矩阵的等价标准形的应用

第3讲 矩阵的等价标准形的应用 设矩阵 的秩rank ，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q，使 ， 我们把 称为A的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题． 例1 每个方阵A均可写成 ，其中B是可逆阵，C是幂等阵（即 ）． 证 设A的秩rank ，则存在可逆阵P和Q，使 ．记 ， ，显然B是个可逆阵， 是个幂等阵，并且 ． 例2 设n阶方阵A的秩rank ，证明存在可逆阵P，使 的后 行全是零． 证 存在可逆阵P和Q，使 ，从而 的后 行全是零． 例3 设n阶矩阵A的秩rank ，证明存在非零n阶矩阵B，使 ． 证 由例1知存在可逆阵 和幂等阵 ，使 ．记 ，显然 ，且 ． 例4 设n阶矩阵A，B满足 ，证明 ． 证 存在n阶矩阵P，Q，使得 ，这里 rank A，我们断言 ．事实上，从 易知 ， ， 由此显然得到 ，此时 ，从而 ，进而 ． 例5 设n阶幂等阵A（即 ）的秩rank ，证明存在可逆阵P，使 ． 证 存在可逆阵R和T，使 ，记 ，其中 为r阶方阵，则 ， 从 即知 ，从而 ， 因此 ，且 ，注意到 的秩等于r，知r阶方阵 的秩rank ，必须 ，随之得到 ． 现令可逆阵 ，可验证 （i） 设n阶幂等阵A的秩等于r，证明 （ii） rank rank ； （iii） tr rank A； （iv） 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积． 证 由例5知存在可逆阵P（当A为实阵时，P亦可取为实阵），使得 ． （i）此时 ，这样 rank rank ． （ii）tr tr rank ． （iii）易知 ，显然 和 都是实对称阵，从而 也是实对称阵． 例6 若n阶阵A满足 rank rank ， 则A是个幂等阵． 证 由例2知存在可逆阵P和 ，其中 是r阶方阵， rank A，使得 , 又从条件知 的秩rank ， 的秩也等于 ，必须 ，即 ，这时 是个幂等阵，进而A是个幂等阵． 例7 1．设A是个n阶对合阵（即 ），rank ，证明 （i） 存在可逆阵P，使 ． （ii） rank rank ． （iii） 每个实对合阵均可为两个实对称矩阵之积． 2．若n阶阵A满足rank rank ，则A是对合阵． 证 注意到A是对合阵当且仅当 是幂等阵，利用例5～7的结论即得． 例8 （i）设n阶阵A的秩等于r，满足 ，此处 ．证明存在可逆阵P，使得 ． （ii）设A，B是如下的n阶矩阵： ， ， 证明存在可逆阵P，使 ． 证 （i）我们仿照例5的思路来进行．存在可逆阵R，使 ， 其中 是r阶方阵．从 知 ，即 ， 于是 ，且 ．注意到 ， 的秩rank ，因此 ， ． 记 ，P显然是可逆的，并且 ． （ii）显然A的秩rank ，又容易验证 ，故据（i）即知结论． 例9 设A是个 矩阵，B是个 矩阵，证明 ． 证 设A的秩rank ，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使 ，记分块阵 ，其中 为r阶方阵，则有 同理可得 ， 因此证明了 ．进一步地， ． 例10 设 矩阵A的秩等于r，证明对任意 矩阵B，0是AB的至少 重特征值，0是BA的至少 重特征值． 证 从例10的证明直接推出． 例11 计算行列式 ． 解 根据例10可知 例12 设A是个n阶可逆阵， 和 是两个n维列向量．证明rank 当且仅当 ． 证 由例10得 ，注意到 ， 的秩rank 当且仅当 当且仅当 ，即 ． 例13 设 均不为0，计算行列式 ． 解 因 均不为0，故对角阵 是可逆的，由例13可得 例14 设A是个 矩阵，B是个 矩阵，证明下面的Sylvester秩不等式 rank AB ≥ rank rank ． 证 设A的秩等于r，B的秩等于s，存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q和R，l阶可逆阵S，使得 ， ， 记 ，其中 是 矩阵，则 ， 注意到P、T、S都是可逆阵，rank ，故 rank rank rank ， 而 是T中去掉后 行、后 列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列），矩阵的秩最多减少1，因此 rank rank ． 例15 设A、B、C是任意三个矩阵，乘积ABC有意义，证明下面的Frobenius秩不等式： rank ABC ≥ rank rank rank B． 证 设A是 矩阵，B是 矩阵，C是 矩阵，且设rank ，则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使 ．现作分块阵 ， ， 是 矩阵， 是 矩阵，则 ， 于是根据例15得到 rank rank ≥ rank rank ≥ rank rank ＝ rank rank rank B ． 例16 设 矩阵A的秩等于r，证明存在可逆阵 、 使PA的后 行全为零，AQ的后 列为零． 证 存在可逆阵P和Q，使得 ，显然 的后 行为零，而且 的后 列为零． 例17 设A、B是两个等秩的 矩阵，若存在n阶矩阵U，使 ，则存在可逆阵V，使 ． 证 设A、B的秩等于r，从例17知存在可逆阵P和Q ，使 ， ， 其中 ， 都是秩为r的 矩阵．现作适当的分块 ， ，则有 ， ， 从而 ，并且进一步可得 ， 注意到 的秩等于r，故r阶方阵 的秩也等于r，即 是可逆的，于是有 显然 是可逆的，我们把它的逆记为V，则 ． 例18 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组 的一种解法． 解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使 ，于是线性方程组 可化为 ， 记 ，则原方程组等价于 ， 即 ．令 ，容易验证 都是 的解，从而它们构成 的一基础解系． □ 下面是具体的操作过程． 首先构造矩阵 ， 然后对矩阵B作如下的初等变换： （i） 对A（即B的前m行）作初等的行变换， （ii） 对B作初等的列变换， 则经过有限次上述的初等变换后，B可变为 ， 此时Q的后 个列向量构成 的一基础解系． 例19 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组 的一种解法． 解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到． 首先构造矩阵 ， 然后对矩阵B作如下形式的初等变换： （i） 对B的前m行 作行的初等变换， （ii） 对B的前n列 作列的初等变换， 则经过有限次上述变换后，B可变为 ， 记 ， ，此时可得如下的结论： 有解当且仅当 ；当 时， 是 的一个特解， 是 所对应的齐次线性方程组 的一基础解系． 例20 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法． 解 设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使 ， ，进而 ．这给出了求逆矩阵的一种方法． 首先构造矩阵 ， 然后对B进行如下形式的初等变换： （i） 对B的前n行 进行初等的行变换， （ii） 对B的前n列 进行初等的列变换， 则经过有限次上述变换后，B可变为 ， 由此求得 ． 例21 设A是给定的 矩阵，X是 矩阵，求矩阵方程 的所有解X． 