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第7讲[1].最大与最小.教师版

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第7讲[1].最大与最小.教师版 模块一、数论中的极端思想 【例 1】 1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少? 【解析】 8531和7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数. 【巩固】 两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少? 【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情...
第7讲[1].最大与最小.教师版
模块一、数论中的极端思想 【例 1】 1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少? 【解析】 8531和7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是8,7,百位分别是6,5。两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数. 【巩固】 两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少? 【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面7种情况: 15=1+14,1×14=14; 15=2+13,2×13=26; 15=3+12,3×12=36; 15=4+11,4×11=44; 15=5+10,5×10=50; 15=6+9,6×9=54; 15=7+8,7×8=56。 由此可知把15分成7与8之和,这两数的乘积最大。 结论:如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大. 【巩固】 两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小? 【解析】 48的约数从小到大依次是1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。   所以,两个自然数的乘积是48,共有以下5种情况:   48=1×48,1+48=49;   48=2×24,2+24=26;   48=3×16,3+16=19;   48=4×12,4+12=16; 48=6×8,6+8=14。 两个因数之和最小的是6+8=14。 结论:两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。 【例 2】 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少? 【解析】 要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故10112358满足条件.如果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取1与0. 【例 3】 有一类自然数,它的各个数位上的数字之和为2003,那么这类自然数中最小的是几? 【解析】 一个自然数的值要最小,首先要求它的数位最小,其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003,要想数位最少,各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003÷9=222……5,所以满足条件的最小自然数为: 【例 4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?最小是多少? 【解析】 要得到最大的数,左边应尽量多地保留9。因为1~59中有109个数码,其中有6个9,要想左边保留6个9,必须划掉1~59中的109-6=103(个)数码,剩下的数码只有192-103=89(个),不合题意,所以左边只能保留5个9,即保留1~49中的5个9,划掉1~49中其余的84个数码。然后,在后面再划掉16个数码,尽量保留大数(见下图):   所求最大数是9999978596061…99100。 同理,要得到最小的数,左边第一个数是1,之后应尽量保留0。2~50中有90个数码,其中有5个0,划掉其余90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉15个数码,尽量保留小数(见下图): 所求最小数是100000123406162…99100。 【例 5】 把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大? 【解析】 假设分成的自然数中有1,a是分成的另一个自然数,因为1×a<1+a,也就是说,将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好,所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5。也就是说,只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2×2,所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到,分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6,2×2×2=8,3+3=6,3×3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积,所以分成的自然数中最多有两个2,其余都是3。由此得到,将17分为五个3与一个2时乘积最大,为3×3×3×3×3×2=486。结论:整数分拆的原则:不拆1,少拆2,多拆3。 【巩固】 把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可以使乘积最大? 【解析】 14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大. 【例 6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元……100元的钱数(整数元),那么至少需要准备货币多少张? 【解析】 为了使货币越少越好,那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时,容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时,找不到比14张更少的。当9元的货币少于10张时,至少有19元需要由5元以下的货币构成,且1元的货币至少2张,这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道,最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的,共14张货币。 【例 7】 在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的六位数中最大的是几? 【解析】 225776 【巩固】 在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码,能得到的七位数中最小的是几? 【解析】 8654473. 【例 8】 设自然数n有下列性质:从1、2……n中任取50个不同的数,其中必有两数之差等于7,这样的n最大不能超过多少? 【解析】 当n=98时,将1、2……98按每组中两数的差为7的规则分组:{1,8}、{2、9}、……{7,14}、{15,22}……{90,97}、{91、98}。一共有49组,所以当任取50个数时,必有两个数在同一组,他们的差等于7。当n=99时,取上面每组中的前一个数,即1、2……7、15……21、29……35、43……49、57……63、71……77、85……91和99一共是50个数,而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。 【例 9】 在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。