影响投篮命中率的因素分析

1 影响投篮命中率的因素分析 一、摘要 文章分析了影响运动员投篮命中率的主要因素，并通过微分方程的相关知识，从理论上 研究了这些因素对投篮命中率的影响，并通过计算机得出了一些数值结果，从而直观的表达 了这些因素对投篮命中率的影响。 影响投篮命中率的主要因素有篮球的出手角度和初始速度。篮球入筐有两种方式，一是 直接进入篮筐，叫做空心入网球；一是经过篮板反弹后进入篮筐，叫做打板球。根据篮球在 空中是否旋转，将其分为不旋转球和后旋球。 对于不旋转的空心入网球，文章通过篮球的有效入筐区域的大小来刻画投篮命中率。可 以证明，有效入筐区域的面积大小是由篮球入筐时与篮筐所在平面的夹角（称为篮球的入射 角度）的大小决定的。通过求解篮球的飞行曲线，找到了篮球的入射角度与篮球的出手角度 之间的关系，从而确定了使得篮球的有效入筐区域最大时的篮球的出手角度，就是篮球的最 佳出手角度。经计算可得，篮球的最佳出手角度是 55.4 度。 对于不旋转的打板球，文章通过篮球的有效打板区域的大小来刻画投篮命中率。通过在 三维空间中求解篮球的飞行曲线，找到了篮球的有效打板区域的面积与运动员和篮板所成的 角度之间的关系。经过计算，可以得知，当运动员与篮板所成的角度越大时，篮球的有效打 板区域的面积就越大，那么，投篮命中率就越高。 对于后旋球，根据马格努斯效应，篮球飞行时受到空气对它的向上的浮力。由此，我们 可以得到一个微分方程组，这个微分方程组反映了后旋球飞行的状态。通过 MATLAB 软件， 我们可以求得这个微分方程组的数值解。那么，给一个篮球的出手角度，我们就可以得到篮 球的入射角度，我们拿这个入射角度与篮球不旋转时的入射角度做比较，就可以分析球的后 旋对命中率的影响。我们得到的结论是，球的后旋可以提高投篮命中率。 后旋球碰到篮板时，由于球的后旋，篮板会给球一个向下的速度，从而使得篮球的入射 角度增大，增加投篮的命中率。我们求解出了在这种情况下篮球的飞行曲线，从理论上证明 了篮球入射角度的增大。最后得出结论，后旋球打板比球不旋转打板时的命中率高。 2 目录 一、摘要........................................................................................................................................... 1 二、关键词....................................................................................................................................... 4 三、引言........................................................................................................................................... 4 3.1 问题的叙述 ........................................................................................................................ 4 3.2 问题的背景 ........................................................................................................................ 4 3.3 问题的分析 ......................................................................................................................... 4 3.3.1 影响空心投篮命中率的因素 .................................................................................. 4 3.3.2 对打板球的分析 ...................................................................................................... 5 3.3.3 篮球的后旋 .............................................................................................................. 6 3.4 问题的研究现状 ................................................................................................................. 