解 设A的秩rank ，取定m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得 ， 代入 ，得到 ， ， ， 现记 ，其中 是r阶方阵，代入上式得到 由此得到 ， ，因此我们解得了 ， 其中 是r阶对称矩阵， 是个任意的 矩阵． 反过来，对任意 矩阵 ，其中 是对称矩阵，我们容易验证 ．这样我们就求出了 的全部解． □ 例22 设 ，则矩阵方程 有解当且仅当 和 等价． 证 若X，Y满足方程 ，则 ， 因此 与 等价． 反过来，如果 与 等价，那么它们具有相等的秩．设rank ，rank ，存在可逆的 ，使得 ， ， 则有 ， ， 其中 ， 为 矩阵．又记 ， ， 则 ， 因此从条件可知 ，这样 ， 由此得到 ， 这意味着 有解． 例23 证明每个秩r的矩阵可以表为r个秩1的矩阵之和． 证 设 矩阵A的秩为r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使 ． 现记 ， ，…， 显然这r个矩阵的秩均为1，且满足 ． □ _1170655425.unknown _1170660731.unknown _1170661954.unknown _1170664925.unknown _1170665758.unknown _1170666419.unknown _1170666818.unknown _1170669289.unknown _1170669783.unknown _1170670344.unknown _1170671132.unknown _1170671773.unknown _1170671813.unknown _1170670430.unknown _1170670020.unknown _1170669466.unknown _1170669742.unknown _1170669409.unknown _1170666881.unknown _1170666910.unknown _1170666828.unknown _1170666580.unknown _1170666663.unknown _1170666739.unknown _1170666602.unknown _1170666443.unknown _1170666559.unknown _1170666428.unknown _1170665939.unknown _1170665992.unknown _1170666260.unknown _1170666185.unknown _1170666198.unknown _1170666141.unknown _1170665960.unknown _1170665799.unknown _1170665923.unknown _1170665788.unknown _1170665374.unknown _1170665654.unknown _1170665712.unknown _1170665727.unknown _1170665672.unknown _1170665616.unknown _1170665638.unknown _1170665432.unknown _1170665051.unknown _1170665260.unknown _1170665261.unknown _1170665074.unknown _1170664982.unknown _1170665027.unknown _1170664941.unknown _1170663302.unknown _1170663588.unknown _1170664740.unknown _1170664828.unknown _1170664909.unknown _1170664793.unknown _1170664607.unknown _1170664683.unknown _1170663589.unknown _1170663394.unknown _1170663429.unknown _1170663506.unknown _1170663414.unknown _1170663352.unknown _1170663379.unknown _1170663331.unknown _1170662623.unknown _1170662892.unknown _1170663247.unknown _1170663289.unknown _1170663201.unknown _1170662825.unknown _1170662854.unknown _1170662701.unknown _1170662141.unknown _1170662549.unknown _1170662565.unknown _1170662503.unknown _1170662076.unknown _1170662077.unknown _1170662075.unknown _1170662074.unknown _1170661156.unknown _1170661548.unknown _1170661750.unknown _1170661903.unknown _1170661921.unknown _1170661786.unknown _1170661871.unknown _1170661671.unknown _1170661722.unknown _1170661597.unknown _1170661276.unknown _1170661391.unknown _1170661530.unknown _1170661389.unknown _1170661212.unknown _1170661252.unknown _1170661181.unknown _1170660938.unknown _1170661080.unknown _1170661106.unknown _1170661132.unknown _1170661089.unknown _1170661032.unknown _1170661053.unknown _1170660954.unknown _1170660851.unknown _1170660888.unknown _1170660920.unknown _1170660866.unknown _1170660782.unknown _1170660804.unknown _1170660748.unknown _1170657246.unknown _1170660295.unknown _1170660506.unknown _1170660624.unknown _1170660697.unknown _1170660714.unknown _1170660669.unknown _1170660598.unknown _1170660616.unknown _1170660597.unknown _1170660351.unknown _1170660441.unknown _1170660494.unknown _1170660432.unknown _1170660318.unknown _1170660326.unknown _1170660303.unknown _1170660065.unknown _1170660177.unknown _1170660250.unknown _1170660270.unknown _1170660214.unknown _1170660148.unknown _1170660161.unknown _1170660134.unknown _1170657311.unknown _1170657480.unknown _1170660024.unknown _1170657362.unknown _1170657284.unknown _1170657300.unknown _1170657265.unknown _1170656378.unknown _1170657004.unknown _1170657126.unknown _1170657198.unknown _1170657237.unknown _1170657137.unknown _1170657089.unknown _1170657117.unknown _1170657024.unknown _1170656827.unknown _1170656918.unknown _1170656926.unknown _1170656841.unknown _1170656532.unknown _1170656788.unknown _1170656413.unknown _1170656081.unknown _1170656283.unknown _1170656327.unknown _1170656353.unknown _1170656304.unknown _1170656239.unknown _1170656266.unknown _1170656130.unknown _1170655993.unknown _1170656030.unknown _1170656055.unknown _1170656023.unknown _1170655463.unknown _1170655562.unknown _1170655446.unknown _1170652345.unknown _1170653554.unknown _1170654175.unknown _1170654544.unknown _1170655134.unknown _1170655349.unknown _1170655398.unknown _1170655143.unknown _1170654986.unknown _1170655024.unknown _1170654572.unknown _1170654356.unknown _1170654489.unknown _1170654511.unknown _1170654377.unknown _1170654299.unknown _1170654339.unknown _1170654286.unknown _1170653921.unknown _1170654044.unknown _1170654086.unknown _1170654121.unknown _1170654060.unknown _1170654017.unknown _1170654029.unknown _1170653938.unknown _1170653776.unknown _1170653848.unknown _1170653862.unknown _1170653847.unknown _1170653667.unknown _1170653739.unknown _1170653622.unknown _1170652896.unknown _1170653216.unknown _1170653405.unknown _1170653487.unknown _1170653509.unknown _1170653472.unknown _1170653327.unknown _1170653338.unknown _1170653230.unknown _1170653039.unknown _1170653102.unknown _1170653183.unknown _1170653088.unknown _1170652953.unknown _1170653037.unknown _1170652941.unknown _1170652654.unknown _1170652757.unknown _1170652863.unknown _1170652880.unknown _1170652790.unknown _1170652705.unknown _1170652742.unknown _1170652662.unknown _1170652524.unknown _1170652580.unknown _1170652601.unknown _1170652555.unknown _1170652363.unknown _1170652384.unknown _1170652353.unknown _1170600823.unknown _1170651362.unknown _1170651893.unknown _1170652038.unknown _1170652210.unknown _1170652344.unknown _1170652156.unknown _1170651970.unknown _1170651981.unknown _1170651902.unknown _1170651593.unknown _1170651617.unknown _1170651634.unknown _1170651605.unknown _1170651491.unknown _1170651566.unknown _1170651473.unknown _1170651072.unknown _1170651210.unknown _1170651323.unknown _1170651338.unknown _1170651238.unknown _1170651149.unknown _1170651175.unknown _1170651099.unknown _1170600982.unknown _1170601042.unknown _1170601126.unknown _1170601004.unknown _1170600904.unknown _1170600963.unknown _1170600843.unknown _1170595394.unknown _1170595596.unknown _1170595812.unknown _1170600742.unknown _1170600803.unknown _1170600714.unknown _1170595632.unknown _1170595811.unknown _1170595618.unknown _1170595522.unknown _1170595570.unknown _1170595581.unknown _1170595556.unknown _1170595458.unknown _1170595494.unknown _1170595403.unknown _1170595131.unknown _1170595263.unknown _1170595304.unknown _1170595319.unknown _1170595290.unknown _1170595194.unknown _1170595244.unknown _1170595180.unknown _1170594896.unknown _1170595062.unknown _1170595110.unknown _1170595027.unknown _1170594823.unknown _1170594869.unknown _1170594783.unknown