要求:(1)算式的结果等于37;(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。那么,这些减数的最大乘积是多少? 【解析】 把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24,添上加、减号的算式是:10 + 9+ 8+ 7 + 6+ 5- 4- 3- 2 +1=37。 模块二、智巧趣题中的极端思想 【例 10】 99个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一个苹果.问:这群小朋友最多有几位? 【解析】 1+2+3+…+13=91<99,1+2+3+…+14=105>99,说明若13位各分得1,2,3,…,13个苹果,未分完99个,若14位各分得1,2,3,…,14个苹果,则超出99个.因91+8=99,在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上,就可得合题意的一个分法:13人依次分1,2,3,4,5,7,8,9,lO,11,12,13,14个.所以最多有13位小朋友.(注:13人的分法不唯一) 【例 11】 (第四届希望杯1试)一位工人要将一批货物运上山,假定运了5次,每次的搬运量相同,运到的货物比这批货物的 多一些,比 少一些。按这样的运法,他运完这批货物最少共要运 次,最多共要运 次。 【解析】 这道题目用到了极值判断法,体会极值判断法: 假定5次运的恰好等于 ,则每一次最少运 ÷5= ,所以最多运1÷ = ≈9次; 假定5次运的恰好等于 ,则每一次最多运 ÷5= ,所以最少运1÷ = ≈7次. 【例 12】 某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人? 【解析】 三天都迟到的要尽量多,则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的.可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人). 【巩固】 某次数学、英语测试,所有参加测试者的得分都是自然数,最高得分198,最低得分169,没有得193分、185分和177分,并且至少有6人得同一分数,参加测试的至少多少人? 【解析】 得分数共有198-169+1-3=27(种),当只有6个人得分相同时,参加测试的人最少,共有27+6-1=32(人). 【例 13】 149位议员中选举一位议长,每人可投一票.候选人是A,B,C三人.开票中途,A已得45票,B已得20票,C已得35票.如果票数最多者当选,那么A至少再有多少票才能一定当选? 【解析】 45+20+35=100,还有149-100=49(票).45-35=10,如果49票中有10票都给C,49-10=39,那么A至少还要有20票才能当选. 【例 14】 如图,司机开车按顺序到五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车.第一站上了一批学生,以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半.车到学校时,车上最少有多少学生? 【解析】 因为每个站都有学生上车,所以第五站至少有1个学生上车.假如第五站只有一个学生上车,那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2,4,8,16个.因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人),很明显,如果第五站有不止一个学生上车,那么上车的总人数一定多于31个.所以,最少有31个学生. 【例 15】 某公共汽车从起点开往终点站,中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位? 【解析】 (法1):只需求车上最多有多少人。依题意列表如下: 由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。 (法2):因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此:车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数=站号×(15-站号)。因此只要比较下列数的大小:1×14, 2×13, 3×12, 4×11, 5×10,6×9, 7×8, 8×7, 9×6, 10×5,11×4, 12×3, 13×2, 14×1 . 由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位 . 此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本。这种方法的大意是:将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。 【例 16】 某班学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3.那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人? 【解析】 因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁),所以年龄最大的能是12+3=15(岁).如果有人年龄达到15岁,那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁),所以最多有7人的年龄大于12岁,小于15岁. 【例 17】 若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些生参加某次数学竞赛,已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师,那么在这22人中,爸爸有多少人? 【解析】 家长比老师多,所以老师少于22÷2=11人,即不超过10人;相应的,家长就不少于12人。在至少12个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于12÷2=6人,即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人,所以女老师不少于9人。但老师最多就10个,并且还至少有1个男老师,所以老师必定是9个女老师和1个男老师,共10个。那么,在12个家长中,就有7个是妈妈。所以,爸爸有12-7=5人。 【例 18】 现有三堆苹果,其中第一堆苹果个数比第二堆多,第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个,那么在剩下的苹果中,第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少? 【解析】 先每堆拿出一个,这样第一堆就是第二堆的3倍:“如果从每堆苹果中各取出同样多个,使得第一堆还剩34个,则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”,第三堆最少剩一个,那么第一堆的每一份就是:(34-2)÷2=16,即三堆分别有:16×3+1=49,16+1=17和16个,总数:49+17+16=82个;如果第三堆剩2个,那么第一堆的每一份为:(34-4)÷2=15,各堆分别为:15×3+1=46,15+1=16和14个,总数减少.显然第三堆留下的越多,第一堆的每一份就越少,总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82. 【例 19】 如图,小明要从A走到B,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数.请问小明最快需几分钟? 【解析】 从A到B要想最快,肯定不能走回头路,路线分为过C点和不过C点两类.①不过C点有两条路:第一条是15+7+9+18=49(分钟);第二条是14+6+17+12=49(分钟);两条路所用时间相同.②经过C点的路线分为两段,A→C、C→B.同上面一样:A→C:①14+13=27(分钟);②15+11=26(分钟).C→B:①10+12=22(分钟);②5+18=23(分钟).在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果,而且不好推理说明谁是极端情形,那就应该列举比较.所以从A→C→B最少用48分钟,比前面不过C的少用1分钟. 