6 四、模型的假设 ............................................................................................................................... 6 五、符号说明 ................................................................................................................................... 6 六、模型的建立 ............................................................................................................................... 7 6.1 篮球空心入网时出手角度的确定 .................................................................................... 7 6.1.1 篮球有效入筐区域的定义 ..................................................................................... 7 6.1.2 篮球有效入筐区域的面积 ..................................................................................... 8 6.1.3 篮球的出手角度对篮球有效入筐区域的面积的影响 ......................................... 8 6.1.4 确定最佳出手角度 ，使得篮球有效入筐区域的面积足够大 ........................ 9 6.2 打板球的命中率分析 ...................................................................................................... 10 6.2.1 有效打板区域的定义 ........................................................................................... 10 6.2.2 有效打板区域的面积 ........................................................................................... 11 6.3 后旋球对命中率的影响 .................................................................................................. 14 6.3.1 后旋球的受力分析 ............................................................................................... 14 6.3.2 篮球后旋时在空中飞行的轨迹 ........................................................................... 14 6.3.3 后旋对空心入网球的命中率的影响 ................................................................... 15 6.3.4 后旋对打板球的命中率的影响 ............................................................................ 15 七、模型的求解 ............................................................................................................................. 17 7.1 投篮的最佳出手角度的确定 .......................................................................................... 17 7.2 有效打板区域的面积 ...................................................................................................... 17 7.2.1 过 A 点的篮球飞行曲线与篮板的交点 E 的坐标 ............................................... 