------------------------------------------------------------------1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度．----------------------------------------------3分 (2) 过点 作BF⊥y轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8， . ∴ . 在Rt△AFB中， .-----------------------------------------------5分 过点 作 ⊥ 轴于点 ,与 的延长线交于点 . ∵ ∴△ABF≌△BCH. ∴ . ∴ . ∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分 (3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥ 轴于点N， 则△APM∽△ABF. ∴ . . ∴ . ∴ . 设△OPQ的面积为 (平方单位) ∴ (0≤ ≤10) --------------------10分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分. ∵ <0 ∴当 时, △OPQ的面积最大.------------------11分 此时P的坐标为( ， ) . ---------------------------------------------------12分 (4) 当 或 时, OP与PQ相等.-----------------------------------------14 9． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F． （1）求的度数； （2）求线段AD1的长； （3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由． 9题解 解：（1）如图所示，，， ∴．　　………………………………1分 又， ∴． ………3分 （2），∴∠D1FO=60°． ，∴． 4分 又，，∴． ，∴． 5分 又，∴． 在中，． 6分 （3）点在内部． 7分 理由如下：设（或延长线）交于点P，则． 在中，， ………… 9分 ，即，∴点在内部． ……………10分 11．如图15，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）． （1）两点间的距离是 ； （2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由； （3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值； （4）连结，当时，请直接写出的值． 11题解：（1）25． （2）能． 如图5，连结，过点作于点， 由四边形为矩形，可知过的中点时， 把矩形分为面积相等的两部分 （注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明）， 此时．由，，得． 故． （3）①当点在上时，如图6． ，， 由，得． ． ②当点在上时，如图7． 已知，从而， 由，，得． 解得． （4）如图8，；如图9，． （注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；当时，点均在上，不存在） 16 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ，分别交 轴于点 和点 ，点 是直线 上的一个动点． （1）求点 的坐标． （2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标． （3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出 的值；如果不存在，请说明理由． 16题解：（1）在 中，当 时， ， ，点 的坐标为 ． 1分 在 中，当 时， ，点 的坐标为（4，0）． 2分 由题意，得 解得 点 的坐标为 ． 3分 （2）当 为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点 的坐标为 ． 由（1），得 ， ． ①当 时，过点 作 轴，垂足为点 ，则 ． ． ，点 的坐标为 ． 4分 ②当 时，过点 作 轴，垂足为点 ，则 ． ， ， ． 解，得 （舍去）．此时， ． 点 的坐标为 ． 6分 ③当 ，或 时，同理可得 ． 9分 由此可得点 的坐标分别为 ． 评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关． （3）存在．以点 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形 为平行四边形时， ． 10分 ②当四边形 为平行四边形时， ． 11分 ③当四边形 为平行四边形时， ． 12分 18．（本题满分14分）已知：如图，在直角梯形 中， ，以 为原点建立平面直角坐标系， 三点的坐标分别为 ，点 为线段 的中点，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线 的路线移动，移动的时间为 秒． （1）求直线 的解析式； （2）若动点 在线段 上移动，当 为何值时，四边形 的面积是梯形 面积的 ？ （3）动点 从点 出发，沿折线 的路线移动过程中，设 的面积为 ，请直接写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围； （4）当动点 在线段 上移动时，能否在线段 上找到一点 ，使四边形 为矩形？请求出此时动点 的坐标；若不能，请说明理由． 18题解 解：y=20+2x （12≥x≥1） （2）当5≥x≥1时，W=（1200-800）×（2x+20） =800x+8000 此时w随x的增大而增大，当x=5时，W最大=12000 当12≥x＞5时，W= =-80（X2-5X-150)=-80(X- )2+12500 此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小。 所以，当x=6时，W最大=11520 20.（1）设直线BC的解析式为y=kx+b 依题意得： 4=k×0+4 10=8k+b 解之得：k= ； b= 4 所以直线BC的解析式为y= x+4 t= s= t （8>t>0） s=44-2x （18>x≥8） s=- （4）不存在。理由如下：过C作CM⊥AB于M,易知CM=OA=8 AM=OC=4,所以BM=6.假设四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5,PQ‖CD, 根据Rt△PAQ∽ Rt△BDP可求PB=5,PB=PD,这与三角形PBD是直角三角形相矛盾，所以假设不成立在OA上不存在点Q,,使四边形CQPD为矩形 17。如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90º． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为   ▲   ，数量关系为   ▲   ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ (2)如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值． 