【例 20】 阶梯教室座位有10排,每排有16个座位,当有150个人就座,某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排? 【解析】 至少有4排.如果10排人数各不相同,那么最多坐:16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人);如果最多有2排人数一样,那么最多坐:(16+15+14+13+12)×2=140(人);如果最多有3排人数一样,那么最多坐:(16+15+14)×3+13=148(人);如果最多有4排人数一样,那么至多坐:(16+15)×4+14×2=152(人).148<150<152, 所以,至少有4排. SHAPE \* MERGEFORMAT 练习1. 如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996,那么这个自然数最小是几? 【解析】 1996÷9=221……7,N= . 练习2. 有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少? 【解析】 把4个数全加起来就是每个数都加了3遍,所以,这四个数的和等于(45+46+49+52)÷3=64。用总数减去最大的三数之和,就是这四个数中的最小数,即64-52=12。 3.小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人.若用电话联系,每通知1个人需1分钟,而见面可一次通知60个人,但需10分钟,问:完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话) 【解析】 应该充分发挥每个人的作用,即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人.因此,可以先花10分钟安排一次见面通知,然后凡被通知的人再不断打电话,到第14分钟时共可通知:(1+60)×2×2×2×2—1=975(人),因此最少用14分钟. 练习3. 当A+B+C=10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是____,最小值是____。 【解析】 当为3+3+4时有A×B×C的最大值,即为3×3×4=36; 当为1+1+8时有A×B×C的最小值,即为1×1×8=8。 练习4. 要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米? 【解析】 将72分解成两个自然数的乘积,这两个自然数的差最小的是9-8=1。,猪圈围墙长9米、宽8米时,围墙总长最少,为(8+9)×2=34(米). 练习5. 公园里有一排彩旗,按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列,小红看到这排旗的尽头是一面粉旗.已知这排旗不超过200面,这排旗子最多有多少面? 【解析】 旗子排列是9面一循环,关键在于最后几面旗子,如果最后四面都能是粉旗那就好了.200÷9=22…2,所以最多可以出现200-2=198面旗子,共22个循环. 练习6. 有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块? 【解析】 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数,故不小于61÷3= ,即它不小于21.从而四袋糖总和不小于21十61=82(块).比如四袋糖数量分别为21,21,20,20即可. SHAPE \* MERGEFORMAT 测试1、比较下面两个乘积的大小:a=57128463×87596512, b=57128460×87596515 . 【解析】 对于a,b两个积,它们都是8位数乘以8位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现,因为57128463比57128460多3,87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和相等,即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据上题结论,可得a>b 测试2、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去170个数字,剩下的数字形成一个22位数,这个22位数最大是多少?最小是多少? 【解析】 在前100个自然数中,共有20个9,再保留后面的“10”,即得到最大数:99999…99100(20个9);最小数的第一位是“1”,再保留10~90中的9个“0”,再在91~100中留下12个尽量小的数,即得最小数:1000000000123456789100 . 测试3、(第一届希望杯1试)一艘轮船往返于A、B码头之间 ,它在静水中船速不变,当河水流速增加时,该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______ (填“多”或“少”) 【解析】 极限判断,当水速为10,船速是20时,我们可以往来A,B两地,当河水速度增加时,比如增加到20,这样逆水时,船速=水速,永远到不了B地,所以时间变多了。 测试4冬季运动会共有58面金牌,至今A队已得lO面,B队已得11面,C队已得13面.如果A队要想金牌数居第一位,A队至少还要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34.还有58-34=24(面)可争夺.A队要再得4面,才超过C队.在余下的奖牌中不能少于一半,即再得4+(24-4)÷2=14(面),才能确保金牌数居第一位. 测试5、某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人? 【解析】 因为参加竞赛的有28+23+20=71(人).让这71人尽可能多地重复,71÷2=35…1,所以至多有35人参加两科. 测试6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的? 【解析】 假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。 测试7、小明有一只最多能装10千克物品的大提兜.现有白菜5千克,猪肉2千克,鱼3.5千克,一瓶酱油连瓶重1.7千克,白糖l千克,蚕豆5.1千克.请你想想,把哪几样东西放进大提兜内,才能充分利用提兜,使它所提东西的重量最重? 【解析】 大提兜能装的重量限制在10千克之内.把哪几样东西的重量加在一起,使和不超过10千克,但最接近lO千克我们不妨列举.在列举前先分析数据:白菜和蚕豆不能同时放(共10.1千克),但二者应取其一,否则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克.列举如下: 白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克); 白菜+鱼+白糖=9.5(千克); 蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克); 蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克). 显然,把5.1千克蚕豆,1.7千克的酱油,2千克的猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最重. 第七讲:最大与最小 课后练习 月测备选 PAGE |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 2010年·暑假.五.第7讲.最大与最小 教师版 page 6 of 6 _1225542242.unknown _1243355433.unknown _1243355450.unknown _1243355531.unknown _1243406206.unknown _1243410126.unknown _1243361868.unknown _1243355530.unknown _1243355443.unknown _1225542312.unknown _1234704124.unknown _1225542262.unknown _1204292747.unknown _1225542200.unknown _1204292746.unknown
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