17 7.2.2 有效打板区域的面积 ........................................................................................... 18 7.3 后旋球对空心入网球命中率的影响 .............................................................................. 19 7.4 后旋球对打板球命中率的影响 ...................................................................................... 20 八、模型的检验 ............................................................................................................................. 20 8.1 一些相关参数的值 .......................................................................................................... 20 8.2 最佳出手角度 .................................................................................................................. 20 8.3 有效打板区域面积的计算 .............................................................................................. 21 8.4 后旋球空心入网 .............................................................................................................. 22 8.5 后旋球打板 ...................................................................................................................... 22 8.6 球后旋时与不旋转时飞行轨迹的直观表示 .................................................................. 23 8.7 误差分析.......................................................................................................................... 23 九．模型的评价 ............................................................................................................................. 24 3 9.1 模型的优缺点 .................................................................................................................. 24 9.2 模型的改进方向 .............................................................................................................. 24 十、参考文献 ................................................................................................................................. 24 十一、附录..................................................................................................................................... 24 4 二、关键词 投篮命中率 后旋球 打板球 空心球 出手角度 三、引言 3.1 问题的叙述 用现代数学方法研究体育运动是 20 世纪 70 年代开始的，1973 年，美国的应用数学家 凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。几乎同时， 美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术，从而提出 自己的理论，据此改正投掷技术的训练，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高 了 4 米，在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明，数 学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入，借助的科 学工具也越来越先进。 试用数学知识分析，在篮球运动中，考虑到各方面的因素，如何提高投篮的命中率。 3.2 问题的背景 篮球源于美国，据《篮球运动发展史》记载：1891年，詹姆士·奈史密斯(James Naismith) 博士设计并发明了篮球这项运动。1936 年，篮球运动正式列为近代奥林匹克运动会比赛项 目。 篮球比赛中，最直接的得分手段是投篮，经过一百多年的发展，运动员的投篮姿势在不 断的改进，随着投篮姿势的改进，运动员的投篮命中率不断提高，以至于运动员可以投进一 些令人难以置信的球，尤其是比赛最后时刻的绝杀球，大大增加了篮球运动的观赏性。 篮球进筐有两种方式，一种是空心球，即篮球直接入筐，另一种是打板球，即篮球打板 后，经篮板反弹后入筐。相对于打板球，运动员和观众更钟情于空心球，因为空心球更具观 赏性，但是，却不能忽略打板球，因为，在很多情况下，打板球比空心球的命中率高，毕竟， 在比赛中，得分是最关键的。 运动员投篮时，出手后的球一般在空中自身会旋转，大多数情况下是后旋（篮球面向篮 筐向后旋转），篮球的后旋不但有利于保持球飞行的稳定性，也有助于对飞行弧度的控制。 在碰到篮圈时，球反弹的方向是向下的，比不旋转的球更容易落入球篮内。 3.3 问题的分析 3.3.1 影响空心投篮命中率的因素 对于投篮出手高度一定和距篮筐中心距离一定的运动员，假设该运动员投篮时篮球飞行 5 的轨迹与篮筐中心在同一平面，即运动员可以瞄准篮筐，使篮球的轨迹不发生向左或向右的 偏移。此时，若运动员的投篮出手角度（篮球的初速度与水平方向的夹角）固定，投篮时， 篮球的初速度必须在一个范围内，这样，篮球才能入筐，即投篮命中。这是因为，篮筐比篮 球的直径大，篮球可以紧切篮筐的前侧进入，也可以紧切篮筐的后侧进入（如下图 1），这 样，篮球球心的入筐点就会有一个范围。如下图 2，点 A是离运动员最近的篮球入筐点，点 B是离运动员最远的篮球入筐点。这使得当篮球的飞行轨迹发生一定纵向偏差时，篮球也 会入筐。 投篮命中率高的运动员，可以控制篮球的初始速度，使之变化范围较小，使得篮球更易 入筐。不过，我猜想应该可以确定一个出手角度 ，使得能够使篮球入筐的初始速度的变 化范围较大，这样，运动员控制篮球初始速度能力大小的一定时，出手角度为 时，投篮 命中率最高。 如果篮球飞行的轨迹不一定和篮筐的中心在同一个平面时，即运动员瞄准篮筐中心投篮 时，出手角度发生了横向（垂直于篮球飞行轨迹与篮筐中心所在的平面）的偏差，此时，由 于篮筐的直径比篮球大，篮球也有可能入筐。如图 3，篮球的中心落在在C、D区间时， 篮球会入筐。 应该存在一个出手角度，使得C、D之间距离最大，这样，篮球的运行轨迹发生横向 偏差时，篮球入筐的概率最大。 3.3.2 对打板球的分析 打板球的存在，提高了篮球入筐的可能性。例如，运动员与篮筐中心的连线与篮板的夹 角为 90 度时，篮球初速度较小时，篮球会空心入网，若初速度超过篮球空心入网的初速度 的范围时，篮球也有可能碰撞篮板后反弹入网。如图 4，当篮球初速度较大时，只要篮球碰 到篮板上的E、F 区间，篮球就会反弹入网。 对于打板球，在不同的位置打板，命中率会有所不同。 A B 图 2 图 1 图 5 C D 图 3 A B 图 4 E F A B 6 3.3.3 篮球的后旋 在实际的投篮中，可以看到，篮球在空中飞行时，会发生旋转，一般是后旋（篮球面向 运动员向后旋转），由伯努利方程可知，在篮球的飞行过程中，篮球会受到空气向上的升力 （如图 5），使得篮球的飞行弧度变高，这样篮球就可以飞得更远，那么，投篮时，运动员 用较小的力就可以将篮球投入篮筐。后旋也可能影响到出手角度的选择。 另外，球的后旋也会对打板球的轨迹产生影响。球不发生后旋时，球碰篮板后受到篮板 的反弹力作用，获得较小的入篮角（如下图6）。由于后旋球在碰篮板之后，除受到篮板的 反弹力作用外，同时受到因旋转而产生的篮板的反作用力的作用，二者的合力方向指向篮圈， 使球得到较大的入篮角度，容易中篮（见图7）。而且球的旋转程度越高，篮板的反作用力 就越大，球可以获得的入篮角也越大，进一步为提高投篮命中率创造了条件。 3.4 问题的研究现状 篮球运动经过一百多年的发展，运动员的投篮姿势得到了很大的改良，投篮命中率也得 到了很大的提高。 关于投篮的出手角度，有些人认为，对于中距离投篮，出手角度在40--50度时命中率最 高；对于打板球，站在与篮板夹角为15度到45度的范围内，打板球命中率较高，在30度时， 打板球命中率最高。这些数据只是通过经验得出的，并没有理论上的依据，接下来我将会从 理论上进行论证。 四、模型的假设 4.1 假设运动员投篮时出手高度不变； 4.2 不考虑球的后旋时，假设空气阻力为零； 4.3 假设篮球与篮板发生碰撞时，能量的损失为零； 4.4 忽略运动员的个人水平对投篮命中率的影响。 