解： (1)①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD （2）画图正确 当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD （3）当具备∠BCA=45º时， 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊） ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴  DQ=4—x， 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴， ． ∵0＜x≤3   ∴当x=2时，CP有最大值1． 附加题1 如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． 26．解：（1）1，； （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴． 由△AQF∽△ABC，， 得．∴． ∴， 即． （3）能． ①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得， 即． 解得． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 ， 即． 解得． （4）或． 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． ，． 由，得，解得． 方法二、由，得，进而可得 ，得，∴．∴． ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． ，】 附加题3 如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当取最小值时，判断的形状，并说明理由． 26．（1）证明：∵是等边三角形 ∴ 1分 ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 2分 ∴ ∴梯形是等腰梯形． 3分 （2）解：在等边中， ∴ ∴ 4分 ∴ ∴ 5分 ∵ ∴ 6分 ∴ ∴ 7分 （3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ 9分 ∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形． 此时平行四边形有4个． 10分 ②为直角三角形 11分 ∵ ∴当取最小值时， 12分 ∴是的中点，而 ∴∴ 13分 附加题425．（本小题12分）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3 （1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积. （2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个 单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠 部分的面积为y，求y与t的函数关系. 25．（12分） 解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6 ∴AH= AC= ×6=4 又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分 ∴ = ，即 = ，∴HG= …………………………………2分 ∴S△AHG= AH·HG= ×4× = ……………………………………3分 （2）①能为正方形…………………………………………………………………4分 ∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形 又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分 又CH=AC-AH=6-4=2 ∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形 此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分 ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB ∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合. 当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分 过F作FM⊥DE于M， =tan∠DEF=tan∠ABC= = =  ∴ME= FM= ×2= ，HF=DM=DE-ME=4- =  ∴直角梯形DEFH′的面积为 （4+ ）×2=  ∴y= ………………………………………………………………8分 （Ⅱ）∵当4＜t≤5 时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分 而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG= ×8×6- = S矩形CDH′H=2t ∴y= -2t……………………………………………………………………10分 （Ⅲ）当5 ＜t≤8时，如图，设H′D交AB 于P. BD=8-t 又 =tan∠ABC=  ∴PD= DB= （8-t）………………11分 ∴重叠部分的面积y=S △PDB= PD·DB = · （8-t）（8-t） = （8-t）2= t2-6t+24 ∴重叠部分面积y与t的函数关系式： y= （0≤t≤4） -2t（4＜t≤5 ） t2-6t+24（5 ＜t≤8） （注：评分时，考生未作结论不扣分） x y O B′ A′ A 图① x y O A E C D B 图② （第26题图） B (第24题) Q C B A O x P � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� y H Q C B A O x P � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� y H (第24题图①) � （第24题图②） � （甲） A C E D B B （乙） A E11 C D11 O F 5 4 1 2 3 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A E C D F G B Q K 图15 P A E C D F O B Q K 图5 H P G A E C D F B Q K 图6 P G A E C D F B Q K 图7 P (G) A E C D F B Q K 图8 P G H A E C D F B Q K 图9 P G A y x D C O B A y x y x D2 图（1） 图（2） D1 C D4 D3 M2 M1 O B B O C A D1 D2 E1 E2 M4 A B D C O x y （此题备用） A B D C O P x y A C B P Q E D 图16 A C ) B P Q D 图3 E ) F A C B P Q E D 图4 A C B P Q E D 图5 A C(E) ) B P Q D 图6 G A C(E) ) B P Q D 图7 G A D C B P M Q 60° 图13 A D C B P M Q 60° ……………………………………12分 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568209.unknown _1234568213.unknown _1234568217.unknown _1234568219.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567