五、符号说明 符号 说明 符号 说明 图 7 图 6 7  篮球的出手角度 R 篮筐的半径  篮球的入射角度 r 篮球的半径  出手点与篮筐中心的 连线的在水平面上的 投影与篮板平面的夹 角 d 篮筐中心到篮板的距 离  篮球的飞行轨迹的在 水平面上的投影与篮 板平面的夹角 F 球体由于后旋而受到 的空气浮力 l 出手点与篮筐中心的 水平距离 v 后旋球打板时获得的 增速 H 篮筐的高度 M 篮球的质量 h 出手点的高度 v 篮球出手时的速度 六、模型的建立 6.1 篮球空心入网时出手角度的确定 6.1.1 篮球有效入筐区域的定义 在问题的分析2.3.1中提到，当篮球的飞行轨 迹发生一定的纵向和横向偏差时，篮球也会入筐。 这样，在篮筐的平面内，就会有一个区域，这个区 域是由所有能够入筐的篮球的球心的运动轨迹曲 线与篮筐所在平面的交点构成的，我们把这个区域 叫做篮球有效入筐区域。如图8，最外面的大椭圆 表示篮筐，四个小圆表示篮球的横截面，圆心分别 是 A、B、C、D。着色区域就是篮球有效入筐 区域，可以看到，这个区域是一个椭圆， A、B的距离是篮球飞行轨迹的最大纵向偏差， 是椭圆的短轴，C、D的距离是篮球飞行轨迹的最大横向偏差，是椭圆的长轴。 在图8中可以看到，篮筐用一个椭圆来表示，读者可能不太容易理解，接下来将对这个 问题进行解释。正如我们看桌子上的圆盘子，眼睛越是接近盘子平面，盘子就越扁。只有在 正上方俯视时才是圆的，面积也最大，同理对于斜飞过来的球，篮筐其实并不是圆形的，篮 筐的实际效果面我们叫它入射截面。它是篮筐的圆形在垂直于篮球运动速度的平面上的投影， 是一个椭圆形，记该椭圆为T 。设篮筐的半径为R，篮球射入篮筐时速度方向与篮筐所在 D C B A 图 8 8 平面的夹角（锐角）为  ，那么，椭圆T 的半长轴长为 Ra  ， 半短轴长为 sinRb  （如右图9）。 可以看到，篮球射入篮筐时速度方向与篮筐所在平面的夹角 （简称篮球的入射角度）决定了椭圆T 的大小和形状，进而决 定了篮球有效入筐区域的大小和形状（从图8中可以明显地看到）。而篮球有效入筐区域的面 积大小决定了投篮命中率的高低，所以，篮球的入射角度 决定了投篮命中率的高低。 6.1.2 篮球有效入筐区域的面积 从6.1.1中的分析可以得知，篮球有效入筐区域是一个椭圆，记该椭圆为 0T ，半长轴长 为 0a ，半短轴长为 0b 。设篮球的半径为 r，从图8中可以看到， raa 0 ， rbb 0 ， 那么，篮球有效入筐区域 0T 的面积为 )sin)(())((000 rRrRrbrabaS   。 6.1.3 篮球的出手角度对篮球有效入筐区域的面积的影响 因为篮球的入射角度 与篮球的出手角度 有关，所以，篮球的出手角度 的变化会 对篮球有效入筐区域的面积产生影响。 设篮球的出手点O到篮筐中心 P水平距离是 l，出手高度为h，篮筐高度为H ，篮球出手时初 速度为v，出手角度为 ，以O点为原点，以O点 与篮筐中心P在地面的投影的连线为 X 轴建立 直角坐标系（如图10），根据牛顿运动定律，我们 可以得到篮球运行轨迹的方程为 2 2 2 tan 2 cos g y x x v     ，该式可变为， 2 2 2 (1 tan ) tan 2 g y x x v      （1）， 因为篮球运行轨迹过点 ),( hHlP  ，将该点坐标代入（1）式，可得到 速度方向 图 9 图 10 9 )tan(2 )tan1( 222 hHl gl v      （2）， 代入（1）式，可得到过篮筐筐心的篮球飞行轨迹的方程（3）， 2 2 tan tan l H h y x x l       （3）， 对方程（3）求导可得 2 2( tan ) tan dy l H h x dx l       ，那么， l hH )(2 tantan    （4）。 从（3）式可以看出，角 随着角 的增大而增大篮球有效入筐区域的面积表达式为， )sin)(())((000 rRrRrbrabaS   （5）， 那么，可得出结论，当角 增大时，面积的上界也增大。 6.1.4 确定最佳出手角度，使得篮球有效入筐区域的面积足 够大 6.1.4.1 确定出手角度的下界 由6.1.2可知，篮球有效入筐区域是一个椭圆，记该椭圆为 0T ，半长轴长为 0a ，半短轴 长为 0b 。设篮球的半径为 r，从图8中可以看到， rbb 0 。那么，必有 00  rbb ， 所以 rb  ，而 sinRb  ，所以 R r sin ，那么，由（4）式可知 l hH rR r l hH )(2)(2 t a nt a n 22        （6） 所以， ] )(2 arctan[ 22 l hH rR r     （7）。 6.1.4.2 确定最佳出手角度 10 对于（2）式，将 2v 对 tan 求 导，可以知道，当 l lhHhH 22)()( tan   时，随着出手角度 的增大， 2v 加 剧增大，那么投篮的用力也加剧增 大。所以，虽然出手角 的增大能 够增大篮球有效入筐区域的面积 0S ，但却大大增加了投篮的用力， 反而不利于运动员控制投篮的稳定性，进而降低了投篮命中率。所以，我们不能让出手角度  太大，在这里，我们将能够使得篮球有效入筐面积 0S 达到其上界的最小出手角度 作为 投篮的最佳出手角度。 由（5）式可知，篮球有效入筐区域的面积 0S 达到上界的条件是 raa 0 ，其中， 0a 是篮球有效入筐区域的半长轴，a是篮筐的入射截面（在5.11中曾提到）的半短轴， r是篮 球的半径。 raa 0 是指，篮球可以切着篮筐入射截面的长轴上的两个端点进入篮筐。如 图11，大椭圆表示篮筐的入射截面，着色部分为篮球有效入筐区域。右边的圆的方程为 222 0 )( ryax  （8），大椭圆的方程为 12 2 2 2  b y a x （9），将这两个方程联立，可 以得到如下方程组， 222 0 )( ryax  （8） 1 2 2 2 2  b y a x （9） 根据 raa 0 ，我们可以知道，方程组（8）（9）只有唯一的一个解 )0,(a ，这样，我 们就可以求出b的取值范围，由 sinRb  ，就可以得到 的取值范围，进而由（6）式得 到 的取值范围，结合（7）式，就可以确定投篮的最佳出手角度。 6.2 打板球的命中率分析 6.2.1 有效打板区域的定义 打板球是指篮球碰到篮板后，反弹入筐。那么，当运动员的出手位置和出手角度固定时， 图 11 11 如果运动员将篮球碰撞到篮板的某一个特定区域，可以使得篮球反弹入筐，那么，这个特定 区域就叫做有效打板区域。这里要求出手位置固定，是因为出手位置不同时，有效打板区域 将会不同；对于同一个运动员，由于习惯，他的出手角度一般是固定不变的。 如果忽略碰撞时的能量损失，那么，篮球碰到篮板时，只是运动速度的方向发生了变化， 这时，我们可以将打板球转化为空心球。我们将篮板看作是一面镜子，那么，打板球就相当 于镜中篮筐的空心入网球。在图12中，着色区域就是有效打板区域，可以看到，这个区域是 一个椭圆，将它记为 1T 。 我们将用有效打板区域 1T 的面积大小来刻画打板球的命中率。 6.2.2 有效打板区域的面积 如图13所示，设篮球的出手点O到篮筐中心P水平距离是 l，O P连线在水平面上的 投影与篮板所在平面的夹角是 ，篮球的出手点O到篮筐在篮板中的像的中心P的距离是 l，O P连线在水平面上的投影与篮板所在平面的夹角是 ，篮筐中心到篮板的距离是d 。 那么，有 222 )cos()2sin(  ldll  （10） l dl    2sin sin   （11） 在这里，我们忽略篮球的半径不计，结合图12和图13可以看出，过A、B、C、D点的篮 球飞行轨迹与篮板的交点就是有效打板区域的四个端点，分别记为E、F、G、H，我们只需 求出这四个点在三维空间中的坐标，就可以求得有效打板区域的长短轴，进而求出其面积。 建立一个三维坐标系（图14），以出手点O为原点，YZ平面平行于篮板所在平面，出手 高度为h，篮筐高度为H ，篮球出手时初速度为v，出手角度为 ，篮球的出手点O到篮 D 图 13 A C B 出手点 篮板 图 12 12 筐中心P水平距离是 l，O P连线在水平面上的投影与篮板所在平面的夹角是 ，篮球的出 手点O到篮筐在篮板中的像的中心P的距离是 l，O P连线在水平面上的投影与篮板所 在平面的夹角是，篮筐中心到篮板的距离是d 。将篮球出手的初始时刻记为零时刻，设 篮球飞行轨迹在XY平面的投影与篮板所在平面的夹角是 ，那么，在 t时刻，篮球所在的位 置是  sincosvtx  （12），  coscosvty  （13）， 2 2 1 sin gtvtz   （14）。 接下来我们求解过点A的篮球飞曲线，点A离XY平面的距离是 hH  ，设点A到原点的水 平距离是 al 。那么， cosvtla  ，可得 cosv l t a ，代入（14）式，令 hHz  ，可得， )tan(2 )tan1( 2 2 2 hHl gl v a a      （15） 篮板所在平面的方程是 dlx  sin （16），其中，d 是 筐中心到篮板的距离，l是篮球的出手 点O到篮筐中心P水平距离， 是O P连线在水平面上的投影与篮板所在 平面的夹角。 结合式（12）--（16），我们就可 以求得过A点的篮球飞行曲线与篮板 平面的交点E的坐标 ),,( eee zyx ，同样， 也可以求分别得过B、C、D点的篮球飞 行曲线与篮板平面的交点F、G、H的坐 标 ),,( fff zyx 、 ),,( ggg zyx 、 ),,( hhh zyx （图15）。 很显然地，EF连线和GH连线分别 近似平行于篮板的两个边，结合图14 图 14 13 可知，EF连线平行于Y轴，GH连线平行于Z轴。那么，有效打板区域 1T 的半长轴 )( 2 1 1 fe yya  ，半短轴长 )( 2 1 1 gh zzb  ，那么， 1T 的面积 ))(( 4 111 ghfe zzyybaS    。 因为篮板的大小是固定不变的，所以，当出手位置发生变化时，E、F、G、H中的某些 点会落在篮板的外侧，这时，以E、F、G、H为端点的椭圆形将不是有效打板区域，真正的 有效打板区域是以E、F、G、H为端点的椭圆形的一部分（如图16）。 我们只考虑有效打板区域在篮板右侧时的情况（在左侧时研究方法相同），对这种情况 做近似的处理，只要E不落在篮板上，就将有效打板区域的面积近似为零；若E落在篮板上， 那么，计算出E点到篮板右边的距离 ed ，这时，将有效打板区域的面积近似为 1 1 1 2 S a d S e  。 这里不考虑G、H点，是因为投篮的出手角度是最佳的，可以保证G、H点落在篮板上。 结合三维坐标和图14，可以知道点E在落在篮板上的条件为 2 cos m lye   ，可以知道 点F在落在篮板上的条件为 2 cos m ly f   ，所以，有如下的结论： 当 2 cos m ly f   时，有效打板区域的面积 ))(( 4 1 ghfe zzyyS   ； 当 2 cos m ly f   且 2 cos m lye   时，有效打板区域的面积为 1 1 1 2 S a d S e  ； 当 2 cos m lye   时，有效打板区域的面积为零。 G E A B C D F H 图 15 F E G H 篮板 图 16 14 6.3 后旋球对命中率的影响 6.3.1 后旋球的受力分析 篮球的后旋是指，篮球飞出后面向篮筐向后旋转（如图17）。 根据流体力学原理，向前上方后旋的球，由于受空气的阻力，使球体上，下部通过的气 流量不均。上部气流通过的少而快，下部气流通过的多而慢，使得球体所受的气压上部小而 下部大。气压的差异，使得球体在空中飞行过程中受到一个向上的浮力（图18），这个力垂 直于球体的运动方向，这就是马格努斯效应。 那么，篮球后旋时在空中飞行的受力情形如图17所示，它受到重力Mg，其中M 为篮 球的质量，由后旋而产生的浮力是F ,浮力方向与水平向右的方向的夹角是。 6.3.2 篮球后旋时在空中飞行的轨迹 如图17，以出手点为原点建立直角坐标系。设篮球出手时初始速度为v，出手角度为 ， 篮球质量为M ，出手高度为h，篮筐的高度为H ，篮球的入射角度是 ，出手点到篮筐中 心的水平距离是 l，由后旋而产生的浮力是F ,为了便于处理，我们假设浮力F 的大小不变， 浮力方向与水平向右的方向的夹角是，设篮球出手的时刻为零时刻，那么，由牛顿运动定 律可知，在 t时刻，篮球的横纵坐标满足如下的条件 cos 2 2 F dt xd M  (17)， MgF dt yd M  sin 2 2 (18)。 其中， 0)0( x ， cos)0( vx  ， 0)0( y ， sin)0( vy  。 是 F 方向与水平向右的方向的夹角，所以， x y dx dy    arctan 2 arctan 2   ， 那么， 22 cos yx y    ， 22 sin yx x    ，令 M F k  ,则条件（17）（18）可变 为如下形式， Y X 图 17 篮板 O 图 18 15 22 yx y kx    （19）， g yx x ky     22 （20）。 其中, 0)0( x ， cos)0( vx  ， 0)0( y ， sin)0( vy  。 6.3.3 后旋对空心入网球的命中率的影响 在6.1中，我们已经分析了影响空心入网球命中率的因素，最主要的就是篮球的入射角 度，在其它条件一定的情况下，投篮的出手角度决定了篮球的入射角度。所以，在这里，我 们将后旋球与不旋转球进行比较，令它们的出手角度一定，比较它们的入射角度。另外，因 为，用力越大，运动员越不易控制投篮，所以，篮球初始速度的大小影响了投篮的稳定性， 那么，我们也将会比较后旋球与不旋转球在出手角度相同时能入筐所需的最小速度的大小。 经过比较，我们就会得知后旋球是否能提高篮球空心入网的命中率。 6.3.4 后旋对打板球的命中率的影响 由于球的后旋，打到板时，球体相对于篮板有向上的相对运动，因为篮板不光滑，所以 篮板对球体产生了一个向下的力，使球向下的速度增加，设这个增速为 v （如图19）。这 样，后旋球进入篮筐时的入射角度会比球不后旋时的入射角度大（如图20）。在6.2中，我 们分析打板球的情形时，用有效打板区域来刻画打板球的命中率，其实，本质上，打板球的 命中率是由篮球入筐时的入射角度决定的，只是因为篮板的大小有限，我们才用有效打板区 域来刻画打板球的命中率。那么，我们可以知道，后旋球打板时的命中率比球不后旋打板的 命中率高。我们将从理论上来证明这一点。 现在，我们将写出后旋球打板入筐的整个过程的运动轨迹。为了便于处理，在这里我们 将球打板前的运动状态等同于球不旋转时的运动状态。这就是说，整个过程，我们只考虑球 旋转的飞行状态，只是在球打板时瞬间给它一个向下的增速 v 。 篮 板 图 19 不 旋 转 球 后 旋 球 图 20 篮 板 D O X Y P 图 21 16 我们在这里只分析运动员正对篮筐的情形。设篮球出手时初始速度为v，出手角度为 ， 出手高度为h，篮筐的高度为H ，篮球的入射角度是 ，出手点到篮筐中心的水平距离是 l， 打板点距篮筐的距离是 h ，篮筐中心距篮板的距离是d ，篮筐的半径是R。以出手点为原 点建立直角坐标系（如图21），设篮球出手时的时刻为初始时刻，打板的时刻为 1t ，那么在 t时刻，有 1tt  时， cosvtx  ， 2 2 1 sin gtvty   ， 1tt  时， cosvtx  ， 2 111 )( 2 1 ))(sin( ttgttvgtvhhHy   ， 可以得出， )( 2 1 sin 2 11 hHgtvth   ， cos 1 v dl t   ，那么，当 1tt  时， cosvtx  ， ) cos ( 2 1 sin 2   v dl tvgtvty   ， 因为篮球入筐角度是由 1tt  时的篮球飞行曲线所决定的，所以，我们只研究 1tt  时篮 球的飞行曲线。可得， 1tt  时篮球的飞行曲线是， 2 2 2 (1 tan ) tan 2 cos g x l d y x x v v v          （21） 从图21中可以看出，篮球飞行曲线过点 ),2( hHdl  ，带入（21）式可以得到速度v 关于出手角度 的表达式，这样就可以确定篮球的飞行曲线方程，所含的参数为 。设 )(xy 是 y关于 x的导数，那么，篮球入筐时的入射角度为 )2(arctan dly  ，所含的参数 为 。 这样，我们就得到了 和 的关系式。我们给定 的值，就可以得到 值，将该值与 球不旋转时的 值做比较，就可以判断后旋球打板时是否会比不旋转球打板时的命中率高。 17 七、模型的求解 7.1 投篮的最佳出手角度的确定 由方程组（8）（9）可以得到， 0)2()(2)( 2222222  arabaxraaxab ， 那么，可解得 22 222 )()( ab arbaraa x    ，因为方程组（8）（9）只有唯一的一个解 )0,(a ， 所以，有 arb 2 。 当 arb 2 时，两个解分别是 ax 1 ， 22 322 2 2 ab aabra x    。由（8）式可以得到， axra 2 。而 0 )(22 2222 322 2        ba arba a ab aabra ax ，所以， 2x 不在图11 中的大椭圆内，所以，在这种情况下方程组（8）（9）也只有唯一的一个解 )0,(a 。 综上，当 arb 2 时，方程组（8）（9）只有唯一的一个解 )0,(a ，因为 sinRb  ，所 以， R r R ar  2 sin ，而 l hH )(2 tantan    ，所以 ] )(2 arctan[ l hH rR r     ， 结合（7）式可以知道，最佳投篮出手角度的取值为 ]) )(2 arctan[], )(2 [max(arctan 22 l hH rR r l hH rR r        ， 那么， ] )(2 arctan[ l hH rR r     7.2 有效打板区域的面积 7.2.1 过 A 点的篮球飞行曲线与篮板的交点 E 的坐标 设过A点的篮球飞行曲线在水平面上的投影与篮板所在平面的夹角是 a ，A到O点的水 18 平距离是 a ，结合式（12）--（16），可以解得，点E的坐标如下， dlxe  sin ， ae dly  cot)sin(  ， 2 2 )tan()sin( sin tan )sin( a a a e l hHldl dlz       。 从图 22 中可以看出， 22 Rlla  )arctan( l R   ，  a 。 7.2.2 有效打板区域的面积 从图22中可以看出，过B点的篮球飞行曲线在水 平面上的投影与篮板所在平面的夹角  b ， 那么，过B点的篮球飞行曲线与篮板的交点F的Y坐标是 bf dly  cot)sin(  ，那么，有效打板区域的半长轴长为 )]cot())[cot(sin( 2 1 )cot)(cotsin( 2 1 )( 2 1 1   dldlyya bafe 过C点的篮球飞行曲线和过D点的篮球飞行曲线在水平面上的投影与篮板所在的平面的夹角 相同，都是，C点到O点的水平距离 Rllc  , D点到O点的水平距离 Rlld  ，所以， 有效打板区域的半短轴长为 222 22 2 1 )( )(2tan)( )sin()( 2 1 Rl hHlRRlR dlzzb gh      那么，有效打板区域的面积为 )]cot()[cot( )( )(2tan)( )sin( 2 222 22 3 1         Rl hHRlRlR dlS 其中， 222 )cos()2sin(  ldll  ， l dl    2sin sin   那么， 当 2 cos m ly f   时，有效打板区域的面积 1S ； 当 2 cos m ly f   且 2 cos m lye   时，有效打板区域的面积为 D 图 22 A C B 19 1 1 1 2 2 cos S a m ly S e     ； 当 2 cos m lye   时，有效打板区域的面积为零。 7.3 后旋球对空心入网球命中率的影响 令 1xx  、 2xx  、 3xy  、 4xy  ，将微分方程组（19）（20）化为一阶微分方程 组，如下 21 xx  （22） 2 4 2 2 4 2 xx x kx   （23） 43 xx  （24） g xx x kx    2 4 2 2 2 4 （25） 初值条件为 0)0(1 x ， cos)0(2 vx  ， 0)0(3 x ， sin)0(4 vx  ，其中， v是篮球 出手时的初速度， 是篮球出手角度， g是重力加速度。 微分方程组（22）—（2